Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд

1. Найти производные от данной функции: Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд - student2.ru

2. Вычислить значения производных в точке Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд - student2.ru ; записать коэффициенты по формуле (3). Составить ряд по степеням Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд - student2.ru с этими коэффициентами, который соответствует данной функции Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд - student2.ru

3. Найти область сходимости полученного ряда и записать разложение (1).

Если функция не имеет конечных особых точек, то ряд сходится к ней во всей плоскости Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд - student2.ru

Утверждение

1. Функция, аналитическая в точке Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд - student2.ru , раскладывается в окрестности этой точки в степенной ряд.

2. На границе круга сходимости ряда есть хотя бы одна особая точка функции, т.е. радиус сходимости круга равен расстоянию от центра разложения Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд - student2.ru до ближайшей особой точки функции.

3. Степенной ряд в круге сходимости является рядом Тейлора для своей суммы, т.е. коэффициенты ряда вычисляются по формулам (2), (3).

Логарифмическая функция комплексного переменного

Логарифмическая функция Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд - student2.ru определяется как обратная к показательной функции, причем:

Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд - student2.ru

Так как показательная функция- периодическая с периодом Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд - student2.ru , то логарифмическая функция является многозначной. В каждой точке Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд - student2.ru она принимает бесконечно много значений. Функция Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд - student2.ru , где Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд - student2.ru - главное значение аргумента, называется главным значением логарифмической функции. Итак: Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд - student2.ru

Известные правила о логарифме произведения и частного сохраняют свою силу и для многозначного логарифма, а именно при Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд - student2.ru , отличных от нуля верны формулы: Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд - student2.ru

Методика изучения логарифмической функции в школьном курсе математики

Логарифмическая функция – новый математический объект для учащихся. К понятию логарифма учащихся подводят в процессе решения показательного уравнения ax =b в том случае, если b нельзя представить в виде степени с основанием a. Наше уравнение в случае b>0 имеет единственный корень, который называют логарифмом b по основанию a и обозначают loga b, т.е. alogab =b. Одновременно с введением нового понятия учащиеся знакомятся с основным Логарифмическим тождеством. При работе с логарифмами применяются следующие их свойства, вытекающие из свойств показательной функции:

При любом Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд - student2.ru ( Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд - student2.ru ) и любых положительных x и y, выполнены равенства:

1. loga 1=0

2. loga a=1

3. loga xy= loga x+ loga y

4. loga x/y= loga x- loga y

5. loga xp = ploga x

При доказательстве используется основное логарифмическое тождество:

x=alogax ; y=alogay

Изучение темы "Показательная и логарифмическая функции" в ряде учебников, рекомендованных ФГОС начинается в 11 классе.

Тригонометрические функции, их основные свойства. Разложение синуса и косинуса в степенной ряд. Синус и косинус в комплексной области. Методика изучения тригонометрических функций в школьном курсе математики.

Функция синус

Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд - student2.ru
Область определения: мн-во R всех действительных чисел. Область значений: отрезок [-1; 1]. Функция нечетная. График функции симметричен относительно начала координат. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2π. Промежутки знакопостоянства: sin x = 0 при x = π·k, k ∈ Z; sin x > 0 при x ∈ (2π·k, π+2π·k), k ∈ Z; sin x < 0 при x ∈ (π+2π·k, 2π+2π·k), k ∈ Z.
Наиб. значение функции sin x = 1 в точках: Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд - student2.ru
Наим. значение функции sin x = −1 в точках: Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд - student2.ru
Функция возрастает от −1 до 1 на промежутках: Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд - student2.ru
Функция убывает от −1 до 1 на промежутках: Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд - student2.ru

Функция косинус

Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд - student2.ru

Область определения: R. Область значений: [-1; 1].

Функция четная. График функции симметричен относительно оси OY.

Период: 2π.

Промежутки знакопостоянства: cosx=0 при Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд - student2.ru ; cos x > 0 при Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд - student2.ru ; cos x < 0 при Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд - student2.ru

Наибольшее значение функции sin x = 1 в точках Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд - student2.ru

Наименьшее значение функции sin x = −1 в точках: Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд - student2.ru

Функция возрастает от −1 до 1 на промежутках: Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд - student2.ru

Функция убывает от −1 до 1 на промежутках: Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд - student2.ru

Функция тангенс

Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд - student2.ru

Область определения: объединение интервалов Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд - student2.ru Z.

Множество значений: вся числовая прямая, т.е. функция неограниченная.

Функция нечетная. График функции симметричен относительно оси OY.

Функция периодическая с наименьшим положительным периодом π, т.е. tg(x+π·k) = tg x, k ∈ Z для всех х из области определения. tg x = 0 при Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд - student2.ru ; tg x > 0 при Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд - student2.ru ; tg x < 0 при Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд - student2.ru

Экстремумов нет. Функция возрастает на каждом интервале области определения.

Функция котангенс

Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд - student2.ru

Область определения: объединение интервалов (pn; p+pn), nÎZ.

Множество значений: вся числовая прямая, т.е. функция неограниченная.

Функция нечетная. График функции симметричен относительно оси OY.

Функция периодическая с наименьшим положительным периодом π, т.е. ctg(x+π·k)=ctg x, k ∈ Z для всех х из области определения. ctg x = 0 при Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд - student2.ru ; ctg x > 0 при Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд - student2.ru ; ctg x < 0 при Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд - student2.ru

Экстермумов нет. Функция убывает на каждом интервале области определения.

Разложение синуса и косинуса в степенной ряд.

Рассмотрим тригонометрическую функцию f(x) = sinx. Она имеет производные всех порядков, вычисляемые по формулам Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд - student2.ru и условия-теоремы 3, очевидно, выполняются, так как при всех х и п

Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд - student2.ru Следовательно, sinx разлагается в ряд Тейлора и разложение справедливо при всех x. Найдем коэффициенты ряда Тейлора: Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд - student2.ru ;величина cп зависит от четности или нечетности п:

Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд - student2.ru , Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд - student2.ru .

Таким образом, при любых х верно разложение

Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд - student2.ru (2)

Для тригонометрической функции f (x) = cosx можно так же, как это было сделано выше для sinx,получить разложение в ряд Тейлора, справедливое при любых х:

Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд - student2.ru (3)

Равенство (3) можно также считать определением функции cosх. Можно получить разложение (3) дифференцированием равенства (2).

Синус и косинус в комплексной области.

Формула Эйлера утверждает, что для любого действительного и комплексного числа х выполнено следующее равенство:

Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд - student2.ru ,

где e — одна из важнейших математических констант, определяющаяся следующей формулой: Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд - student2.ru , i — мнимая единица

. Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд - student2.ru

Производные формулы

При помощи формулы Эйлера можно определить функции sin и cos следующим образом:

Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд - student2.ru ,

Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд - student2.ru .

Понятие тригонометрических функций комплексной переменной. Пусть Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд - student2.ru , тогда:

Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд - student2.ru ,

Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд - student2.ru .

Тождество Эйлера, связывающее пять фундаментальных математических констант:

Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд - student2.ru является частным случаем формулы Эйлера при Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд - student2.ru .

Методика изучения тригонометрических функций в школьном курсе математики.

Введение понятий sin a, cos a, tg aдля острого угла прямоугольного треугольника рассматривается: Погорелов - 8 кл. стр. 102,108; Атанасян - 8 кл. стр. 180.

Изучение тригонометрических функций sina, cosa, tgaдля угла a Î [0, 180]: Погорелов - 8 кл. стр. 132, Атанасян - 9 кл. стр.239.

При введении данных понятий используется окружность радиуса R (Погорелов) и R=l (Атанасян), взятая на координатной плоскости. От положительного направления оси х откладываем значения угла a. Используя определения для прямоугольного треугольника, получаем: Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд - student2.ru ;

Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд - student2.ru (Погорелов); sin a = у (Атанасян).

Основными целями изучения тригонометрических функций числового аргумента являются:

1) ознакомление учащихся с новым видом трансцендентных функций;

2) развитие навыков вычислительной практики (работа с трансцендентными функциями зачастую требует громоздких вычислений);

3) наглядная иллюстрация всех основных свойств функций (в особенности периодичности);

4) установление межпредметных связей с практикой (изучение колебаний маятника, электрического тока, волновой теории света невозможны без знаний о тригонометрических функциях);

5) развитие логического мышления (обилие формул порождает необходимость преобразований не алгебраического характера, которые носят исследовательский характер).

В изучении тригонометрических функций можно выделить следующие этапы:

I. Первое знакомство с тригонометрическими функциями углового аргумента в геометрии. Значение аргумента рассматривается в промежутке (0о;90о). На этом этапе учащиеся узнают, что sin, сos, tg и ctg угла зависят от его градусной меры, знакомятся с табличными значениями, основным тригонометрическим тождеством и некоторыми формулами приведения.

II. Обобщение понятий синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов (0о;180о). На этом этапе рассматривается взаимосвязь тригонометрических функций и координат точки на плоскости, доказываются теоремы синусов и косинусов, рассматривается вопрос решения треугольников с помощью тригонометрических соотношений.

III. Введение понятий тригонометрических функций числового аргумента.

IV. Систематизация и расширение знаний о тригонометрических функциях числа, рассмотрение графиков функций, проведение исследования, в том числе и с помощью производной.

Отметим, что существует несколько способов определения тригонометрических функций. Их можно подразделить на две группы: аналитические и геометрические. К аналитическим способам относят определение функции у = sin х как решения дифференциального уравнения f ''(х)=-c*f(х) или как сумму степенного ряда sin х = х – х3 /3!+ х5 /5! – …

К геометрическим способам относят определение тригонометрических функций на основе проекций и координат радиус-вектора, определение через соотношения сторон прямоугольного треугольника и определения с помощью числовой окружности. В школьном курсе предпочтение отдается геометрическим способам в силу их простоты и наглядности.

Отметим, что изучение тригонометрических функций в школьном курсе имеет некоторые особенности. Во-первых, до изучения тригонометрических функций, рассматривались функции вида у=f(x), где х и у – некоторые действительные числа, здесь же - углу ставится в соответствие число, что является несколько непривычным для учащихся. Кроме того, раньше все функции задавались формулами, в которых явным образом был указан порядок действий над значениями аргумента для получения значений функции. Теперь же учащиеся сталкиваются с функциями, заданными таблично.

Таким образом, изучая тригонометрические функции, учащиеся лучше начинают разбираться в сущности самого понятия функции. Они начинают осознавать, что функцией может быть зависимость между любыми множествами объектов, даже если они имеют различную природу (лишь бы каждому значению аргумента соответствовало единственное значение функции).

Наши рекомендации