Свойства умножения матрицы на число
Матрица
Матрица - это таблица данных, которая берется в круглые скобки.
Квадратная матрица
Квадратной матрицей называется матрица, у которой количество строк равно количеству столбцов (размера n×n), число n называется порядком матрицы.
Диагональная матрица
Диагональной матрицей называется квадратная матрица, все элементы которой, стоящие вне главной диагонали, равны нулю.
4. Матричная строка, столбец –
Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля, которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов задает размер матрицы.
Количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов — количеству неизвестных. В результате решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами.
Единичная матрица
Единичной матрицей называется диагональная матрица, диагональные элементы которой равны 1.
6. Равные матрицы - Матрицы называются равными, если у них одинаковое число строк и столбцов и все соответствующие элементы совпадают.
Сложение матрицы
Сложение матриц (сумма матриц) A + B есть операция вычисления матрицы C, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен:
сij = aij + bij
Умножение матриц
Произведением матрицы на матрицу называется матрица такая, что элемент матрицы , стоящий в -ой строке и -ом столбце, т.е. элемент , равен сумме произведений элементов -ой строки матрицы на соответствующие элементы -ого столбца матрицы .
Замечание
Умножать матрицы можно тогда и только тогда, когда количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы.
Умножение на число
Свойства умножения матрицы на число
1 · A = A
0 · A = Θ, где Θ - нулевая матрица
k · (A + B) = k · A + k · B
(k + n) · A = k · A + n · A
(k · n) · A = k · (n · A)
Найти произведение матрицы A = ( 4 2 ) и числа 5.
( 9 0 )
Решение:
5·A= 5· ( 4 2 ) = ( 5·4 5·2 ) = ( 20 10 )
( 9 0 ) ( 5·9 5·0 ) ( 45 0 )
Транспонированная матрица
Транспонирование матрицы - это операция над матрицей, при которой ее строки и столбцы меняются местами:
aTij = aji
A= | . | |||||
Решение:
AT= | ||||
Обратная матрица
Обратная матрица A−1 — матрица, произведение которой на исходную матрицу A равно единичной матрице E:
A·A-1 = A-1·A = E
Свойства обратной матрицы:
1
2
3
4
Обратная матрица существует только для квадратных матриц с не равными нулю определителями.
12. Определители
A = ( 5 7 )
-4 1
Решение:
det(A) = (5 7)
(-4 1 ) = 5·1 - 7·(-4) = 5 + 28 = 33
Порядка
Го порядка
A = ( 5 7)
(-4 1)
Решение:
det(A) = (5 7)
(-4 1 ) = 5·1 - 7·(-4) = 5 + 28 = 33
Го порядка
∆ = |
| = |
= a11·a22·a33 + a12·a23·a31 + a13·a21·a32 - a13·a22·a31 - a11·a23·a32 - a12·a21·a33
Линейные уравнения
из первого уравнения выразим:
Полученное выражение подставляем во второе уравнение:
Раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые и находим значение :
Далее вспоминаем про то, от чего плясали:
Значение нам уже известно, осталось найти:
Ответ:
Векторы
Вектор это направляющий отрезок для которого указано какой из его концов является началом, а какой концом
16. Нулевой вектор – если начало и конец вектора совпадают
17. Длина вектора – расстояние между его началом и концом
18. Коллинеарные векторы – два ненулевых вектора, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых
19. Равные векторы – векторы которые сонаправленны и их длины равны
Через cos
Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
Задание. Вычислить скалярное произведение векторов и , если их длины соответственно равны 2 и 3, а угол между ними 60°.
Решение. Так как из условия , , а , то
Свойства скалярного произведения:
1 - симметричность.
2 . Обозначается и называется скалярный квадрат.
3 Если , то
4 Если и и , то . Верно и обратное утверждение.
5
6
7
26. Длина вектора в координатах – длина направленного отрезка которая определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора AB.
27. Длина отрезка - Это расстояние между двумя произвольными точками плоскости, при условии, что известны координаты этих точек
d2= (х2— х1)2+ (y2— y1)2
Извлекая квадратный кореньиз выражения, находим:
|AB|² = (y2 – y1)² + (x2 – x1)².
Уравнения прямой и кривых
(x−xA)2+(y−yA)2=(x−xB)2+(y−yB)2 – уравнение прямой
a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a1x +2a2y +a = 0 - Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид
Общий вид уравнения прямой
Ax + By + C = 0.
Уравнение окружности
Мы имеем формулу для расчёта расстояния между двумя точками, если знаем координаты точек ∣AB∣=√(xA−xB)2+(yA−yB)2, а если так, то квадрат расстояния AB2=( xA−xB)2+(yA−yB)2.
Эллипс. Фокус Эллипса
Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точек F1 и F2 , называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная.
36. Гипербола- геометрическое место точек, для каждой из которых модуль разности расстояний от нее до двух данных точек F1,F2 (фокусы) есть величина постоянная, равная 2a.
Элементы гиперболы:
A1A2=2a - действительная ось
B1B2=2b - мнимая ось
A1 ,A2 - вершины
F1(c ; 0), F2(-c ; 0) - фокусы
F1F2=2c - фокальное расстояние (фокусное расстояние)
c2=a2+b2
Уравнение :
Парабола
Формула параболы y=ax2+bx+cесли а>0 то ветви параболы направленны вверх,
а<0 то ветви параболы направлены вниз.
Свободный член c эта точке пересекается параболы с осью OY;
Вершина параболы, ее находят по формуле x=(-b)/2a, найденный x подставляем в уравнение параболы и находим y;
Нули функции или по другому точки пересечения параболы с осью OX они еще называются корнями уравнения. Чтобы найти корни мы уравнение приравниваем к 0 ax2+bx+c=0;
Виды уравнений:
a) Полное квадратное уравнение имеет вид ax2+bx+c=0 и решается по дискриминанту;
b) Неполное квадратное уравнение вида ax2+bx=0. Чтобы его решить нужно вынести х за скобки, потом каждый множитель приравнять к 0:
ax2+bx=0,
х(ax+b)=0,
х=0 и ax+b=0;
c) Неполное квадратное уравнение вида ax2+c=0. Чтобы его решить нужно неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. x =±√(c/a);
38. Способы задания функции. Предел функции
Табличный способ. Заключается в задании таблицы отдельных значений аргумента и соответствующих им значений функции. Применяется когда область определения функции является дискретным конечным множеством.
При табличном способе задания функции можно приближенно вычислить не содержащиеся в таблице значения функции, соответствующие промежуточным значениям аргумента.
Табличный способ наиболее удобен, когда множество Х конечно. При этом способе составляется таблица, в которой каждому элементу из множества Х, ставится в соответствие число Y.
Пример:
Графический способ. Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.
Чтобы графическое задание функции было корректным с математической точки зрения, необходимо указывать точную геометрическую конструкцию графика, которая, чаще всего, задается уравнением.
Аналитический способ. Чаще всего закон, устанавливающий связь между аргументом и функцией, задается посредством формул. Такой способ задания функции называется аналитическим.
Этот способ дает возможность по каждому численному значению аргумента x найти соответствующее ему численное значение функции y точно или с некоторой точностью.
Если зависимость между x и y задана формулой, разрешенной относительно y, т.е. имеет вид y = f(x), то говорят, что функция от x задана в явном виде.
Если же значения x и y связаны некоторым уравнением вида F(x,y) = 0, т.е. формула не разрешена относительно y, что говорят, что функция y = f(x) задана неявно.
Точки разрыва. Св-ва
Точка k, в которой нарушено хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, а именно:
1 функция определена в точке и ее окрестности;
2 существует конечный предел функции в точке k;
3 это предел равен значению функции в точке k, т.е.
называется точкой разрыва функции.
Если в точке k нарушено условие непрерывности и односторонние пределы конечные но не равны - называется точкой разрыва первого рода.
Если хотя б один из пределов f (k+0) или f (k-0) не существует или равен бесконечности, то точка k называется точкой разрыва второго рода.
Если существуют левые и правый пределы и они равны друг другу но не совпадают со значением функции точки k то точка k называется точкой устранимого разрыва
Односторонние пределы
Односторонние пределы — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левым и правым пределами.
Число называется правым пределом функции в точке , если для такое, что для любого и , выполняется неравенство (рис. 1). Правый предел обозначается
Число называется левым пределом функции в точке , если для такое, что для любого и , выполняется неравенство (рис. 2). Левый предел обозначается
Производная.
Производной от функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента : при , если он существует, то есть:
или
Таблица производных
Правила дифференцирования
Исследование функции
Структура:
4 Область определения и область допустимых значений функции.
5 Четность, нечетность функции.
6 Точки пересечения с осями.
7 Асимптоты функции.
8 Экстремумы и интервалы монотонности.
9 Точки перегиба и промежутки выпуклости, вогнутости.
10 Сводная таблица.
Интеграл
Основные формулы
Совокупность всех первообразных функции , определенных на заданном промежутке, называется неопределенным интегралом от функции и обозначается символом .
То есть
Знак называется интегралом, - подынтегральным выражением, - подынтегральной функцией, а - переменной интегрирования.
Операция нахождения первообразной или неопределенного интеграла от функции называется интегрированием функции .
Методы интегрирования
· Разложение
· Введение нового аргумента
· Интегрирование дробно-рациональных функций
48. Определённый интеграл — это форма ограниченная слева и справа прямыми а и b снизу осью ОХ сверху графиком функции f(x)
49. Криволинейные трапеции - называется фигура, ограниченная графиком неотрицательной и непрерывной на отрезке [a;b] функции f, осью Ox и прямыми x = a и x = b.
50. Вычисление площадей
.
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
Вот искомая площадь:
Вот формула:
Пределы интегрирования .
= .
Вычислили площадь криволинейной фигуры. Ответ:
Матрица
Матрица - это таблица данных, которая берется в круглые скобки.
Квадратная матрица
Квадратной матрицей называется матрица, у которой количество строк равно количеству столбцов (размера n×n), число n называется порядком матрицы.
Диагональная матрица
Диагональной матрицей называется квадратная матрица, все элементы которой, стоящие вне главной диагонали, равны нулю.
4. Матричная строка, столбец –
Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля, которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов задает размер матрицы.
Количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов — количеству неизвестных. В результате решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами.
Единичная матрица
Единичной матрицей называется диагональная матрица, диагональные элементы которой равны 1.
6. Равные матрицы - Матрицы называются равными, если у них одинаковое число строк и столбцов и все соответствующие элементы совпадают.
Сложение матрицы
Сложение матриц (сумма матриц) A + B есть операция вычисления матрицы C, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен:
сij = aij + bij
Умножение матриц
Произведением матрицы на матрицу называется матрица такая, что элемент матрицы , стоящий в -ой строке и -ом столбце, т.е. элемент , равен сумме произведений элементов -ой строки матрицы на соответствующие элементы -ого столбца матрицы .
Замечание
Умножать матрицы можно тогда и только тогда, когда количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы.
Умножение на число
Свойства умножения матрицы на число
1 · A = A
0 · A = Θ, где Θ - нулевая матрица
k · (A + B) = k · A + k · B
(k + n) · A = k · A + n · A
(k · n) · A = k · (n · A)
Найти произведение матрицы A = ( 4 2 ) и числа 5.
( 9 0 )
Решение:
5·A= 5· ( 4 2 ) = ( 5·4 5·2 ) = ( 20 10 )
( 9 0 ) ( 5·9 5·0 ) ( 45 0 )
Транспонированная матрица
Транспонирование матрицы - это операция над матрицей, при которой ее строки и столбцы меняются местами:
aTij = aji
A= | . | |||||
Решение:
AT= | ||||
Обратная матрица
Обратная матрица A−1 — матрица, произведение которой на исходную матрицу A равно единичной матрице E:
A·A-1 = A-1·A = E
Свойства обратной матрицы:
1
2
3
4
Обратная матрица существует только для квадратных матриц с не равными нулю определителями.
12. Определители
A = ( 5 7 )
-4 1
Решение:
det(A) = (5 7)
(-4 1 ) = 5·1 - 7·(-4) = 5 + 28 = 33
Порядка
Го порядка
A = ( 5 7)
(-4 1)
Решение:
det(A) = (5 7)
(-4 1 ) = 5·1 - 7·(-4) = 5 + 28 = 33
Го порядка
∆ = |
| = |
= a11·a22·a33 + a12·a23·a31 + a13·a21·a32 - a13·a22·a31 - a11·a23·a32 - a12·a21·a33
Линейные уравнения
из первого уравнения выразим:
Полученное выражение подставляем во второе уравнение:
Раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые и находим значение :
Далее вспоминаем про то, от чего плясали:
Значение нам уже известно, осталось найти:
Ответ:
Векторы
Вектор это направляющий отрезок для которого указано какой из его концов является началом, а какой концом
16. Нулевой вектор – если начало и конец вектора совпадают
17. Длина вектора – расстояние между его началом и концом
18. Коллинеарные векторы – два ненулевых вектора, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых
19. Равные векторы – векторы которые сонаправленны и их длины равны