Внутренние силы и напряжения

Внутренние силы –приращение сил взаимодействия между частицами тела, возникающих при его нагружении.

Рис. 2.6 Нормальные и касательные напряжения в точке

Тело рассечено плоскостью (рис.2.6 а ) и в этом сечении в рассматриваемой точке М выделена малая площадка , её ориентация в пространстве определяется нормалью n. Равнодействующую силу на площадке обозначим через . Среднюю интенсивность на площадке определим по формуле . Интенсивность внутренних сил в точке определим как предел

(2.1)

Интенсивность внутренних сил передающихся в точке через выделенную площадку, называется напряжением на данной площадке.

Размерность напряжения .

Вектор определяет полное напряжение на данной площадке. Разложим его на составляющие (рис.2.6 б) так, что , где и – соответственно нормальное и касательное напряжения на площадке с нормалью n.

При анализе напряжений в окрестности рассматриваемой точки М(рис.2.6 в) выделяют бесконечно малый элемент в форме параллелепипеда со сторонами , , (проводят 6 - сечений). Полные напряжения, действующие на его гранях, раскладывают на нормальное и два касательных напряжения. Совокупность напряжений, действующих на гранях, представляют в виде матрицы (таблицы), которую называют тензор напряжений

(2.2)

Первый индекс у напряжения, например ,показывает, что оно действует на площадке с нормалью, параллельной оси , а второй показывает, что вектор напряжений параллелен оси у. У нормального напряжения оба индекса совпадают поэтому ставится один индекс.

Силовые факторы в поперечном сечении стержня и их выражение через напряжения.

Рассмотрим поперечное сечение стержня нагруженного стержня (рис 2.7 ,а). Внутренние силы, распределенные по сечению, приведем к главному вектору R , приложенному в центре тяжести сечения, и главному моменту M. Далее разложим их на шесть компонент: три силы , , и три момента , , , называемые внутренними усилиями в поперечном сечении.

Рис. 2.7 Внутренние усилия и напряжения в поперечном сечении стержня.

Компоненты главного вектора и главного момента внутренних сил, распределенных по сечению, называются внутренними усилиями в сечении ( - продольная сила; , - поперечные силы, , -изгибающие моменты, -крутящий момент).

Выразим внутренние усилия через напряжения, действующие в поперечном сечении, предполагая их известными в каждой точке (рис. 2.7,б)

Выражение внутренних усилий через напряжения.

(2.3)

Метод сечений

При действии на тело внешних сил оно деформируется. Следовательно, меняется взаимное расположение частиц тела; в результате этого возникают дополнительные силы взаимодействия между частицами. Эти силы взаимодействия в деформированном теле есть внутренние усилия. Необходимо уметь определять значения и направления внутренних усилий через внешние силы, действующие на тело. Для этого используется метод сечений.

Рис. 2.8 Определение внутренних усилий методом сечений.

Уравнения равновесия для оставшейся части стержня.

, ,

, , (2.4)

Из уравнений равновесия определяем внутренние усилия в сечении a-a.

Перемещения и деформации.

Под действием внешних сил тело деформируется, т.е. изменяет свои размеры и форму (рис.2.9). Некоторая произвольная точка M переходит в новое положение M_1. Полное перемещение MM₁ будем разлагать на компоненты u, v, w , параллельные осям координат.

Рис 2.9 Полное перемещение точки и его компоненты.

Но перемещение данной точки еще не характеризует степень деформирования элемента материала у этой точки (пример:человек висит на канате, часть каната ниже захвата не деформируется).

Введем понятие деформаций в точке как количественную меру деформирования материала в её окрестности.Выделим в окрестности т. М элементарный параллелепипед (рис. 2.10). За счет деформации длины его ребер получат удлинение .

Рис 2.10 Линейная и угловая деформации элемента материала.

Линейные относительные деформации в точке определятся так ( ):

(2.5)

Кроме линейных деформаций возникают угловые деформации или углы сдвига, представляющие малые изменения первоначально прямых углов параллелепипеда(например, в плоскости это будет ). Углы сдвига весьма малы и имеют порядок .

Введенные относительные деформации в точке сведем в матрицу

. (2.6)

Величины (2.6) количественно определяют деформацию материала в окрестности точки и составляют тензор деформаций.

Принцип суперпозиции.

Систему, в которой внутренние усилия, напряжения, деформации и перемещения прямо пропорциональны действующей нагрузке, называют линейно деформируемой (материал работает как линейно-упругий).

Кроме того, перемещения в конструкции должны быть достаточно малыми, чтобы изменения ее размеров и формы, возникающие вследствие деформации, можно было не учитывать в расчетной схеме (при составлении уравнений равновесия). Такие системы называются геометрически линейными.

Рис.2.11 Влияние перемещения узла на усилие в стержне

На рис.2.11 показана геометрически нелинейная система . Если пренебречь деформацией стержней и считать , то .

Принцип суперпозиции. Результат действия группы сил равен сумме (алгебраической или геометрической) результатов, полученных от действия каждой силы в отдельности.