Элементы теории множеств. Универсальное множество, дополнение множества, диаграммы Эйлера-Венна.
Под множеством понимается любая (конечная или бесконечная) совокупность объектов с некоторой общей характеристикой (или, что то же самое - объектов одинаковой природы). Эти объекты называются элементами множества. Множества с конечным числом различных элементов могут быть описаны путем явного перечисления всех этих элементов: обычно, эти элементы заключаются в фигурные скобки. Например, 
- множество степеней двойки, заключенных между 1 и 10. Как правило, множество обозначается прописной буквой какого - либо алфавита, а его элементы - строчными буквами того же или другого алфавита. Для некоторых особо важных множеств приняты стандартные обозначения, которых стоит придерживаться. Так, буквами
N - множество натуральных чисел
Z - множество целых чисел
Q - множество рациональных чисел
R - множество вещественных (или действительных) чисел
При заданном множестве S включение 
указывает на то, что a - элемент множества S; в противном случае, как вы знаете, пишут 
(или 
).
Множество можно описать, указав свойство, присущее только элементам именно этого множества. Множество всех объектов, обладающих свойством 
, обозначают через 
. Например: 
- множество всех четных чисел; 
- множество натуральных чисел.
Множество, не содержащее элементов, называется пустым и его принято обозначать символом Æ.
Говорят, что S – подмножество множества 
или 
( 
содержится в ), если все элементы множества являются также элементами множества , то есть
.
Два множества и совпадают (или равны), если у них одни и те же элементы. Символически это выглядит так:
и 
.
Заметим, что пустое множество Æ (т.е. множество совсем не содержащее элементов) по определению входит в число подмножеств любого множества.
Если , но 
Æи 
, то - называется собственным подмножеством в . Для выделения подмножества часто используют какое - либо свойство, присущее только элементам из .
Для множеств 
справедливы следующие соотношения:
( значок 
- это значок конъюнкции, т. е. логическое «и»).
Конечное множество называется упорядоченным, если каждому элементу этого множества поставлено в соответствие некоторое число (номер элемента) от 1 до 
.
Для пояснения некоторых определений и свойств операций над множествами и различных соотношений между ними воспользуемся диаграммами Эйлера – Венна, на которых множества, подлежащие рассмотрению, изображаются в виде совокупности точек на плоскости.
Универса́льное мно́жество — в математике множество, содержащее все объекты и все множества.
Универсальное множество обычно обозначается {\displaystyle U} 
(от англ. universe, universal set), реже {\displaystyle E} 
.
На диаграммах Венна универсальное множество (в обоих значениях) изображается множеством точек некоторого прямоугольника; подмножества его точек изображают подмножества универсального множества[1].
Пусть В 
А. Дополнением множестваВдо множества Аназывается множество, содержащее все элементы множества А, которые не принадлежат множеству В: 
'.= {x | x 
A, x 
B}.
7. Дать определения операций над множествами: объединение, пересечение, разность.
1. Под пересечением (произведение) двух множеств и понимается множество:
|
Например:
2. Под объединением (сумма) двух множеств и понимается множество :
|
( 
- значок дизъюнкции, логическое «или»)
Например:
3. Разностью \ множеств и называется совокупность тех элементов, из , которые не содержатся в , то есть
|
Порядок множеств при выполнении этой операции существенен.
4. Если 
(здесь 
– основное , универсальное множество) то 
 |