Создание пентакля шаг за шагом

Спираль Фибоначчи также может возникнуть из заключенных друг ^в Друга треугольников (рис. 88). Не важно, под именем тау или фи, золотое сечение является костяком пентакля, повторяясь в различных соотношениях и проявляя свое присутствие на каждом шагу (рис. 89).

Есть простой способ создать пентакль, используя треугольник, изображенный на рисунке 71 в главе № 8. Итак, для его создания потребуется расположить «спиной к спине» десять упомянутых треугольни-

ков (рис. 90). Мы можем это сделать, поскольку короткая сторона каждого такого треугольника равна короткой стороне тау («1» в золотом сечении), а длинная — соответствует длинной стороне тау (или фи, Ф, в золотом сечении), как показано на рисунке 78. Кроме того, длины сторон этого треугольника равны 3 и 5 — числам Фибоначчи. Теперь соедините линией каждую пару противоположных углов в пятиугольнике и получите искомую фигуру (рис. 91).

Но, скажем, мы хотим пентакль побольше. Легко, поскольку пятиугольник способен на такие штуки, о чем треугольник или квадрат — двухмерные формы с небольшим количеством сторон — могут только мечтать.

Если продлить линии сторон квадрата или треугольника, то получатся просто линии, устремленные в пространство, которые нигде И

никогда не встретятся друг с другом. Но в случае с пятиугольником, линии, продолжающие его стороны, пересекутся и создадут новую форму. Вот так и возникнет наш пентакль (рис. 92). Соединение углов этой новой звезды прямыми линиями образует новый пятиугольник. Окружите концы звезды кругом, и вы получите настоящий магический знак, олицетворяющий всю скрытую в нем гармонию формы и взаимосвязи; сочетание круга и креста тоу образует скипетр Императора, символизирующий объединение и преобразование.

Примерно в 2400 году до н. э. вавилоняне определили круг как величину в 360°, основываясь на грубом подсчете количества дней в году. Триста шестьдесят является необычайно полезным и многосторонним числом, о чем знали вавилоняне — специалисты по наблюдению за небом. Математический потенциал его широк, поскольку 360 может быть разделено без остатка на любое из следующих двадцати двух чисел: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120 и 180 [9]. (Хм... двадцать два... это количество карт Старших Арканов в колоде Таро).

Разделение круга на градусы позволяет нам отмечать долготу и широту и астрологически очерчивать пространство. В комбинации с нашим пентаклем круг также обладает любопытным набором математических особенностей. Разделите 360 градусов круга на 5 (пять концов пентакля) и вы получите пять сегментов по 72° каждый (рис. 93). Зафиксированные на окружности, эти точки соответствуют углам в 0°, 72°, 144°, 216°, 288° и вновь 0°, составляя, таким образом, 360°. Упростим эти числа, как мы уже делали в этой книге. Вы увидите, что все они сведутся к 9.

Если мы слегка повернем нашу звезду, как бы для создания десятиконечной — путем наложения другой 5-конечной звезды поверх первой — концы новой звезды будут располагаться в точках 36°, 108°, 180°, 252° и 324°. И вновь, каждое из этих чисел упрощается до 9.

Конечно, мы будем совершенно неправы, если скажем, что это единственные числа в пределах 360°, которые упрощаются до 9. Напротив, таких чисел много. Возьмите любое, например, само число 9. Концы звезды отстоят друг от друга на 72°, поэтому добавив 72° к новой стартовой точке — 9, 81,153, 225 и 275 — вы получите другой пентакль или пятиугольник, градусные значения всех вершин которого упрощаются до 9.

Но любые ли пять точек, отстоящие друг от друга на 72°, всегда дают пентакль с подобными свойствами? Вот и нет! В случае избрания другого стартового градуса каждый угол в этом пентакле будет упрощаться до его значения:

Г, 73°, 145°, 217° и 289° все упрощаются до 1 (часто через 10 или 19); 13°, 85°, 157°, 229° и 301° (все упрощаются до 4 (через 13)).

Это верно даже в случае с дробями: просто обращайтесь с ними, в процессе упрощения, как с отдельными разрядами, не обращая внимания на разделительную запятую:

7,143°, 79,143°, 151,143°, 223,143° и 295,143° — все они упрощаются до 6 (через 15 или 24). Любопытно, не правда ли? Вы можете использовать эти свойства для персонификации пентакля, встроив в него значимое для вас число — например, дату вашего рождения, выраженную в градусах и дробях — а затем двигаться по кругу с шагом в 72 . Сочетание круга и пентакля является магическим.

От растений к планетам

В 1620 году старая немка Катарина была обвинена в колдовстве. Как и другие арестованные, она была травницей, знавшей целительные и магические свойства растений. И, также как и в других случаях, сплетни и личная зависть спровоцировали ее арест.

Но, в отличие от многих — арестованных и затем замученных, — обвинения, выдвинутые против Катарины, были, в конце концов, сняты. Влиятельный сын помог ей обрести свободу.

Этим сыном был Иоганн Кеплер (1571-1630), немецкий астроном, профессор математики и придворный математик Рудольфа II. Прочная слава Кеплера основывалась на трех выведенных им законах, касающихся движения планет, также известных как «законы Кеплера». Эти положения изменили представления человечества о строении Вселенной, не утратив своей значимости и по сей день.

Кеплер исповедовал христианство, что в те времена, быть может, являлось единственной охранной грамотой для занятий астрономией. Но ученого также интересовала метафизика. В своих книгах он много рассуждал о значении числа 5, цветах, пятиугольниках и золотом сечении. Он верил, что божественная пропорция — представленная в цветках фруктовых деревьев и в пятиугольниках, — была символом проявления божественной созидательной искры [10].

Мать Кеплера, будучи травницей, точно знала, что многие съедобные фрукты являются плодами деревьев, имеющих пятилепестковые цветки. Очевидно, что воззрения Катарины, касавшиеся мира растений, были близки ее сыну, мистику-математику, как видно из его трудов. Изучал ли он эту область самостоятельно или прибегал к помощи матери? Помогли ли знания о растениях его прорывам в науке? Я предпочитаю думать, что они послужили для него трамплином.

Подобно двум поколениям Кеплеров, большая часть наших собственных познаний опирается как на древние практические знания, так и на современную науку. Естественный пентакль можно увидеть, разрезав яблоко, но ведь существует и пентакль, созданный математически. Противоречиво? Кто сказал? Мы способны к одновременному восприятию огромного многообразия моделей понимания и различных путей познания.

Далее мы познакомимся с астрономической версией происхождения магической формы пентакля.

Глава № 10 1

Пентакль Венеры

Раз за разом, практически по совершенному расписанию планета

Венера описывает в небе пентакль. Многие ранние цивилизации

майя, тольтеки, египтяне, шумеры и греки — знали об особенностях ее орбитального движения [1, 2]. Да и тамплиерам сие было ведомо [2, 3].

Меркурий и Венера располагаются к Солнцу ближе, чем Земля, и никогда не удаляются от него далеко. Астрологически это означает, что их максимальные угловые расстояния (28° и 47°, соответственно) весьма невелики: никаких тебе противостояний (180°), третей (120°) или четвертей (90°). Обе планеты никогда не противостоят Солнцу. Они всегда находятся рядом с ним, являясь «внутренними планетами» земной орбиты.

Маленький Меркурий столь близок к Солнцу, что его практически нельзя увидеть в ночное время. Венера, наоборот, прекрасна, хорошо видна и имеет четкую орбиту.

Вот методика ее наблюдения.

Лицом на восток: пропадая из вида на срок до 14 дней в нижнем соединении или «краткой встрече» (номер 1, рис. 94), Венера вновь возникает как предрассветная Утренняя Звезда (номер 2, рис. 94). Ее первое утреннее появление после схождения называется гелиакическим восходом (от гелиос, греческого слова для Солнца). С каждым днем Венера все дальше уходит от Солнца, появляясь во все более ранние часы относительно рассвета и достигая, наконец, своих максимальных 47° (номер 3, рис. 94). Таким образом, побыв около восьми месяцев Утренней Звездой, Венера постепенно возвращается к восходящему Солнцу (номер 4, рис. 94) и вновь исчезает, поскольку ее орбита теперь продолжается за Солнцем (номер 5, рис. 94).

Лицом на запад: Венера остается невидимой на срок до трех месяцев в фазе верхнего соединения или «долгой встречи» (номер 5, рис. 95), а затем появляется на западе как яркая Вечерняя Звезда, сначала заметная только сразу после заката. На первых порах она находится низко в небе и садится вскоре после Солнца (номер б, рис. 95), но постепенно время ее нахождения на небосводе увеличивается. Венера вновь удаляется от Солнца, доходя до 47° элонгации [4] (номер 7, рис. 95) и задерживаясь в небе до 3 часов после захода Солнца. Как Вечерняя Звезда она пребывает в ночном небе в течение примерно восьми месяцев, приближаясь постепенно к Солнцу. Продвигаясь в это время между Землей и Солнцем она, наконец, исчезает в нижнем соединении (номер 8, рис. 95), только

Для того, чтобы вновь появиться в восточной части предрассветного ^Неба в качестве Утренней Звезды (номер 1, рис. 95).

Во время своих совпадений с Солнцем Венера совершенно исчезает из виду. В ходе их она либо находится за светилом («верхнее ^СОеДинение»), либо оказывается перед ним («нижнее соединение»).

РЕННА LUECCO. МАТЕМАТИКА ЛЛЯ МИСТИКОВ

Наши далекие предки внимательно следили за этими эволюциями и находили их пленительными.

Мы вычисляем траекторию пути Венеры точно так же, как это делалось испокон веков: отслеживая ее нахождение относительно Солнца с ее ритмичными появлениями и исчезновениями, одновременно отмечая ее расположение по отношению к созвездиям зодиака.

Весь цикл пентакля Венеры, от начала до завершения, занимает 8 лет, затем она возвращается к исходной точке, с погрешностью в 2-3°. (Что равно 99 лунным циклам: см. раздел «Кое-что о 8» в главе № 12.) Отследить это визуально можно сразу от нижнего совпадения Солнца и Венеры, когда происходит гелиакический восход Венеры, и она впервые появляется на небосклоне в качестве Утренней Звезды (рис. 96). Вы можете найти даты совпадений в эфемеридах. Они повторяются, в среднем, каждые 584 дня — таков синодический период Венеры, то есть время, которое требуется планете для возвращения в определенное местоположение относительно Солнца. На астрологической диаграмме отметьте местоположения нижних совпадений (или верхних, но не смешивайте их!), а затем соедините их линиями, придерживаясь хронологического порядка, и вы увидите перед собой пентаграмму.

Была ли у древних необходимость отслеживать особенности движений небесных тел? Несомненно. Шумеры стали первыми людьми, определившими зодиакальные созвездия еще в III тысячелетии до н. э.

[5] . От них знание распространилось по всей Месопотамии — области между долинами Тигра и Евфрата, затем попало к грекам, египтянам и другим. Независимо от других народов, майя имели обширные познания в астрономии, о Венере, в частности, и использовали их в своей календарной системе.

Поскольку мы живем в эпоху, когда время измеряется с точностью до миллисекунд, следует помнить, что 584 дня в этом цикле — является средним, а не гарантированным числом. Даты и время в эфемеридах указывают периоды точных совпадений Солнца и Венеры. Это вовсе не означает, что Венера уже в следующий миг появится на небосклоне. В случае нижнего соединения, она окажется в предрассветном небе несколькими днями или неделей позже; в случае верхнего — мы можем прождать месяц или больше до появления Вечерней Звезды. Длительность ожидания определяется конкретным местоположением Земли и Венеры на собственных орбитах и относительно друг друга.

Даты, приведенные на рисунке 96, указывают точные нижние солнцестояния — периоды, когда Венера находится между Землей и Солнцем. Аналогичная звезда образуется при последовательном использовании хронологии верхних солнцестояний (рис. 97). Однако чтобы проследить цикл пентакля, необходимо выбирать либо нижние, либо верхние соединения, иначе получите пятиугольник вместо искомой фигуры.

В довершении пара фактов касательно Венеры.

Дневная Венера: Венера видна в течение дня. Во время максимальной элонгации (когда планета находится вдали от Солнца), в предрассветные часы, отыщите ее на фоне еще темного ночного неба. Затем можете наблюдать за ее движением и днем, хотя в это время суток она видна гораздо хуже, поскольку ее блеск гасится дневными небесами.

Июнь 2012: во время нижнего солнцестояния Венера иногда подходит к Солнцу настолько близко, что даже пересекает его диск. Будь на месте Венеры Луна, то случилось бы солнечное затмение. С Венерой такое очень точное совпадение случается гораздо реже, чем с Луной. Нам повезло жить в интересное время: это крайне редкое явление произошло 8 июня 2004 года и произойдет вновь в июне 2012 года. Следующего подобного события придется ждать аж до декабря 2117 года, так что постарайтесь, по возможности, увидеть его в 2012 году [6]. Как и в случае с солнечными затмениями, оберегайте свои глаза, не смотрите прямо на Солнце!

Глава № 11

Геометрические тела

Геометрические Платоновы тела являются простыми, но важными трехмерными формами, имеющими математическую основу — красивыми и глубоко символичными. Греческий философ Платон обращался к геометрическим фигурам в своей работе «Тимей», приравнивая их к пяти элементам — Земле, Воздуху, Огню, Воде и Эфиру. Говоря метафорически, Платон называл эти геометрические фигуры «кирпичиками мироздания», связывая их структурную гармонию с формированием порядка из хаоса. Из-за упоминания в «Тимее» эти пять форм иногда называют Платоновыми телами, что является, вобщем-то, не верным. Платон, конечно, ничего не изобретал: их неолитические прототипы, вырезанные из камня, и предвосхищающие Платона как минимум на тысячу лет, были найдены в Британии [1, 2].

Пять многогранников (греческое polus, «много» + hedra, «лицо»), которые составляют группу — тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр — уникальны по нескольким причинам. Каждый из них создается путем кратных объединений единственной двухмерной формы (треугольника, квадрата или пятиугольника) одинакового размера, так что все стороны фигур — все их грани — являются идентичными. Образно выражаясь — каждая фигура представляет собой что-то вроде трехмерного пазла, собранного из совершенно тождественных частей. Тетраэдр — самая простая из фигур. Его четыре грани — это минимум для геометрических тел: с меньшим количеством граней фигура скорее будет двухмерной — плоской — чем трехмерной, либо окажется открытой с одной стороны и, следовательно, не сможет считаться «телом». Существует мнение, что «открытые» формы способствуют проникновению вредоносных влияний — подобно открытой двери, или, в метафизических терминах, незамкнутому кругу — отсюда предпочтение плотным, «цельным» формам, замкнутым со всех сторон.

Художники часто обыгрывали в своих работах мотив многогранника. Альбрехт Дюрер поместил на свою гравюру «Меланхолия» (рис. 25) сложное геометрическое тело, чьи грани образованы, как минимум, Двумя различными двухмерными формами. Голландский художник М. К. Эшер (1898-1972) многократно использовал Платоновы тела. Среди прочего, на его гравюрах присутствуют додекаэдр (двенадцатигран- иик), переплетенные тетраэдры и кубы, звездообразные додекаэдры и Другие фигуры, исполненные в необычной манере. Коробка для конфет, предназначенная для шоколадницы, была выполнена Эшером в фор^_е икосаэдра (двадцатигранника), с использованием океанских мотивов и изображала собой пятилучевую морскую звезду. Подобно Дюреру Эшер работал в технике гравюры и потому изначально создавал каждый рисунок в зеркальном отображении, что вызывало смену перспективы, в свою очередь влиявшее на восприятие.

В 2003 году команда ученых из Франции и Соединенных Штатов занимающаяся исследованиями космического пространства, выдвинула теорию (тотчас же опровергнутую другими учеными), суть которой сводилась к тому, что Вселенная не только конечна, но — что еще более странно — имеет форму додекаэдра [3]. Посмотрите на эту фигуру, попробуйте представить целую Вселенную, заключенную внутри нее. Теперь мысленно проиллюстрируйте другую часть их теории: противоположные грани додекаэдра соотносятся друг с другом таким образом, что космический корабль, пролетающий «сквозь» грань с одной стороны, одновременно входит через соответствующую грань с другой стороны. Помимо того, насколько это может быть полезным для космических путешествий, представьте, какие богатые возможности открываются тут для научной фантастики!

Геометрические тела представлены на рисунках 98а-102г.

Тетраэдр

Греческое tetra, «четыре» + hedra, «грань».

Создается из 4 равносторонних треугольников = 4 грани. Общее количество ребер = 6.

Длина ребер = \І2 .

Вершины = 3 ребра сходятся в каждой вершине.

Общее число вершин = 4.

Символизм

Стихия: Огонь.

Время года: лето.

Символические атрибуты: сила воли, храбрость и страсть, самоопределение.

В человеческой физиологии: электрические импульсы в мозгу и сердце.

Чувство: зрение.

В природе: молния, звезды, вулканы, полдень.

Астрология: Овен, Лев и Стрелец, огненные знаки.

Куб

Греческое kubos, «шестисторонний куб».

Создается из 6 одинаковых квадратов = 6 граней.

Общее количество ребер = 12.

Длина ребер = 1.

Вершины = 3 ребра сходятся в каждой вершине.

Общее число вершин = 8.

Символизм

Стихия: Земля.

Время года: зима.

Символические атрибуты: стабильность, сила, демонстрация, физические действия.

В человеческой физиологии: тело, плоть и кости.

Чувство: осязание.

В природе: непосредственно земля; почва, скалы и растения, глубокая ночь.

Астрология: Козерог, Телец и Дева, земные знаки.

Октаэдр

Греческое octa, «восемь» + hedra, «грань».

Создается из 8 равносторонних треугольников = 8 граней.

Общее количество ребер = 12.

Длина ребер =

Вершины = 4 ребра сходятся в каждой вершине.

Общее число вершин = 6.

Символизм

Стихия: Воздух.

Время года: весна.

Символические атрибуты: рассудок, вдохновение, новые начинания, умственная активность.

В человеческой физиологии: дыхание.

Чувство: обоняние.

В природе: ветер, облака, высокие пики и ветреные равнины, закат. Астрология: Весы, Водолей и Близнецы, воздушные знаки.

Икосаэдр

Греческое eikosi, «двадцать» + hedra, «грань».

Создается из 20 равносторонних треугольников = 20 грани. Общее количество ребер = 30.

Длина ребер = Ф.

Вершины = 5 ребер сходятся в каждой вершине.

Общее число вершин = 12.

Символизм

Стихия: Вода.

Время года: осень.

Символические атрибуты: эмоции, сны, интуиция.

В человеческой физиологии: кровь, слезы, все телесные жидкости. Чувство: вкус.

В природе: океаны, потоки, дождь, все воды, вечер.

Астрология: Рак, Скорпион и Рыбы, водяные знаки.

Додекаэдр

Греческое dodeka, «двенадцать» + hedra, «грань». Создается из 12 пятиугольников = 12 граней.

Общее количество ребер = 30.

Длина ребер = 1/Ф.

Вершины = 3 ребра сходятся в каждой вершине. Общее число вершин = 20.

J

Символизм

Стихия: Дух/Эфир.

Символические атрибуты: Божественное соединение, имманентность.

В человеческой психологии: дух, душа.

Чувство: слух.

В природе: космос, небеса.

Астрология: весь зодиак.