Интегральный метод расчета струи

При решении многих прикладных задач может быть использован интегральный метод расчета струи, предложенный Г.А.Абрамовичем.

Преимущество этого метода заключается в его относительной простоте и наглядности: в ряде случаев расчет струи может вы­полняться без использования компьютера по алгебраическим формулам, даю­щим возможность также проводить анализ влияния исходных парамет­ров струи на ее характеристики. Основной недостаток интеграль­ного метода расчета струи заключается в том, что он может быть использован только для расчета течений, поперечные поля которых обладают свойствами подобия и автомодельности. Такие течения называются, соответственно, подобными и автомодельными.

В случае струйных течений под подобием поперечных полей понимается совпадение безразмерных полей одноименных параметров в сходственных течениях нескольких струй, а под автомодельностью – независимость формы безразмерного поля некоторого параметра вдоль оси одной струи. В случае однофазных течений понятия подобия и автомодельности тождественны. Особенностью подобных и автомодельных течений является то, что для описания поперечного поля каждого параметра этих течений необходимо иметь только одно выражение, которое справедливо для любого сечения струи.

Интегральный метод расчета струи основан на использовании законов сохранения массы, количества движения и энергии, запи­санных для начального и текущего сечений струи, а также в ис­пользовании свойств подобия и автомодельности поперечных полей параметров и уравнения, описывающего изменение границ струи. В результате решения интеграль­ных уравнений находятся значения всех параметров на оси струи, по которым с использованием универсальных формул, например формул Шлихтинга, могут быть рассчитаны параметры газа в произвольной точке рассматриваемого сечения струи.

Из опытов известно, что по­добие и автомодельность поперечных полей параметров струй наблюдаются не по всей длине струй, а на отдельных их участках. В связи с этим в интег­ральном методе расчета струя с равномерным распределением пара­метров в ее начальном сечении делится на три участка (рис. 4.1): начальный, переходный и основной. Начальный участок струи начи­нается на срезе сопла (в начальном ее сечении) и заканчивается в сечении, в котором струйный пограничный слой, начинающийся на кромке сопла, смыкается на оси струи. Область, лежащая между внутренними границами слоя смешения, называется потенциальным ядром струи или ядром постоянных параметров. На некотором рас­стоянии от конца начального участка струйное течение приобре­тает такой же вид как течение газа из точечного источника. Этот участок струи называется основным. Между начальным и ос­новным участками струи располагается переходный участок. В рас­четах обычно принимают, что сразу за начальным участком следует основной участок, сопрягающийся с начальным участком в переход­ном сечении. Подобие и автомодельность поперечных полей одноименных параметров струи наблюдаются только в пределах начального и основного участков и отсутствуют в переходном участке. При этом формулы, опи­сывающие безразмерные поля избыточных параметров струи в началь­ном и основном ее участках различны.

В основном участке струи безразмерные поля скоростей и тем­ператур обычно описываются формулами [2, 8]

(4.7) (4.8)

в которых u, Т - скорость и температура в рассматриваемой точке струи, u_н , Т_н - скорость и температура на границе струи, u_m, Т_m - скорость и температура на оси струи, Pr_т - турбулентное число Прандтля (для круглой струи Pr_т = 0,75…0,8), h = r/R_гр - безразмерная координата, r - текущий ра­диус струи, R_гр - радиус границы струи.

За границу струи принимается значение радиуса струи, на ко­тором параметры газа отличаются на 1% от их значений во внешнем потоке. В интегральном методе расчета принимается, что границы струи по скорости, температуре и концентрации совпада­ют.

При описании безразмерных полей параметров в начальном участке струи вводится система координат, изображенная на рис. 4.2. В этой системе координат безразмерные поля скоростей и темпера­тур газа могут быть описаны формулами [2]

(4.9) (4.10)

где u₀, Т₀ - скорость и температура газа в потенциальном ядре струи, h_н - безразмерная координата

.

В последнем выражении: у₁ - ордината внутренней границы слоя смешения, у₂ - ордината внешней границы слоя смешения, y_н - ордината точки в слое смешения со скоростью u, b - ширина слоя смешения.

Формулы (4.7)-(4.10) называются формулами Шлихтинга. Наряду с формулами Шлихтинга для описания безразмерных полей парамет­ров струи могут использоваться и другие формулы, но ими поль­зуются редко и поэтому они здесь не рассматриваются.

Для расчета параметров газа в произвольной точке слоя сме­шения начального участка струи с использованием формул (4.9) и (4.10) достаточно знать параметры газа в потенциальном ядре струи и на ее границе. Чтобы рассчитать параметры газа в какой-либо точке основного участка струи, наряду со значением параметров газа во внешней среде (на границе струи) необходимо предвари­тельно определить значения этих параметров на оси струи.

Получим систему уравнений, позволяющую рассчитывать пара­метры газа на оси основного участка струи. Будем рассматривать дозвуковую неизотермическую (Т₀ ¹ Т_н) осесимметричную изобарическую струю постоянного состава, имеющую в началь­ном сечении равномерные поля всех параметров. Изобарической струей называется струя, давление в каждой точке которой посто­янно (р=р₀=р_н). В этом случае система уравнений состоит из уравнения количества движения, энергии и уравнения, описывающего изменение границ струи.

Изменение границы струи в ее основном участке описывается уравнением [1]

(4.11)

в котором

, , , , ,

С_осн - константа, для основного участка струи С_осн = 0,22.

Величина т называется коэффициентом спутности, а величина q - начальным подогревом.

Особенность использования законов сохранения в интеграль­ном методе расчета параметров струи заключается в том, что они применяются для избыточного количества рассматриваемой субстан­ции в струе по отношению к окружающей среде.

Так, уравнение сохранения избыточного количества движения в изобарической струе в общем виде записывается следующим обра­зом [2]

Здесь: G - расход газа, протекающего через произвольное поперечное сечение струи, G₀ - расход газа через начальное се­чение струи, dG = rudF - расход газа через элемент dF сечения струи.

Для круглой струи

,

Следовательно, уравнение количества движения можно пере­писать в виде

Разделим левую часть этого уравнения на его правую часть

Использование формул

, и

позволяет записать отношение скоростей u/u₀ в виде

Отношения (u-u_н)/(u₀-и_н) и r/R₀, можно записать следующим образом

,

Учитывая, что и от r не зависят и, вводя обозначения

, (4.12)

окончательно получаем

(4.13)

Уравнение сохранения избыточного количества тепла, записанное для основного участка струи, имеет вид [2]

Проведя преобразования этого уравнения по аналогии с преобразованием уравнения количества движения в случае с_р= const, имеем

(4.14)

При записи этого уравнения введены обозначения

, (4.15)

В интегралах (4.12) и (4.15) и описываются формулами (4.7) и (4.8), а отношение плотностей r/r₀ может быть найдено из усло­вия p=p₀ с использованием формул , и :

Вместо уравнения (4.14) можно использовать уравнение, связы­вающее и . Это уравнение получается путем деления левой и правой частей уравнения (4.14) на соответствующие части уравне­ния (4.13):

=К_Т (4.16)

Здесь

(4.17)

В интегральном методе расчета струи часто предполагается, что коэффициент К_Т практически не изменяется по длине струи и слабо зависит от начального подогрева .

Решая систему уравнений (4.11), (4.13) и (4.16), можно найти , , и, следовательно, u_m, T_m и R_гр, а затем по формулам Шлихтинга (4.7) и (4.8) рассчитать значения u и Т в любой точке основного участка струи.

В общем случае эта система решается с использованием компьютера. Точное аналитическое решение может быть получено для струи пос­тоянной плотности (r₀=r_н), когда значения интегралов (4.12) и (4.15) являются постоянными величинами; при Pr_т =

= 0,75 А₁= 0,258, А₂ = 0,134, В₁= 0,328 и В₂= 0,155.

В случае круглой затопленной (u_н = 0) неизотермической (q ¹ 1) струи, изменение параметров вдоль оси которой описы­вается системой уравнений

, С_осн = 0,22

, =К_Т ,

можно получить приближенное решение этой системы уравнений. Но полученное решение является громоздким. Для вычисления па­раметров на оси затопленной неизотермической круглой струи с начальными равномерными полями всех ее параметров при 1 £ q£ 5 можно пользоваться следующим относительно простыми алгебраическими уравнениями [1]:

(4.18)

=К_Т (4.19)

(4.20)

В этих выражениях , х - расстояние данного сечения от начального сечения струи, R₀ - радиус начального сечения струи (радиус сопла), , , , , К_Т=А₂/В₂= 0,745.

Абсцисса переходного сечения струи пропорциональ­на длине ее начального участка . В первом приближении можно считать, что не зависит от m и q и между ними сущест­вует зависимость [1]

(4.21)

Для вычисления длины начального участка можно использо­вать формулу [1]

(4.22)

В том случае, если начальные поля параметров струи являются неравномерными, использование формулы (4.22) дает значительную погрешность в вычислении .

Расчеты струй с неравномерными полями параметров газа в их начальных сечениях могут проводиться по уравнениям (4.13) и (4.14), если в них ввести коэффициенты, учитывающие эту неравномерность. Но эти расчеты можно выполнить только с использованием компьютера. Для расчета струй, в которых начальные поля скорости газа близки по форме к полю скорости при турбулентном течении газа в трубе, в [9] предложены простые алгебраические уравнения, дающие хорошее согласование расчета с экспериментом

(0 < q < 10) (4.23)

(q > 10) (4.24)

4.2. Лабораторная работа "Теоретическое и экспериментальное исследование турбулентной газовой струи"

Цели работы - получение экспериментальных и теоретических зависимостей , , и , сопоставление этих зависимостей между собой.