Изменение скорости жидкости в поперечном сечении трубы
(поперечное поле скоростей)
В случае плавного входа жидкости в трубу можно считать, что поле скоростей во входном сечении трубы равномерное. При течении жидкости в трубе на некоторой ее длине происходит изменение формы (деформация) поперечного поля скорости - за счет трения скорость жидкости у стенки уменьшается, а в области оси увеличивается, так как расход жидкости вдоль трубы остается постоянным. Участок трубы, на котором происходит деформация поля скорости, называется участком гидродинамической стабилизации течения или начальным участком. В конце этого участка формируется течение с поперечным полем скорости, которое остается неизменным при дальнейшем течении жидкости в трубе. Такое течение называется автомодельным, а участок трубы с автомодельным течением - основным. Формулу для расчета скорости в поперечном сечении автомодельного течения жидкости в трубе можно получить двумя путями: из уравнения количества движения для элементарной струйки и, используя систему дифференциальных уравнений, описывающих течение жидкости в трубе. Второй вариант приводится в 1.1.5.1.
Получим формулу для расчета скорости в поперечном сечении автомодельного ламинарного течения жидкости в трубе из уравнения количества движения элементарной струйки.
При осесимметричном ламинарном течении жидкости в круглой трубе касательное напряжение, действующее вдоль поверхностей соприкосновения слоев жидкости, пропорционально поперечному градиенту скорости:
. (1.1)
В этой формуле: t - касательное напряжение, u – скорость жидкости, направленная параллельно оси трубы, r - ось координат, направленная вдоль радиуса трубы (по нормали к оси трубы).
Выделим в трубе цилиндрическую элементарную струйку радиусом r, ось которой совпадает с осью трубы (рис. 1.2). Запишем для сечений 1 и 2 этой струйки уравнения неразрывности и количества движения
r1u1F1 = r2u2F2
В этих уравнениях: r и u - плотность и скорость жидкости в элементарной струйке, F - площадь поперечного сечения струйки (F = pr2), G - расход жидкости через поперечное сечение струйки, р - давление, t - напряжение трения, Fб - площадь боковой поверхности элементарной струйки (трубки тока) между сечениями 1 и 2 (Fб = 2prl). Уравнение количества движения записано в предположении отсутствия объемных сил.
Так как r1 = r2 и F1 = F2, то из уравнения неразрывности следует, что u1 = u2. С учетом этого из уравнения количества движения получаем
Замена в этом уравнении t с использованием (1.1) дает
В результате интегрирования последнего уравнения получается уравнение для скорости в точке, расположенной на расстоянии r от оси трубы
(1.2)
Здесь А - постоянная интегрирования, которая находится из граничного условия: u = 0 при r = R:
.
Подставляя значение А в (1.2), получаем:
(1.3)
В последней формуле: (р1 - р2) = Dр - изменение давления жидкости в трубе на длине l, R - радиус трубы, r - текущий радиус.
Максимальное значение скорости жидкости соответствует оси трубы при r = 0
(1.4)