Обобщенная структурная схема САУ

ВВЕДЕНИЕ

Теория автоматического управления изучает процессы управления, методы исследования и основы проектирования систем автоматического управления (САУ). Понимая управление каким-либо объектом, как процесс воздействия на него с целью обеспечения требуемого изменения его состояния, под автоматическим управлением будем понимать управление объектом без непосредственного участия человека. В настоящее время теория автоматического управления представляет собой единую научную базу для решения задач управления объектами различной природы: физической, химической, биологической и т.п.

Целью проведения инженерных расчетов САУ является решение одной из двух задач – анализа или синтеза системы. В первом случае требуется оценить показатели качества регулирования системы при условии, что ее структура и значения параметров известны. Во втором случае задаются требуемые значения показателей качества и ставится задача создать систему, удовлетворяющую этим требованиям.

Независимо от цели расчетов решение поставленной задачи предполагает разработку математического описания системы – ее математической модели.

1. ОСНОВНые понятия и определения теории автоматического управления

1.1. Краткие сведения по истории развития систем автоматического управления

К числу определяющих моментов в истории развития систем автоматического управления обычно относят создание центробежного регулятора, запатентованного Дж. Уаттом в 1784 году, и предназначенного для регулирования скорости паровой машины. Регулирование осуществлялось двумя сбалансированными на одной оси грузами, вращающимися синхронно с валом машины и соединенными с дроссельной заслонкой, которая при центробежном перемещении грузов перекрывала проходное сечение парового патрубка. Установка паровой машины Дж.Уатта на транспортные объекты (повозки и корабли) привела к созданию паровозов и пароходов, что привело к появлению транспортного машиностроения.

Но очевидно, что потребность в использовании различного рода регуляторов возникла гораздо раньше – а именно при создании таких высокоточных механизмов, как часы. Сохранилось описание конструкции часов, которые Гюйгенс в 1657 году снабдил маятниковым регулятором хода. Гораздо более раннее упоминание об использовании автоматических устройств связано с именем Герона Александрийского, в работах которого рассматривается пневматическое устройство, предназначенное для автоматического открывания ворот храма, но которое так и не было реализовано практически. И лишь на рубеже XVIII и XIX столетий, в эпоху бурного развития промышленности в Европе началось широкое внедрение промышленных регуляторов. К первым автоматическими регуляторами этого периода, кроме упомянутого регулятора скорости Дж. Уатт, следует отнести автоматический поплавковый регулятор питания котла паровой машины, внедренный в 1765 году И.И. Ползуновым, то есть почти на двадцать лет раньше регулятора Уатта, а также система программного управления ткацким станком, разработанная Жаккаром в 1804-1808 годах. В этот же период начинает развиваться и теория автоматического управления, формируется ряд важных принципов автоматики: принцип регулирования по отклонению Ползунова-Уатта и принцип регулирования по возмущению Понселе. Первые публикации по исследованию регуляторов появляются в двадцатых–тридцатых годах XIX века. Д.С. Чижов опубликовал один из первых трудов в 1823 году. Значительный вклад в теорию внесли три фундаментальные работы, содержащие по существу изложение основ новой науки: Д.К. Максвелла «О регуляторах» (1866 г.) и две работы И.А. Вышнеградского «Об общей теории регуляторов» (1876 г.) и «О регуляторах прямого действия» (1877 г.). Их публикация позволило дать общий подход к исследованию разнообразных по своей физической природе систем, заложить основы теории устойчивости и установить ряд важных общих закономерностей регулирования по принципу обратной связи. Начинается усиленная разработка математического аппарата, в частности были разработаны алгоритм для определения устойчивости систем по виду корней характеристического уравнения и критерии устойчивости систем Раусcа (1877 год) и Гурвица (1895 год). В 1892 г. выходит в свет работа А.М. Ляпунова "Общая задача об устойчивости движения", окончательно сформулировавшая теорию регулирования как особую область знаний, опирающуюся на строго доказанный математический аппарат и конкретные практические приложения.

Важное место в теории регулирования занимают работы Н.Е. Жуковского «О прочности хода» и «Теория регулирования хода машин» (1909 г.).

В период с 1900 по 1940 гг. появляется целый ряд работ, рассматривающих приложения теории регулирования к разнообразным техническим процессам. Особенно чётко мысль о теории регулирования как о дисциплине общетехнического характера проводится в ряде работ И.И. Вознесенского (период с 1922 по 1942 гг.), руководителя одной из крупнейших научных школ в этой области.

Быстрое развитие систем автоматического управления вело к необходимости создания более эффективных методов исследования. Появляются работы Найквиста (1932 г.) и Михайлова (1938 г.), касающиеся теории устойчивости. Частотные критерии устойчивости, разработанные А.В. Михайловым, быстро вошли в практику. В 1946 г. Т Броде и Я. Маккол ввели в рассмотрение логарифмические характеристики.

В эти же годы усилия исследователей направляются на разработку общих основ теории нелинейных систем. Одно из важнейших направлений, исследование устойчивости нелинейных систем, основывающееся на работах А.М. Ляпунова (1896 г.), развивалось в работах Н.Г. Четаева (1945 г.), А.И. Лурье (1944–1951), А.М. Летова и др.

В трудах Г.В. Щипанова, В.С. Кулебякина, Б.Н. Петрова и других были разработаны теория автоматического регулирования по возмущению и теория компенсации возмущений.

В.В. Казаничевым, А.П. Юркевичем, А.А. Фелдбаумом, А.А. Красовским и другими были сформулированы и исследованы принципы экстремального управления и разработана теория экстремальных систем, а также созданы основы теории оптимального управления.

В настоящее время повышение значимости теории автоматического управления обусловлено еще и тем, что принципы управления, определяющие функционирование технических объектов, во многом аналогичны тем законам, по которым развиваются биологические, экономические и социальные системы. Это обуславливает возможность формирования обобщенной теории управления, подтверждающей слова французского ученого Блеза Паскаля: «Не следует себя обманывать: мы являемся в такой же степени автоматами, в какой и мыслящими существами…»

Классификация СAУ

Системы автоматического регулирования классифицируются по различным признакам.

1. По принципу построения, различают разомкнутые системы, системы с управлением по отклонению (с обратной связью) и системы с компенсацией возмущения.

В разомкнутых системах (см. рис. 1.1) управляющее воздействие U(t),

формируемое на выходе УУ, определяется только входным сигналом системы х_вх(t) и не зависит от выходной величины объекта регулирования х_вых(t). При наличии значительных возмущений или нестабильности параметров системы фактический закон изменения выходной величины может значительно отклоняться от заданного.

В соответствии с принципом управления по отклонению управляющее воздействие U(t) зависит от отклонения фактического закона изменения регулируемой величины от требуемого. Сигнал

х(t) = х_вх(t) - х_вых(t),

называемый ошибкой регулирования, формируется на элементе сравнения (ЭС). Информация о текущем значении регулируемой величины поступает в ЭС по каналу обратной связи (ОС). Наличие канала ОС делает структуру системы замкнутой (рис. 1.2.).

Рис. 1.2. Структура системы с управлением по отклонению

В общем случае ОС может быть не только отрицательной, но и положительной, при этом в ЭС входной и выходной сигналы системы складываются.

Рис. 1.3. Структура системы с компенсацией возмущения

В системах с компенсацией возмущения (рис. 1.3.) управляющее воздействие U(t) на выходе УУ зависит как от входного сигнала системы х_вх(t) , так и от возмущающего воздействия х_возм(t).

2. По виду входного сигнала САУ делятся на: системы стабилизации, входной сигнал которых является постоянной величиной (например, системы автоматической стабилизации скорости резания при металлообработке или системы стабилизации напряжения); системы программного управления, в которых входной сигнал является известной, заранее заданной функцией времени (например, система управления станков с ЧПУ); следящие системы, в которых входной сигнал заранее не определен и зачастую случаен (напри­мер, радиолокационные системы автоматического сопровождения цели).

3. Существенным при математическом описании систем является их деление на линейные и нелинейные. Для линейных систем выполняется принцип суперпозиции, суть которого заключается в следующем: если на вход системы поступает управляющее воздействие, которое можно представить в виде суммы k простых воздействий

,

то реакция системы (ее выходной сигнал) равна сумме реакций на каждое слагаемое х_вхi(t), При этом значение k и форма х_вхi(t) могут быть любыми.

Все реальные системы в технике и в природе, как правило, являются в большей или в меньшей степени нелинейными. Системы, нелинейность которых проявляется незначительно, можно, с приемлемой для практики точностью, описывать как линейные, используя более простые линеаризованные характеристики и уравнения. Очевидно, что для существенно нелинейных систем использование линеаризованных моделей недопустимо, и такие системы должны рассматриваться отдельно.

4. Различают стационарные и нестационарные САУ. Параметры стационарных систем неизменны, а у нестационарных параметры являются функциями времени или сигналов системы.

5. По виду зависимости регулируемой величины от внешнего воздействия различают статические и астатическиеСАУ. В последних, после завершения переходного процесса, вызванного внешним воздействием, значение регулируемой величины устанавливается равным заданному, т.е. в установившемся режиме ошибка регулирования равна нулю. В статических САУ регулируемая величина по окончании переходного процесса принимает значение, пропорциональное внешнему воздействию, при этом установившееся значение ошибки регулирования отлично от нуля.

6. Система относится к непрерывным, если все сигналы в ней являются непрерывными функциями времени. В дискретныхСАУ имеет место дискретный способ передачи и преобразования сигналов. Важнейшим классом дискретных систем являются цифровые системы, в структуру которых входят цифровые вычислительные устройства (контроллеры, микропроцессоры и т.п.).

7. В адаптивных САУ управляющее устройство позволяет обеспечить изменение алгоритмов управления и параметров системы (например, коэффициентов усиления звеньев), в результате чего достигается высокое качество работы системы.

Неминимально-фазовые звенья

Мы рассмотрели наиболее часто встречающиеся на практике типы минимально-фазовых звеньев. В отличие от них передаточная функция любого неминимально-фазового звена имеет хотя бы один «правый» ноль или полюс. Приведем пример такой передаточной функции:

.

Здесь имеется положительный полюс (корень знаменателя):

.

Частотные характеристики такого звена:

; ,

так как при входной и выходной гармонические сигналы находятся в противофазе.

В то же время для обычного апериодического звена имеем:

Разница между ними, как видим, в величине фазы, амплитудные же характеристики одинаковы. Оказывается, что из всех возможных звеньев с одинаковыми амплитудными характеристиками минимально-фазовые типовые звенья обладают наименьшими по абсолютному значению фазовыми характеристиками. В этом и состоит смысл введенных терминов.

Важным свойством минимально-фазовых звеньев является однозначное соответствие амплитудной и фазовой частотных характеристик. Другими словами, по заданной амплитудно-частотной характеристике всегда можно определить амплитудно-фазовую и наоборот. Этим же свойством обладают вещественная и мнимая части амплитудно-фазовой характеристики минимально-фазовых звеньев.

Заметим, что для данного неминимально-фазового звена переходная функция будет расходящейся, вместо обычной затухающей.

2.6. Эквивалентные преобразования структурных схем линейных САУ

В САУ встречаются три вида соединений звеньев: последовательное, параллельноеи соединение звеньев по схемес обратной связью.

В системе, состоящей из n последовательно соединенных звеньев (рис. 2.28) выходной сигнал предыдущего звена равен входному сигналу последующего.

Рис. 2.28. Последовательное соединение звеньев

Изображения по Лапласу выходных сигналов этих звеньев равны:

x_вых1(p) = W₁(p)x_вх(p); x_вых2(p) = W₂(p) x_вых1(p); … x_вых(p) = W_n(p)x_вых(n)(p).

Откуда

x_вых x_вх(p).

Следовательно, передаточная функция системы примет вид:

. (2.57)

Таким образом, передаточная функция последова­тельно соединенных звеньев равна произведению пере­даточных функций этих звеньев.

Частотные характеристики последовательно соеди­ненных звеньев:

где A(ω) = A₁(ω)A₂(ω)…A_n(ω); .

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика звеньев, соединенных последовательно:

. (2.58)

Следовательно, логарифмические амплитудно- и фазо-частотная характеристики системы, состоящей из последовательно сое­диненных звеньев, равны сумме ЛАХ и ФЧХ отдельных звеньев. Это существенно упрощает построение логарифмических частотных характеристик, по сравнению с обычными характеристиками.

Передаточная функция минимально-фазовой системы в общем случае может быть записана в виде:

. (2.59)

В выражении (2.59) сомножители в числителе определяют нули передаточной функции, а именно:

· сомножитель соответствует нулевому нолю кратности ,

· сомножитель – действительному нолю кратности l,

· сомножитель – паре комплексно-сопряженных нолей кратности .

Аналогичные сомножители в знаменателе выражения (2.59) определяют полюса передаточной функции, а именно:

· сомножитель соответствует нулевому полюсу кратности ,

· сомножитель – действительному полюсу кратности ,

· сомножитель – паре комплексно-сопряженных полюсов кратности .

Очевидно, что в зависимости от соотношения s и передаточная функция (2.59) может иметь только один тип особенностей: либо нулевые ноли, либо нулевые полюса. Кроме того, предполагается, что в (2.59) для коэффициентов демпфирования выполняются неравенства: 0 < ζ < 1.

Формально передаточная функция (2.59) представляет собой произведение нескольких сомножителей, что соответствует последовательному соединению звеньев, и для вычисления можно воспользоваться выражением (2.58). При этом построение ЛАХ системы осуществляется без предварительного построения ЛАХ отдельных звеньев по следующим правилам.

На оси частот в порядке возрастания указываются все частоты сопряжения ЛАХ, определяемые соответствующими постоянными времени: = 1/ .

Построение ЛАХ начинается на частотах, меньших самой малой частоты сопряжения .

Если при этом в выражении (2.59) выполняется равенство s = = 0 (система не имеет нулевых полюсов и нолей), то первая низкочастотная асимптота ЛАХ проводится параллельно оси частот на уровне 20 lgk до частоты

Если в выражении (2.59) s , а = 0, то уравнение низкочастотной асимптоты:

, (2.60)

т.е. ЛАХ до наименьшей частоты сопряжения проводится с наклоном (+20∙s) дБ/дек.

Если в выражении (2.48) s = , а , то уравнение низкочастотной асимптоты:

, (2.61)

и наклон ЛАХ до наименьшей частоты сопряжения равен -20∙ дБ/дек.

Для построения низкочастотной асимптоты ЛАХ необходимо для произвольной частоты меньшей или равной по выражениям (2.60) или (2.61) рассчитать величину и через точку с координатами ( ; ) провести ЛАХ с необходимым наклоном.

На частоте производится излом ЛАХ с изменением ее наклона, величина которого определяется видом сомножителя в выражении (2.59), которому соответствует сопрягающая частота . Наклон ЛАХ на частоте изменяется по отношению к предыдущему наклону на +20∙l, если соответствует постоянной времени T из сомножителя вида в числителе передаточной функции (2.59).

1/Т1

1/Т2

-20 дБ/дек

+20 дБ/дек

1/Т1

1/Т2

-20 дБ/дек

+20 дБ/дек

+20 дБ/дек

-20 дБ/дек

1/Т1

1/Т2

1/Т3

1/Т1

1/Т2

-20 дБ/дек

-40 дБ/дек

а)

б)

в)

г)

Рис. 2.29. Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика системы с передаточной функцией: а) > > ; б) > ; в) > ; г) >

Если сомножитель вида , соответствующий присутствует в знаменателе (2.59), то изменение наклона составляет -20∙ .

В случае, когда соответствует постоянной времени T из сомножителя вида , происходит изменение предыдущего наклона на +40∙h, если указанный сомножитель присутствует в числителе , и на -40∙ , если он присутствует в знаменателе.

Таким же образом характеристика продолжается в сторону увеличения частоты, претерпевая соответствующие изломы на каждой сопрягающей частоте . При необходимости вид построенной ЛАХ уточняется путем введения поправок для колебательных звеньев.

Примеры построения ЛАХ по различным передаточным функциям приведены на рис. 2.29.

В системе, состоящей из n параллельно соединенных звеньев (рис. 2.30), на вход каждому из звеньев подается один и тот же сигнал x_вх(p), а их выходные сигналы суммируются:

.

Так как

;

;

……………………………

,

то

Рис. 2.30. Параллельное соединение звеньев

Рис. 2.31. Соединение звеньев по схеме с обратной связью

x_вых(p) = x_вых1(p) +x_вых2(p)+…+x_вых(n)(p) = .

Таким образом, передаточная функция параллельно соединенных звеньев равна сумме передаточных функ­ций отдельных звеньев:

W(p) = . (2.62)

Очевидно, что в случае, когда выходной сигнал какого-либо из параллельно соединенных звеньев поступает в сумматор со знаком «минус», передаточная функция этого звена входит в (2.62) также со знаком «минус».

Рассмотрим структуру системы с обратной связью (рис. 2.31). На вход звена, охваченного обратной связью, подается сигнал рассогласования, равный:

.

Поскольку , то

Изображение выходного сигнала:

x_вых(р)=

откуда

.

Следовательно, передаточная функция замкнутой системы (в замкнутом состоянии) описывается следующим выражением:

Ф(p) = . (2.63)

Передаточная функция (2.63) найдена для случая от­рицательной обратной связи. Если обратная связь поло­жительная, то

Ф(p) = . (2.64)

При анализе и синтезе CАУ, наряду с передаточной функцией (2.63) – (2.64), используются передаточная функция разомкнутой системы и передаточная функция по ошибке.

Передаточная функция разомкнутой системы (замкнутой системы в разомкнутом состоянии):

W(p) = . (2.65)

Передаточная функция по ошибке:

Ф_x(p) =

. (2.66)

Вопросы для самопроверки

1. Является ли блок умножения двух сигналов линейным звеном? В случае отрицательного ответа приведите линеаризованное описание этого звена в отклонениях.

2. Сформулируйте основные теоремы преобразования Лапласа.

3. Дайте определение передаточной функции САУ.

4. Как передаточная функция линейной системы зависит от входного сигнала?

5. Как определяются нули и полюса передаточной функции системы? Чему равен порядок передаточной функции системы?

6. 6.С чем связана физическая реализуемость САУ?

7. Какие системы являются минимально-фазовыми?

8. Что называется переходной функцией системы? Как переходная функция связана с функцией веса системы?

9. Как связаны между собой передаточная функция и функция веса системы?

10. Что описывают частотные характеристики САУ?

11. Как связаны передаточная функция и амплитудно-фазовая характеристика линейной системы?

12. Назовите основные виды соединения звеньев в САУ?

13. Чему равна передаточная функция замкнутой системы в разомкнутом состоянии?

14. Дайте определение передаточной функции замкнутой системы по ошибке.

Запасы устойчивости

Рис. 3.9. К определению запасов устойчивости по фазе Δφ и по усилению

В процессе эксплуатации САУ ее параметры (коэффициенты усиления, постоянные времени) из-за из­менения внешних условий, колебаний напряжений источ­ников энергии и других причин отличаются от расчетных значений. Если не принять определенных мер, то исходная устойчивая система может стать неустойчивой. Для исключения этого явления при проектировании следует обеспечить опреде­ленные запасы устойчивости системы, которые характе­ризуют близость годографа амплитудно-фазовойхаракте­ристики разомкнутой системы W(jω) к точке с координатами (-1, j0).

Различают запас устойчивости по фазе и усилению. Запасы устойчивости определяются на двух частотах: частоте среза ω_с и критической частоте ω_кр . На частоте среза амплитудно-частотная характеристика разомкнутой системы |W(jω)| равна единице, а на критичес­кой частоте фазо-частотная характеристика этой системы φ(ω) принимает значение, равное -π.

Запас устойчивости по фазе Δφ показывает, насколько фазо-частотная характеристика разомкнутой системы на частоте среза ω_с отлича­ется от -π (рис. 3.9):

Δφ = π – .

Величина запаса устойчивости по усилению может быть определена на частоте ω_кр, как разность:

= 1 – |W(jω_кр)|,

либо как отношение

α = 1/ |W(jω_кр)|.

а)

Рис. 3.10. Годографы W(jω) абсолютно устойчивой (а) и условно устойчивой (б) САУ

б)

Во втором случае величиназапаса устойчивости по усилению определяет, во сколько раз необходимо увеличить коэффициент усиления, чтобы система оказалась на границе устойчивости.

Системы, годографы W(jω) ко­торых пересекают вещественную ось только справа от точки с координатами (-1, j0)(рис. 3.10, а), называют аб­солютно устойчивыми. В таких системах неустойчивость может наступить только при увеличении коэффициента усиления.

Если годограф частотной характеристики W(jω) разомкну­той системы пересекает вещественную ось и слева от точ­ки с координатами (-1, j0), то систему называют услов­но устойчивой (рис. 3.10, б). Неустойчивой такая система может быть как при увеличении, так и при уменьшении коэффициента усиления.

Для нормальной работы САУ необходимо, что­бы запас устойчивости по усилению α был не менее двух, а запас устойчивости по фа­зе – от 0,5 до 1 рад.

3.5. Оценка устойчивости по логарифмическим
амплитудно- и фазо-частотным
характеристикам

Оценку устойчивости замкнутой САУ можно осуществлять по логарифмическим амплитудно- и фазо-частотным характеристикам системы в разомкнутом состоянии: L(ω) и φ(ω). В том случае, когда годограф W(jω) не имеет точек пересечения с вещественной осью слева от точки с коор­динатами (-1, j0), для устойчивости замкнутой сис­темы необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

ω_с < ω_кр.

Наши рекомендации