Полная вероятность. Формула Байеса.

Задача 8.

Пусть событие А может произойти в результате осуществления одного события из

некоторой полной группы событий H1, H2, …Hn.

События этой группы обычно называют гипотезами. Тогда

P(A) = P(H1)PH1(A) + P(H2) PH2(А) +…+ P(Hn)PHn(A) (1)

(формула полной вероятности), причем

P(H1) +P(H2) +…+ P(Hn) = 1.

Пусть в результате испытания произошло событие А, которое могло наступить только

вместе с одним из событий H1, H2,…Hn, образующих полную группу событий (они

называются гипотезами). Требуется найти вероятность событий H1, H2,… Hn после

испытания, когда событие А имело место, т.е. PA(Hi), i = 1,2,…n. Для нахождения этих вероятностей используют формулы Байеса (формулы гипотез):

PA (Hi) = Полная вероятность. Формула Байеса. - student2.ru (2)

Замечания.

1) Вероятности PA(H1) называются послеопытными (апостериорными) вероятностями

гипотез Hi, а вероятности P(Hi) - доопытными (априорными) вероятностями гипотез

Hi. Эти вероятности различаются.

2) Знаменатель в правой части формулы (2) совпадает с правой частью формулы (1) и

равен P(A).

Решение задач.

1.На трех станках-автоматах обрабатываются однотипные детали, поступающие после обработки на общий конвейер. Первый станок дает 2% брака, второй – 7%, третий – 10%. Производительность первого станка в 3 раза больше производительности второго, а третьего – в 2 раза меньше, чем второго.

а) Каков процент брака на конвейере?

б) Каковы доли деталей каждого станка среди бракованных деталей на конвейере?

Решение. Возьмем с конвейера наудачу одну деталь и рассмотрим событие А – деталь бракованная. Оно связано с гипотезами относительно того, где была обработана эта деталь: Нi – взятая наудачу деталь обработана на i-ом станке,i=1,2,3 .

Условные вероятности (в условии задачи они даны в форме процентов):

Полная вероятность. Формула Байеса. - student2.ru , Полная вероятность. Формула Байеса. - student2.ru , Полная вероятность. Формула Байеса. - student2.ru .

Зависимости между производительностями станков означают следующее: Полная вероятность. Формула Байеса. - student2.ru . Причем P(H1) +P(H2) +P(H3) = 1,так как гипотезы образуют полную группу.

Для того, чтобы найти вероятности появления гипотез, нам придется решить систему вышеперечисленных уравнений. Решив ее, получим Полная вероятность. Формула Байеса. - student2.ru .

а) Полная вероятность того, что взятая наудачу с конвейера деталь – бракованная:

P(A) = P(H1)PH1(A) + P(H2) PH2(А) + P(H3)PH3(A)== Полная вероятность. Формула Байеса. - student2.ru .

Другими словами, в массе деталей, сходящих с конвейера, брак составляет 4%.

б) Пусть известно, что взятая наудачу деталь – бракованная. Пользуясь формулой Байеса, найдем условные вероятности гипотез:

Полная вероятность. Формула Байеса. - student2.ru ,

Полная вероятность. Формула Байеса. - student2.ru ,

Полная вероятность. Формула Байеса. - student2.ru .

Таким образом, доли деталей каждого станка среди бракованных деталей на конвейере для первого станка составляет 33%, второго – 39%, третьего – 28%.

Тема 5

Повторные испытания.

Задачи 9-11.

Формула Бернулли:Если производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А появится с вероятностью р, то вероятность того, что событие А появится ровно k раз в n испытаниях, выражается формулой, которую называют формулой Бернулли

Pn(k) = Cnkpk qnk ,где q=1-p (1),

Иногда бывают полезны следующие формулы: Вероятность того, что событие A:

1) наступит n раз: Полная вероятность. Формула Байеса. - student2.ru ; (2)

2) не наступит ни разу: Полная вероятность. Формула Байеса. - student2.ru ; (3)

3) наступит хотя бы один раз: Полная вероятность. Формула Байеса. - student2.ru ; (4)

4) наступит не более k раз: Полная вероятность. Формула Байеса. - student2.ru (5)

или Полная вероятность. Формула Байеса. - student2.ru . (6)

5) наступит не менее k раз: Полная вероятность. Формула Байеса. - student2.ru (7)

или Полная вероятность. Формула Байеса. - student2.ru . (8)

Из формул (5)и(6), а также (7)и (8) выбирают ту, которая содержит меньше слагаемых.

Наши рекомендации