Численные методы решения задач электродинамики
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
И ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА
Методические указания по выполнению контрольной работы по дисциплине для студентов заочной и заочной сокращенной форм обучения направления 13.03.02 «Электроэнергетика
И электротехника»
| Одобрено УМКН по направлению 13.03.02 «Электроэнергетика и |
| электротехника», протокол № __ от «__» _____________ 2015 г. |
Саратов - 2015
Рецензенты: к.т.н., доцент, заведующий кафедрой «Автоматизированные электротехнологические установки и системы» Тригорлый Сергей Викторович; д.т.н., доцент, профессор кафедры «Автоматизированные электротехнологические установки и системы» Антонов Игорь Николаевич
Численные методы решения задач электродинамики и тепломассопереноса: метод. указания по выполнению контрольной работы по дисциплине для студентов заочной и заочной сокращенной форм обучения напр. 13.03.02 «Электроэнергетика и электротехника» / Саратовский гос. техн. ун-т им. Гагарина Ю.А.; сост.: В.С. Алексеев, В.А. Лаврентьев. - Саратов: СГТУ, 2015. – 44 с.
Учебное издание
Вадим Сергеевич АЛЕКСЕЕВ, Владимир Александрович ЛАВРЕНТЬЕВ
© Алексеев В.С., Лаврентьев В.А., 2015
© Саратовский государственный технический
университет имени Гагарина Ю.А., 2015
ВВЕДЕНИЕ
Контрольная работа – это одна из основных форм рубежного контроля студенческих знаний (как правило, для студентов заочной формы обучения). Цель контрольной работы заключается в оценке качества усвоения студентами отдельных, как правило, наиболее важных разделов, тем и вопросов изучаемой дисциплины, а также умения решать конкретные практические и теоретические задачи.
Тематика контрольных работ разрабатывается преподавателем, читающим данную дисциплину. Вариант контрольной работы (Приложение 2) определяется в порядке, установленном преподавателем: по последней цифре номера зачетной книжки, по фамилии, по списку группы. Замена варианта контрольной работы не допускается.
В контрольной работе должны быть правильно решены поставленные задачи. При написании контрольной работы студент должен использовать методические указания по выполнению контрольной работы, новейшую литературу по данной дисциплине, а также литературные и нормативные источники, рекомендованные преподавателем.
Проверка контрольной работы позволяет выявить насколько глубоко и полно студент усвоил соответствующие разделы или темы курса, имеются ли недоработки, пробелы в усвоении изучаемого материала. Положительной оценкой работы является «зачтено». За работы, не удовлетворяющие предъявляемым требованиям, выставляется «незачтено». Оценку «зачтено» выставляется работам, которые отвечают следующим требованиям:
• контрольная работа строго соответствует варианту, который определяется в соответствии с методическими указаниями;
• все вопросы задания раскрыты полно, четко и логически последовательно;
• контрольная работа выполнена студентом самостоятельно;
• контрольная работа оформлена в соответствии с настоящими рекомендациями.
Замечания, выявленные преподавателем в ходе проверки, фиксируются на полях работы. К рассмотрению не принимаются ксерокопии контрольных работ и работы, которые выполнены с нарушением установленных требований, Студент, контрольная работа которого не получила положительную оценку, не допускается к сдаче экзамена по дисциплине. Объем контрольной работы – 10-15 печатных страниц.
Контрольная работа регистрируется на кафедре в установленные сроки. Непредставление работы в срок является основанием не допуска студента к экзамену по данной дисциплине.
Структура контрольной работы
Структура контрольной работы по дисциплине «Численные методы решения задач электродинамики и тепломассопереноса» содержит следующие структурные элементы: титульный лист (Приложение 1); содержание; основная часть (решение задач с описанием процесса решения); заключение; список использованных источников.
Оформление содержания контрольной работы
Общий объем контрольной работы должен быть в пределах 10-15 печатных страниц, оформленных в соответствии с ГОСТ 2.105-95.
Студент выполняет текстовый вариант работы на белой бумаге формата А4 (210×297 мм). Текст работы должен быть изложен на одной стороне листа. Все буквы, цифры и знаки контрольной работы должны быть черного цвета. При согласовании с преподавателем допускается предоставление контрольной работы в рукописном виде.
Текст реферата, рисунки, формулы, таблицы, а также номера страниц не должны выходить за пределы двухсантиметровой рамки листа А4. Номера страниц должны быть проставлены в правом верхнем углу. При использовании текстового редактора Word, для выполнения этих условий необходимы следующие настройки:
• размер бумаги А4;
• поля слева – 3 см; сверху и снизу по 2 см; правое поле 1,5 см;
• номер страницы – правый верхний угол.
Основной текст контрольной работы набирается шрифтом Times New Roman, размер 14 пт, начертание обычное, через полуторный интервал, выравнивание по ширине страницы. Формулы набираются в формульном редакторе Microsoft Equation 3.0. Высота символов в формуле должна соответствовать размеру символов основного текста. Формулы выравниваются по центру. Для оформления таблиц и подписей к рисункам допускается Times New Roman, размер 12 пт.
Рекомендуемое количество использованных источников определяется преподавателем дисциплины, по которой выполняется контрольная работа.
Контрольная работа должна быть переплетена в обложку или помещена в папку–скоросшиватель (картонную или пластиковую).
Вместе с бумажной версией на кафедру должна быть сдана электронная версия контрольной работы. Название файла должно иметь вид: ФамилияИО_группа_год_7.doc.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Метод половинного деления
Найдем приближенно 
с точностью 
. Эта задача эквивалентна решению уравнения 
, или нахождению нуля функции 
. В качестве начального отрезка 
возьмем отрезок 
. На концах этого отрезка функция принимает значения с разными знаками: 
. Найдем число 
делений отрезка , необходимых для достижения требуемой точности. Имеем:
.
Следовательно, не позднее 6-го деления найдем 
с требуемой точностью, 
. Результаты вычислений представлены в табл.
 | |||||||
 | 1,0000 | 1,0000 | 1,0000 | 1,1250 | 1,1250 | 1,1406 | 1,1406 |
 | 2,0000 | 1,5000 | 1,2500 | 1,2500 | 1,1875 | 1,1875 | 1,1562 |
 | 1,5000 | 1,2500 | 1,1250 | 1,1875 | 1,1406 | 1,1562 | 1,1484 |
Зн  | - | - | - | - | - | - | - |
Зн  | + | + | + | + | + | + | + |
 | 5,5938 | 0,7585 | -0,2959 | 0,1812 | -0,0691 | 0,0532 | -0,0078 |
| – | 1,0000 | 0,5000 | 0,2500 | 0,1250 | 0,0625 | 0,0312 | 0,0156 |
Метод простой итерации
Пример 1.Используем метод простой итерации для решения уравнения 
с точностью 
. Преобразуем уравнение к виду:
, т. е. 
.
Нетрудно убедиться, что корень уравнения находится на отрезке 
. Вычислив значения 
на концах отрезка, получим: 
, а 
, т. е. функция на концах отрезка имеет разные знаки,
поэтому внутри отрезка есть корень. Расположение корня наглядно иллюстрирует рис. 7.
Рис. 7
Подсчитаем первую и вторую производные функции :
.
Так как 
на отрезке , то производная 
монотонно возрастает на этом отрезке и принимает максимальное значение на правом конце отрезка, т. е. в точке 
. Поэтому справедлива оценка:
.
Таким образом, условие выполнено, 
и можно воспользоваться критерием окончания вычислений. В табл. приведены приближения, полученные по расчетной формуле. В качестве начального приближения выбрано значение 
.
 | ||||||
 | 0,8415 | 0,8861 | 0,8712 | 0,8774 | 0,8765 |
Критерий окончания выполняется при 
, 
. Сходимость двусторонняя, качественный характер такой сходимости представлен на рис. 4. Приближенное значение корня с требуемой точностью 
.
Пример 2. Решить методом простой итерации уравнение 
на отрезке 
с точностью 0,025. Для решения исходное уравнение приводится к виду 
. Для выбора величины 
используем приведенную выше формулу 
. Тогда расчетная формула имеет вид 
. В качестве начального приближения можно выбрать верхнюю границу заданного отрезка 
.
 | |||
 | 0,8 | 0,78 |
Так как 
, то 
.
Метод Ньютона (касательных)
Вычислить методом Ньютона отрицательный корень уравнения 
с точностью до 0,0001. Проведя отделение корня, можно убедиться, что корень локализован на интервале 
. В этом интервале 
и 
. Так как 
и 
, то за начальное приближение можно принять 
.
 |  |  |  |
| -11 | -5183 | 0,6662 | |
| -10,3336 | 307,3 | 4276,8 | 0,0718 |
| -10,2618 | 3,496 | 4185,9 | 0,0008 |
| -10,261 | 0,1477 | - | - |
.Поэтому 
.
Метод хорд
Найти положительный корень уравнения с точностью 
. Отделим корень. Так как 
, 
, то 
. Разделим интервал пополам: 
, тогда 
.
Найдём производные: 
, 
. Исходя из того, что 
, то 
и пользуемся формулой (10): 
, 
.
, 
, 
.
Так как 
, то 
.
Комбинированный метод
Пример. Вычислить положительный корень уравнения 
. Так как 
, то 
.
, 
на 
, поэтому 
.
.
.
; 
.
Так как 
, то
; 
.
Так как 
, то 
.
Решение.
1) Начальные приближения можно определить графическим способом. Для этого перепишем систему в виде: 
Первое из преобразованных уравнений определяет эллипс, а второе – гиперболу. Данная система имеет два решения. Для уточнения выбирают одно из них, принадлежащее области 
и 
.
За начальное приближение принимают 
и 
.
2) Находим
 |  |  |  |  |
 |  |  |  | |
| 0,5 | -0,1052 | -8,76 | 49,32 | |
| -0,46 | -0,3848 | 2,76 | ||
| 0,5742 | 0,0114 | 2,2968 | -8,7306 | 51,2203 |
| -0,4551 | 0,0052 | 5,1484 | 2,7306 | |
| 0,5727 | 0,00006 | 2,2908 | -8,7252 | 51,1375 |
| -0,4542 | -0,00011 | 5,1454 | 2,7252 | |
| 0,5727 | ||||
| -0,4542 |
Поскольку 
, то 
.
Окончательный ответ: 
и 
.
Решение.
1) Приведем систему к форме: 
2) Для нахождения начального приближения отделим корни. Построив два графика 
и 
и найдя их точку пересечения, можно увидеть, что система имеет единственное решение, заключенное в области 
и 
.
3) Проверим приведенную систему на сходимость итерационного процесса:
Следовательно,
и 
т.е. условия сходимости выполняются.
4) Для поиска последовательных приближений используют формулы:
Выберем следующие начальные значения: 
.
 | 0,15 | 0,1616 | 0,1508 | 0,1539 | 0,1510 | 0,1519 | 0,1510 |
 | -2 | -2,035 | -2,0245 | -0,0342 | -2,0313 | -2,0341 | -2,0333 |
Поскольку 
, то 
и 
.
Метод наименьших квадратов
Построим по методу наименьших квадратов многочлены первой и второй степени и оценим степень приближения. Значения 
в точках 
, 
приведены в следующей таблице.
 | |||||
 | |||||
 | -1 |
Вычислим коэффициенты 
по формулам для линейной и квадратичной аппроксимация 
; 
.
Для линейной аппроксимации система уравнений определения коэффициентов 
и 
многочлена первой степени 
имеет вид:
.
Решая эту систему, получим:
.
.
Для квадратичной аппроксимации система уравнений определения коэффициентов 
и 
многочлена второй степени 
имеет вид:
.
И коэффициенты равны:
. Тогда
.
Сравним значения, рассчитанные для функциональной зависимости, с исходными данными. Результаты приведены в табл. 3.
Таблица 3
 | |||||
 | |||||
 | -1 | ||||
 | -1 | 0,7 | 2,4 | 4,1 | 5,8 |
 | -1 | 0,62 | 2,24 | 6,9 |
Погрешность приближения в соответствии с исходными формулами составит:
.
.
Многочлен Лагранжа
Построить интерполяционный многочлен Лагранжа 
, совпадающий с функцией 
в точках 
.
Решение. Составим таблицу
| х | -2 | -4/3 | 4/3 | ||
| у |
Подставляя эти значения в формулу Лагранжа, получим:
Решение.
| х | у |  |  |  |
| 1,6990 | ||||
| 0,0414 | ||||
| 1,7404 | -0,0036 | |||
| 0,0378 | 0,0005 | |||
| 1,7782 | -0,0031 | |||
| 0,0347 | ||||
| 1,8129 |
Здесь 
; 
.
Вычисляя погрешность, получим:
.
Действительно, 
.
Таким образом, результаты совпадают до четвертого знака.
Литература
1. Бахвалов, Н.С. Численные методы в задачах и упражнениях [Электронный ресурс]: учебное пособие / Н.С. Бахвалов, А.В. Лапин, Е.В. Чижонков. - 3-е изд. (эл.). - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2013. - 240 с. - Режим доступа: http://www.studentlibrary.ru/book/ISBN9785996322664.html. – ЭБС "Электронная библиотека технического ВУЗа".
2. Численные методы [Электронный ресурс] / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. - 7-е изд. (эл.). - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012. - 636 с. - Режим доступа: http://www.studentlibrary.ru/book/ISBN9785996308026.html. – ЭБС "Электронная библиотека технического ВУЗа".
3. Коломоец, А. А. Численные методы и комплексы программ [Текст]: учеб. пособие по курсу "Математическое моделирование" для студ. всех спец. / А. А. Коломоец, М. А. Дергачева; М-во образования и науки Рос. Федерации, Саратовский гос. техн. ун-т. - Саратов: СГТУ, 2011. - 64 с. – Экземпляров всего: 3. Имеется электронный аналог печатного издания.
4. Коломоец, А. А. Численные методы и комплексы программ [Электронный ресурс]: учеб. пособие / А. А. Коломоец, М. А. Дергачева; М-во образования и науки Рос. Федерации, Саратовский гос. техн. ун-т. – Электрон. текстовые дан. – Саратов: СГТУ, 2011. – 1 эл. опт. диск (CD-ROM). – Систем. требования: 128 МБ ОЗУ ; 4х CD-ROM дисковод; Microsoft Office 2003 и выше; ПК Pentium III или выше. - Загл. с экрана. – б. ц.
Электронный аналог печатного издания. Диск помещен в контейнер 14х12 см. Режим доступа: http://lib.sstu.ru/books/zak 52_11.pdf.
5. Покровский В.В. Электромагнетизм. Методы решения задач [Электронный ресурс]: учебное пособие/ Покровский В.В. – Электрон. текстовые данные. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2011. – 120 c. – Режим доступа: http://www.studentlibrary.ru/book/ISBN9785996306411.html. – ЭБС «"Электронная библиотека технического ВУЗа»
6. Григорьев А.Д. Методы вычислительной электродинамики [Электронный ресурс]/ Григорьев А.Д. – Электрон. текстовые данные. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2012. – 432 c. – Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/33386. – ЭБС «IPRbooks».
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1
Министерство образования и науки РФ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.»
Кафедра «Автоматизированные электротехнологические установки и системы»
Контрольная работа по дисциплине
«Численные методы решения задач электродинамики
И тепломассопереноса»
Вариант №
| Выполнил: ст-т гр. б1ЭЛЭТ-21 |
| Иванов И.И. |
| № зач. книжки |
| Проверил: к.т.н., доцент каф. АЭУ |
| Алексеев В.С. |
Саратов - 2015
Приложение 2
Варианты заданий
1. Решить уравнение методом половинного деления, хорд с точностью 
.
 |  | ||
 |  | ||
 |  | ||
 |  | ||
 |  | ||
 |  | ||
 |  | ||
 |  | ||
 |  | ||
 |  |
2. Решить уравнение методом Ньютона и итерации с точностью .
 |  | ||
 |  | ||
 |  | ||
 |  | ||
 |  | ||
 |  | ||
 |  | ||
 |  | ||
 |  | ||
 |  |
3. Решить уравнение методом хорд и касательных и видоизменённым Ньютона с точностью .
 |  | ||
 |  | ||
 |  | ||
 |  | ||
 |  | ||
 |  | ||
 |  | ||
 |  | ||
 |  | ||
 |  |
4. Решить систему 
методом простой итерации с точностью .
| С | d | С | d | ||
 |  |  |  | ||
 |  |  |  | ||
 |  |  |  | ||
 |  |  |  | ||
 |  |  |  | ||
 |  |  |  | ||
 |  |  |  | ||
 |  |  |  | ||
 |  |  |  | ||
 |  |  |  |
5. Решить систему 
методом Зейделя с точностью .
| А | b | A | b | ||
 |  |  |  | ||
 |  |  |  | ||
 |  |  |  | ||
 |  |  |  | ||
 |  |  |  | ||
 |  |  |  | ||
 |  |  |  | ||
 |  |  |  | ||
 |  |  | | ||
 | |  | |
6. Решить систему методом простой итерации с точностью .
 |  | ||
 |  | ||
 |  | ||
 |  | ||
 |  | ||
 |  | ||
 |  | ||
| |