Вычисление показателей вариационного ряда

ПРИ БОЛЬШОЙ ВЫБОРКЕ

В данном задании производится вычисление различных статистических показателей вариационного ряда. При этом два основных статистических показателя - среднее значение признака (М) и основное отклонение (σ) - определяются двумя способами. Первый из них - способ непосредственных вычислений - в практике статистической обработки, как правило, не используется в виду повышенной трудоемкости.

Значения М и σ обычно получают с использованием теории моментов. Однако значение метода непосредственных вычислений облегчает понимание теории статистики и, прежде всего, смысла среднего значения и основного отклонения признака. Кроме того, получение указанных показателей двумя способами обеспечивает дополнительный контроль правильности вычислений.

ПОЛУЧЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ

СПОСОБОМ НЕПОСРЕДСТВЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

ПО ИСХОДНЫМ ФОРМУЛАМ

Для вычисления основных статистических показателей среднего значения признака (М) и основного отклонения (σ) производятся вспомогательные расчеты, показанные в табл. 2.1.

Таблица 2.1

Вспомогательные расчёты для получения среднеарифметической величины

(М) и основного отклонения (σ) способом непосредственных вычислений

W	n	Wn	M	= W-M
				-15,4	-46,2	237,16	711,48
				-11,4	-159,6	129,96	1819,44
				-7,4	-214,6	54,76	1588,04
				-3,4	-139,6	11,56	473,96
			31,4	+0,6	+32,4	0,36	19,44
				+4,6	+147,2	21,16	677,12
				+8,6	+172,2	73,96	1479,20
				+12,6	+126,0	158,76	1587,60
				+16,6	+66,4	275,56	1102,24
				+20,6	+20,6	424,36	424,36
					-559,8 +564,6 +4,8		9882,88

Среднее (среднеарифметическое) значение признака получают по формуле:

где: W- значение класса, n.- частота класса, N - численность ряда.

В нашем примере см

Контроль правильности вычисления M:

: = 4,8 : 208 = 0,023 < 0,05

Во избежание ошибок в последующих вычислениях полученное значение М подлежит контролю. Приближенный контроль можно выполнить следующим образом: вероятное значение М должно быть близко к значению класса с максимальной частотой. Для точного контроля необходимо использовать сумму произведений отклонений значений классов (W) от округленной среднеарифметической величины (М), т.е.:

,

умножив данные отклонения на частоты (n) соответствующих классов ( ). При правильно вычисленной и округленной величине М должно наблюдаться следующее соотношение между величиной и пределом округленияМ, величина которого в нашем примереравна 0,05:

Напомним, что если значение М записано с точностью до целой величины, то пределом ее округления будет 0,5; при записи М с точностью до 0,1; 0,01; 0,001 пределами округления соответственно будут 0,05; 0,005; 0,0005.

После вычисления и контроля М определяется величина медианы (Ме) и моды (Мо).

Величина медианы соответствует значению варианты, занимающей срединное место в вариационном ряду последовательного суммирования. Поскольку численность исследуемого ряда равна 208, то следует установить значение диаметра, приближенно соответствующее 104-ой или 105-ой варианте. Медиана определяется по формуле:

,

где: К - левая граница класса, в котором находится половина накопленных частот

Sk - накопленная частота по границе К;

n - частота данного класса.

В нашем примере:

см

Может быть использован график, на котором изображена огива (рис.1.1). На оси ординат для накопленных частот ( ) находят точку, соответствующую указанной варианте (например, 104), восстанавливают из нее перпендикуляр до пересечения с огивой и из этой точки опускают перпендикуляр до пересечения с осью абсцисс, по которой и отсчитывают искомое значение медианы. В нашем примере Мe = 31,2 см.

Приближенное значение моды соответствует значению класса с максимальной частотой, а именно:

Мo = W_maх = 32 см.

Точное значение моды определяют по формуле:

Мо ⁼ 3Mе - 2M

В нашем примере:

Мo = 3×31,2 - 2×31,4 = 93,6 - 62,8 = 30,8 см.

Для контроля вычислений следует помнить, что в правильных, с симметричными ветвями вариационных рядах значенияМ, Мe, Мo близки между собой.

Приведенные ниже вычисления остальных статистических показателей не требуют особых разъяснений.

Среднеквадратическое (основное) отклонение (σ) вычисляют по формуле:

см

Коэффициент изменчивости (варьирования):

Основная ошибка среднего значения признака:

см

Ошибка основного отклонения:

Ошибка меры изменчивости:

Показатель достоверности среднего значения признака:

Показатель точности исследования (опыта):

Полученные значения статистических показателей подлежат контрольной проверке. Так, величина σ проверяется через значение С. Коэффициент вариации признаков в специально подобранных для студентов заданиях, как правило, не превышает 30-40%. Величина m_м, контролируется через t_м и P_м Полученные средние значения признаков должны быть достоверны (t_M>3), а точность исследований - достаточно высокой (Р_м,<5-10%).