Математические методы в ландшафтной архитектуре

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ЛАНДШАФТНОЙ АРХИТЕКТУРЕ

Методические указания к выполнению лабораторных работ для студентов Лесного факультета по направлению подготовки бакалавров 250700 – Ландшафтная архитектура

Воронеж 2012

УДК 634:519

Смольянов, А. Н. Математические методы в ландшафтной архитектуре [Текст]: методические указания к выполнению лабораторных работ для студентов Лесного факультета по направлению подготовки бакалавров 250700 – Ландшафтная архитектура / А. Н. Смольянов, А. В. Мироненко, А. Н. Водолажский ; М-во образования и науки РФ, ФГБОУ ВПО «ВГЛТА». – Воронеж, 2012. – 55 с.

Печатается по решению учебно-методического совета ФГБОУ ВПО «ВГЛТА» (протокол № 9 от 14 июня 2012 г.)

Рецензент доцент кафедры статистики и анализа хозяйственной деятельности предприятий АПК ВГАУ доц. А.Ф. Золотарев

Ответственный редактор к. с.-х. наук, доц. А. Н. Смольянов

ВВЕДЕНИЕ

Вариационные рядыи их показатели обычно используются для решения сложных задач (корреляционный, регрессионный и дисперсионный анализ) и составляют их основу.

Настоящие методические указания имеют своей целью облегчитьстудентам выполнение практических заданий по первичной обработке результатов наблюдений, способствуя тем самым и лучшему усвоению теоретической части курса «Математические методы в ландшафтной архитектуре».

В указаниях рассматривается техника обработки большой статистической выборки двумя способами. Способ непосредственных вычислений позволяет студентам глубже понять теоретический смысл среднего значения признака и основного отклонения, а способ условного начала (с использованием теории моментов) получать эти же показатели при практической работе более быстрым путем. В специальном разделе анализируется вопрос точности вычислительных работ. По каждой практической работе приводятся соответствующие порядки формы расчетов с конкретными примерами. Перечисленные особенности методических указаний крайне полезны для самостоятельной работы студентов, так как наиболее сложные разделы излагаются с большой подробностью.

Наряду с обработкой данных наблюдений одного признака в методических указаниях излагаются методы изучения связей между двумя признаками с использованием корреляционного анализа. Излагаются основы моделирования природных процессов, выравнивания данных наблюдений и оценка точности проведенного выравнивания, то есть приводятся основы регрессионного анализа.

На заключительном этапе рассматриваются методы обработки данных, полученных в ходе опыта (эксперимента). Этой цели служит дисперсионный анализ. Данный раздел, как и все остальные, проиллюстрирован соответствующим примером.

ПОСТРОЕНИЕ ВАРИАЦИОННОГО РЯДА И ЕГО

ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ

В качестве исходного материала для выполнения первого задания каждому студенту выдаются опытные данные 150-200 измерений или наблюдений какого-либо одного статистического показателя. Так, например, у деревьев различных пород изучаются высоты и объемы ствола; диаметры и площади поперечных сечений на расчетной высоте 1,3 м от нижнего среза; длина листьев, плодов, корней; вес семян; длина корней и высота сеянцев; годичный прирост растений по диаметру и высоте и др.

Выбор способа построения вариационного ряда следует производить на основании оценки общего количества наблюдений признака (N), т.е. с учетом объема выборки.

Если общее число наблюдений (вариант) не превышает 25-30, т.е. имеет место так называемая малая выборка (N<25-30), то построение вариационного ряда сводится к фиксированию значений всех вариант (V) путемих записи в порядке возрастания. Так, например, результаты взвешивания 8 желудей дуба, выбранных для характеристики плодоношения контрольного дерева, позволяют построить следующий вариационный ряд веса желудей (гр):

V₁=1,5; V₂>1,8; V₃=2,4; V₄=2.7; V₅=2.8; V₆=3,1; V₇=4.0; V₈= 2,7.

Для краткости запись можно упростить в так называемое ранжирование ряда: 1,5; 1,8; 2,4; 2,7; 2,8; 3,1; 4,0.

При большой выборке (N>25-30) необходимо строить интервальный вариационный ряд, в котором варианты близкой величины объединяются в соответствующие классы (ступени, разряды). В конечном итоге интервальный вариационный ряд будет выражен двумя рядами цифр: значениями классов (W) и количеством наблюдений (n) в них. Например, если для характеристики распределения высот деревьев в участке елового леса было сделано 65 обмеров высот, то эти данные могут образовать следующий интервальный вариационный ряд:

W, классы высот, м
n,число обмеров высот, шт.							S	= 65

Каждый из шести организованных классов высот объединяет значение высот деревьев, отличающихся от среднего значения любого класса в пределах 1.5 м. Например, в класс 30 м включены варианты со значениями от 28,5 м. до 31,5 м. Значения 28,5 м. и 31,5 м. составляют соответственно левый и правый пределы класса 30 м. Размер классового промежутка между пределами именуется величиной интервала () и составляет в данном примере 3 м. Название классов устанавливают по их средним значениям.

При построении интервальных вариационных рядов, согласно рекомендациям П.Ф. Рокицкого (1964), следует устанавливать количество классов в зависимости от объема изучаемой статистической совокупности или числа наблюдений (табл. 1.1).

Таблица 1.1

Рекомендуемое количество классов

Число наблюдений	Количество классов
25-40	5-6
41-60	6-8
61-100	7-10
101-200	8-12
>200	9-15

Выбранные значения классов и пределов желательно характеризовать четными удобными цифрами, что максимально облегчит последующие вычисления статистических показателей работы.

Рассмотрим конкретный пример построения интервального вариационного ряда по данным измерения диаметров деревьев сосны, измеренных на пробной площади, характеризующей высокополнотные 45-летние сосняки искусственного происхождения.

Построение вариационного ряда следует начинать с установления его размера, то есть размера ряда (Р.р.), который определяется как разность между максимальной (V_max) и минимальной (V_min) вариантами. В данном примере:

Р.р.=V_max - V_min = 53,6 - 14,3 = 39,3 см

Численность опытной выборки (N=208 наблюдений) обязывает организовать 9-15 классов. Для удобства расчетов принимаем 10 классов, устанавливая величину интервала ( ) следующим образом:

= Р.р./К.к. = 39,3 см : 10 = 3,93 см.

Использование полученной величины интервала для построения вариационного ряда нежелательно по следующим причинам. В этом случае значения каждого организованного класса будут кратными 3,9 см, что сделает такие классы неудобными в последующей работе.

При переходе от расчетной величины интервала к фактической необходимо произвести округление расчетной величины интервала до более удобной цифры (в нашем примере - до 4 см). Кроме этого, для получения значения начального класса вариационного ряда следует также округлить и значение минимальной варианты, т.е. вместо 14,3 см принять 14 см. В этом случае среднее значение начального класса (W₁) составит:

W₁ = см

Следует иметь в виду, что округление расчетной величины интервала, как правило, следует производить в сторону увеличения, а минимальной варианты - в сторону уменьшения.

Вычисленная описанным способом фактическая величина интервала и значение начального класса нуждаются в проверке, подтверждающей, что минимальная варианта не выходит за пределы начального класса. Поскольку V_min = 14,3 см, а левый и правый предел начального класса соответственно равны 14 см и 18см, то значение начального класса рассчитано правильно.

Значения величин каждого из последующих классов получаем путем прибавления к предыдущему классу величины интервала. Получение значений очередных классов необходимо завершить написанием класса, в пределы которого поместится максимальная варианта. В нашем примере завершающим будет класс 52 см с пределами 50-54 см, который вмещает V_max = 53,6 см.

Полученные значения классов имеют четкие удобные значения (16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52). Расчетное количество классов в данном случае совпало с фактическим и составляет 10. Расчеты приводятся в таблице 1.2.

Таблица 1.2

Вспомогательные расчеты

для построения интервального вариационного ряда

№ пп.	Показатели	Величина показателя
1.	Минимальная варианта	14,3 см
2.	Максимальная варианта	53,6 см
3.	Размер ряда	53,6 - 14,3 = 39,3 см
4.	Количество классов:	расчетное -10; фактическое -10
5.	Величина интервала:	расчетная 3,93 см; фактическая 4 см
6.	Значение начального класса	16 см

Дальнейшая работа заключается в распределении всех вариант по образованным классам. Результаты разноски вариант следует отражать в специальной таблице (табл. 1.3). Наряду со значением классов, в этой таблице указаны пределы классов, облегчающие разноску вариант по классам.

Таблица 1.3

Построение интервального вариационного ряда и ряда последовательного суммирования

Границы классов 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50 54
Средние значения классов
Частоты	. . .	. . . .		.	: :	. .			. . . .	.
Частости, %	1,4	6,7	14,0	19,7	26,0	15,4	9,6	4,8	1,9	0,5
Накопленные частоты	3 17 46 87 141 173 193 203 207 208
Накопленные частости, %	1,4 8,1 22,1 41,8 67,8 83,2 92,8 97,6 99,5 100

При разноске следует фиксировать очередную варианту исходных данных наблюдения в соответствующем классе, заполняя одновременно все классы вариационного ряда. Учет вариант каждого класса в отдельности (например, класса 16 см, затем 20 см и т.д.) обеспечит получение одинакового результата, но с большей затратой времени. Если значения вариант совпадут с границами классов (например, несколько вариант имеют значение 30 см), то их следует распределить поровну между смежными классами (28 и 32 см).

Количество вариант во всей выборке принято именовать численностью вариационного ряда (N), а в любом из классов - частотой (n). Значения частот, выраженные в процентах от численности ряда, называют частостями. Вычисление частостей классов следует выполнять с точностью до 0,1%.

В таблице 1.3 также следует показать данные, необходимые для построения ряда последовательного суммирования или начётного ряда. С этой целью накопленные частоты или частости записываются под соответствующими границами классов, показывая количество вариант, сосредоточенных от начала ряда до правого предела конкретного класса. Так, например, проставленная под пределом 30 см накопленная частота 87 означает, что от начала ряда (от предела 14 см) до правого предела класса 28 см (равного 33 см) содержится 87 вариант, т.е. сумма вариант первых четырех классов ряда.

Задание завершается графическим изображением интервального вариационного ряда и ряда последовательного суммирования (рис.1.1).

Рис.1.1. Графическое изображение вариационного ряда

(полигон распределения)

Полигон распределения ^_________ Гистограмма – – – – – – Огива - - - - - - -

Для W: в I см - 4 см; для n: в I см - 10 вариант; для : в I см - 20 вариант

Отложенные на графике значения частот по классам служат основанием для изображения вариационного ряда двух видов. Соединив точки отрезками прямой, получаем многоугольник (полигон) распреде­лений. Выражая частоту каждого класса в виде прямоугольника, име­ющего основанием величину интервала и высотой частоту класса, изображаем прямоугольник распределения (гистограмму).

Для построения ряда последовательного суммирования значения накопленных частот откладываются против соответствующих пределов классов. Полученные точки соединяются плавной кривой, которая именуется интегральной или огивой.

С целью экономии места и для большей наглядности все три ряда показываются на одном чертеже, причем для изображения огивы следует принимать более мелкий масштаб.

ПРИ БОЛЬШОЙ ВЫБОРКЕ

В данном задании производится вычисление различных статистических показателей вариационного ряда. При этом два основных статистических показателя - среднее значение признака (М) и основное отклонение (σ) - определяются двумя способами. Первый из них - способ непосредственных вычислений - в практике статистической обработки, как правило, не используется в виду повышенной трудоемкости.

Значения М и σ обычно получают с использованием теории моментов. Однако значение метода непосредственных вычислений облегчает понимание теории статистики и, прежде всего, смысла среднего значения и основного отклонения признака. Кроме того, получение указанных показателей двумя способами обеспечивает дополнительный контроль правильности вычислений.

ПО ИСХОДНЫМ ФОРМУЛАМ

Для вычисления основных статистических показателей среднего значения признака (М) и основного отклонения (σ) производятся вспомогательные расчеты, показанные в табл. 2.1.

Таблица 2.1

Вспомогательные расчёты для получения среднеарифметической величины

(М) и основного отклонения (σ) способом непосредственных вычислений

W	n	Wn	M	= W-M
				-15,4	-46,2	237,16	711,48
				-11,4	-159,6	129,96	1819,44
				-7,4	-214,6	54,76	1588,04
				-3,4	-139,6	11,56	473,96
			31,4	+0,6	+32,4	0,36	19,44
				+4,6	+147,2	21,16	677,12
				+8,6	+172,2	73,96	1479,20
				+12,6	+126,0	158,76	1587,60
				+16,6	+66,4	275,56	1102,24
				+20,6	+20,6	424,36	424,36
					-559,8 +564,6 +4,8		9882,88

Среднее (среднеарифметическое) значение признака получают по формуле:

где: W- значение класса, n.- частота класса, N - численность ряда.

В нашем примере см

Контроль правильности вычисления M:

: = 4,8 : 208 = 0,023 < 0,05

Во избежание ошибок в последующих вычислениях полученное значение М подлежит контролю. Приближенный контроль можно выполнить следующим образом: вероятное значение М должно быть близко к значению класса с максимальной частотой. Для точного контроля необходимо использовать сумму произведений отклонений значений классов (W) от округленной среднеарифметической величины (М), т.е.:

,

умножив данные отклонения на частоты (n) соответствующих классов ( ). При правильно вычисленной и округленной величине М должно наблюдаться следующее соотношение между величиной и пределом округленияМ, величина которого в нашем примереравна 0,05:

Напомним, что если значение М записано с точностью до целой величины, то пределом ее округления будет 0,5; при записи М с точностью до 0,1; 0,01; 0,001 пределами округления соответственно будут 0,05; 0,005; 0,0005.

После вычисления и контроля М определяется величина медианы (Ме) и моды (Мо).

Величина медианы соответствует значению варианты, занимающей срединное место в вариационном ряду последовательного суммирования. Поскольку численность исследуемого ряда равна 208, то следует установить значение диаметра, приближенно соответствующее 104-ой или 105-ой варианте. Медиана определяется по формуле:

,

где: К - левая граница класса, в котором находится половина накопленных частот

Sk - накопленная частота по границе К;

n - частота данного класса.

В нашем примере:

см

Может быть использован график, на котором изображена огива (рис.1.1). На оси ординат для накопленных частот ( ) находят точку, соответствующую указанной варианте (например, 104), восстанавливают из нее перпендикуляр до пересечения с огивой и из этой точки опускают перпендикуляр до пересечения с осью абсцисс, по которой и отсчитывают искомое значение медианы. В нашем примере Мe = 31,2 см.

Приближенное значение моды соответствует значению класса с максимальной частотой, а именно:

Мo = W_maх = 32 см.

Точное значение моды определяют по формуле:

Мо ⁼ 3Mе - 2M

В нашем примере:

Мo = 3×31,2 - 2×31,4 = 93,6 - 62,8 = 30,8 см.

Для контроля вычислений следует помнить, что в правильных, с симметричными ветвями вариационных рядах значенияМ, Мe, Мo близки между собой.

Приведенные ниже вычисления остальных статистических показателей не требуют особых разъяснений.

Среднеквадратическое (основное) отклонение (σ) вычисляют по формуле:

см

Коэффициент изменчивости (варьирования):

Основная ошибка среднего значения признака:

см

Ошибка основного отклонения:

Ошибка меры изменчивости:

Показатель достоверности среднего значения признака:

Показатель точности исследования (опыта):

Полученные значения статистических показателей подлежат контрольной проверке. Так, величина σ проверяется через значение С. Коэффициент вариации признаков в специально подобранных для студентов заданиях, как правило, не превышает 30-40%. Величина m_м, контролируется через t_м и P_м Полученные средние значения признаков должны быть достоверны (t_M>3), а точность исследований - достаточно высокой (Р_м,<5-10%).

НАЧАЛЬНЫЕ МОМЕНТЫ

Первый и второй начальные моменты (ν₁, и ν₂) используются для получения основных статпоказателей вариационного ряда – M и σ. Значения третьего (ν₃) и четвертого (ν₄) начальных моментов необходимы для определения соответствующих центральных (μ₃, μ₄) и основных (r₃, r₄) моментов. По величине последних судят о косости и крутости вариационных рядов.

Начальные моменты можно вычислять способом произведений и способомсумм. Оба способа дают одинаковые результаты, что можно использовать для контроля правильности вычислений.

ПО СПОСОБУ ПРОИЗВЕДЕНИЙ

Для определения начальных моментов по способу произведений необходимо:

- выписать данные интервального вариационного ряда;

- установить отклонения (a) значений каждого класса (W) от условного начала (А), выразив отклонения в долях интервала (λ);

- вычислить суммы произведений частот классов на отклонения в степени каждогоиз определяемых моментов;

- подставить полученные значения в формулы и вычислить значения моментов.

Величина отклонений в условных единицах определяется по формуле:

,

где: W- значения классов; А - условное начало; λ- величина интервала.

Пример иллюстрирует порядок вспомогательных вычислений и получение значений четырех начальных моментов, показанных в табл.2.2.

Таблица 2.2

ПО СПОСОБУ СУММ

Для определения значений начальных моментов по способу сумм выполняются вспомогательные расчеты, согласно специальной форме (табл. 2.4).

Выбор условного начала (А) для подсчета отклонений выполняется аналогично вышеизложенному для способа произведений. При этом если вычисление моментов по способу сумм производится только для контроля значений моментов, полученных по способу произведений, то в обоих случаях следует иметь одинаковое условное начало.

В первые две колонки таблицы записывают классы (W) и частоты (n) вариационного ряда. Четыре последующих колонки оставляют для суммирования частот. Затем против значений класса условного начала (32) и его частоты (54) проводят черту, разделяющую таблицу на верхнюю и нижнюю части.

Таблица 2.4

Вспомогательные расчеты для вычисления и контроля начальных моментов по способу сумм

	W	n	S1	S2	S3	S4
							-
						-	-
	A1 =				-	-	-
	A =			-----------	-----------	-----------	-----------
					-	-	-
						-	-
							-
	-
		-153	-89	-26	-3
	+
	d		-30	-5	+10	+6
S

В нашем примере А = 32 см.

Суммирование (накопление) частот производится раздельно для верхней и нижней частей таблицы и выполняется так же, как при построении ряда в задании №1. Накопление частот в верхней части таблицы производится от начала ряда к его середине, а в нижней части таблицы от конца к середине.

В колонке S₁ накопление частот производится по всем классам, кроме класса, записанного против разделительной черты. Накопление в каждой из последующих колонок (S₂, S₃, S₄) заканчивается на один класс раньше, чем в предыдущей. Так, например, накопление частот в нижней части колонке S₁ таблицы закончилось в классе 36 см (∑n = 67), в колонке S₂ - в классе 40 см (∑n = 56), в колонке S₃ - в классе 44 см (∑n = 28) и т.д.

По завершении накопления производится суммирование частот с проставлением итогов по всем колонкам. При этом числа нижней части таблицы считают положительнымии их сумму фиксируют в итоге со знаком плюс (+); сумму чисел верхней (отрицательной) части таблицы записывают в итоге со знаком минус (-).

На данном этапе полезно произвести проверку правильности накопления частот в столбцах, сравнив конечные значения накопленных частот с итогами суммирования.

Проверка колонки S₁ достигается путем сложения трех чисел, непосредственно примыкающих к разделительной черте, с получением результата, равного численности вариационного ряда. В нашем примере

Кроме того производится проверка вычислений всех колонок верхней и нижней частей таблицы. С этой целью необходимо к максимальной накопленной частоте какой-либо колонки прибавить аналогичную частоту последующей колонки, в результате чего должна получиться сумма частот предыдущей колонки. Так, если в нижней части таблицы нашего примера сложить максимальную частоту колонки S₂, равную 56, с подобной частотой предыдущей колонки 28, то полученная величина 84, совпадает с результатом суммирования накопленных частот в колонке S₂ нижней части таблицы: +S₂ = 84.

После проверки следует произвести по каждой колонке сложение итогов суммирования накопленных частот верхней части таблицы (-S₁; -S₂; -S₃; -S₄) с такими же итогами нижней части таблицы (+S₁; +S₂; +S₃;+S₄). Результаты сложения, выполненного с учетом знаков слагаемых чисел (алгебраическая сумма), обозначают символом с добавлением индекса, соответствующего номеру колонки: d₁; d₂; d₃; d₄. Результаты сложения, произведенного без учета знаков (арифметическая сумма), обозначают соответственно символами –S₁; S₂; S₃; S₄. Так, в нашем примере для колонки первого суммирования d₁=30, S₁=276; для колонки второго суммирования d₂=-5, S₂= 173 и т.д.

Все полученные значения d и S используются для определения величина начальных моментов по соответствующим формулам:

ЦЕНТРАЛЬНЫЕ МОМЕНТЫ

Получение центральных моментов(μ)основано на использовании отклонений (α) значений классов (W) или отдельных вариант (V) от среднеарифметической величины (M) и может быть выполнено по следующим исходным формулам:

.

В случае получения отклонений по точному значениюМ, вычисленному без округлений, значение первого центрального момента будет равно нулю:

Если же значение М вычислено не точно или принято с округлением, то приведенная формула теряет смысл и величина μ₁ приобретает конкретное значение. Так, в задании использовано приближенное значение среднеарифметической величины 31,4 вместо точного - 31,4231. В результате этого

Вышеприведенные исходные формулы для получения второго, третьего и четвертого центрального моментов в практике статистических вычислений обычно не используются в виду исключительной трудоемкости вычислительных работ. Значения перечисленных центральных моментов можно получить более просто, если использовать начальные моменты.

Для выполнения задания необходимо по данным вычисленных начальных моментов определить значения второго (μ₂), третьего (μ₃) и четвертого (μ₄) центральных моментов. В нашем примере:

μ₂ =ν₂ – ν₁² = 2,99 – (-0,144)² = 2,99 – 0,0207 = 2,969 ≈ 2,97;

μ₃=ν₃ –3 ν₂ ν₁+2 ν₁³ = 0 – 3×2,99×(-0,144) + 2×(-0,144)³ = -3 (-0,4306) + 2(-0,00299) = 1,292 – 0,00598 = 1,28602 ≈ 1,286;

μ₄= ν₄– 4 ν₃ ν₁+6 ν₂ ν₁² – 3 ν₁⁴ = 25,08 – 4×0×(-0,144) + 6×2,99×(-0,144)²– 3(-0,144)⁴ = 25,08 – 0 + 17,94(0,0207) – 3(0,00043) = 25,08 + 0,371 – 0,00129 = 25,44911 ≈ 25,45.

Значения центральных моментов в качестве конкретных статистических показателей не используются и служат вспомогательной величиной для получения основных моментов.

ОСНОВНЫЕ МОМЕНТЫ

Основные моменты получают путем деления центральных на корень квадратный из второго центрального момента в степени порядка основного момента.

Поскольку и ,

то в нашем примере вычисляют только значения третьего и четвертого основных моментов

Полученные значения r₃ и r₄ имеют практическое значение, т.к. используются для оценки косости и крутости вариационных рядов.

Исходные данные, построение корреляционной таблицы

Исходные данные для проведения простого корреляционного анализа при большой и малой выборках представлены двумя рядами цифр. В качестве примера рассмотрим данные большой выборки по обмеру диаметров и соответствующих им поперечников крон у 125 деревьев сосны (табл. 3.1).

Таблица 3.1

Данные обмера диаметров и поперечников крон деревьев сосны*

(фрагмент)

Номер дерева	Диаметр на высоте груди, см (х)	Поперечник кроны, м (y)
	17,4	2,1
	25,2	3,2
	21,0	2,9
·	·	·
	31,0	4,1

* В целях сокращения приведены начало и конец таблицы

Для удобства обозрения и анализа, особенно при большой выборке, данные наблюдений систематизируют, т.е. строят таблицу распределения или, как ее иначе называют, корреляционную таблицу.

При этом из двух изучаемых признаков за "X" принимают тот, который легко определяется в натуре.

Перед построением корреляционной таблицы так же, как и при построении вариационного ряда, делаются вспомогательные расчеты. При этом для каждого из признаков отдельно определяется максимальная V_max и минимальная (V_min) варианты и размер ряда (р.р.), который будет равен V_max -V_min. Количество классов принимается равным от 8 до 12. Величина интервала ( ) определяется как частное от деления размера ряда на количество классов. Для вычисления среднего значения начального класса к минимальной варианте прибавляют половину интервала. Желательно, чтобы средние значения классов (W) и величина интервала были числами целыми или, если это невозможно, удобными дробными (чётными). Количество классов по каждому признаку может быть разным.

После определения средних значений классов (W_x и W_y) и их границ производят разноску вариант методом точковки сразу по двум признакам. При этом в таблицу для каждого дерева ставится одна точка на пересечении соответствующих классов по признаку X и по признаку Y, к которым относится данное дерево. Итоги такой разности для рассматриваемого примера показаны в табл. 3.2.

Таблица 3.2

Корреляционная таблица для установления связи между диаметрами (X) и поперечниками крон (Y) деревьев сосны

Wy     1,25 1,75 2,25 2,75 3,25 3,75 4,25 4,75 5,25 Wx

Поперечники крон (y), м

Итого nx

Условно- средний поперечник Наши рекомендации Математические методы Задачи, объекты и методы ландшафтной архитектуры и ландшафтного проектирования Формы в ландшафтной архитектуре, их свойства и соотношения Математические методы в СЭГ. Формализованные (математические) методы анализа: методы финансовых вычислений Тема 3.8. Методы ландшафтной таксации насаждений Экономико-математические методы. O Методы элементарной математики; Методы моделирования и экономико-математические методы Методы моделирования и экономико-математические методы Экономико-математические методы. А) Методы элементарной математики ← Предыдущая страница | Следующая страница →