Тема: Сложное сопротивление. Косой изгиб

Тема: Сложное сопротивление. Косой изгиб

Цель: На основе принципа суперпозиции получить расчетные формулы для косого изгиба, дать разъяснение по использованию их в практических расчетах. Разъяснить последовательность расчетов валов на изгиб с кручением с применение теории прочности.

Основные вопросы лекции:

Понятие о сложном сопротивлении.

Общие понятия о косом изгибе. Определение внутренних усилий при косом изгибе.

Определение напряжений и перемещении при косом изгибе и внецентренном растяжении сжатии.

Понятие о ядре сечения.

Расчет валов работающих на изгиб с кручением.

Литература:

Феодосьев В.И. § 28-29, 30, 33

Понятие о сложном сопротивлении.

На предыдущих лекциях мы рассмотрели простейшие виды деформаций: растяжение-сжатие, сдвиг, кручение, плоский изгиб, поперечный изгиб.

При этом в поперечных сечениях возникает только одно внутреннее усилие - продольная или поперечная сила, крутящий или изгибающий момент, за исключением плоского поперечного изгиба.

Виды нагружения	Напряжения	Деформации
Растяжение	Условие прочности:
Сдвиг	Условие прочности:
Кручение	Условие прочности:
Изгиб	Условие прочности:

На практике же большинство элементов конструкций и машин подвергается действиям сил, вызывающих одновременно не одну из указанных деформаций, а две и более.

Различные комбинации простых деформаций называются сложным сопротивлением.

Сегодня приступаем к изучению сложного сопротивления.

В общем случае нагружения бруса в его поперечных сечениях действуют шесть компонентов внутренних усилий (N, Q_x, Q_y, M_x, M_y, M_кр).

Косой изгиб– изгиб, при котором плоскость действия изгибающих моментов и поперечных сил не совпадает ни с одной из главных плоскостей инерции бруса.

При косом изгибе изогнутая ось представляет собой плоскую кривую, и плоскость, в которой она расположена, не совпадает с плоскостью действия нагрузки.

При пространственном изгибе нагрузка приложена в разных плоскостях, деформированная ось является пространственной кривой.

Для сечений, у которых монеты инерции относительно обеих ортогональных осей одинаковы, косой изгиб невозможен. У этих сечений все оси главные. Это сечения типа круг квадрат труба и т.п.

Рассмотрим пример косого изгиба.

Пусть на консольную балку прямоугольного сечения действует сила F, приложенная в плоскости его торцевого поперечного сечения таким образом, что ее линия действия составляет угол α с главной центральной осью OY.

Разложим эту силу на составляющие F_x и F_у по главным осям ОХ и ОУ.

Данная формула позволяет определить напряжение в произвольной точке сечения.

Или

Нулевой или нейтральной линией называется геометрическое место точек поперечного сечения, в которых нормальные напряжения равны нулю.

Или

Отсюда найдем угол наклона нейтральной линии:

Уравнение нейтральной оси:

Анализируя полученное выражение , приходим к выводу, что в отличие от прямого изгиба нулевая и силовая линии не будут взаимно перпендикулярны

Лишь в частном случае, когда , угол между нулевой и силовой линиями будет прямым.

Нулевая и силовая линии проходят через разные квадранты сечений

Свойства нейтральной линии

1. Если , то , то есть силовая плоскость и нейтральная линия не являются перпендикулярными.

2. Если , то , то есть нейтральная линия и силовая плоскость перпендикулярны. В этом случае стержень испытывает плоский изгиб (примерами таких стержней являются стержни с сечением – круг, кольцо, квадрат).

3. Знак «минус» в формуле указывает, что силовая плоскость и нейтральная линия при косом изгибе проходят через противоположные квадранты.

Для определения опасных точек сечения следует построить касательные к контуру сечения, параллельные нейтральной линии. Точки касания и будут являться опасными .

Пример 1.

Подобрать прямоугольное сечение балки при условии, что h = 2b,[σ]= 160 МПа P= 60кН, α =30 ͦ, ℓ=2,8 м..

Решение:

Разложив силу P на две составляющие, действующие по нап­равлению главных осей поперечного сечения балки, определяем опорные реакции и строим эпюры изгибающих моментов M_z и M_y . Наибольшие моменты действуют в среднем сечении, где

следовательно, это сечение является опасным.

Эпюры изгибающих моментов к примеру 1

Для определения положения опасной точки расставим знаки от и в угловых точках поперечного сечения балки. При действии момента в точках A и D будут иметь место положительные (растя­гивающие) напряжения, а в точках C и B - отрицательные (сжимающие) напряжения. При действии момента в точках A и C будут иметь место положительные , а в точках B и D - отрицательные. Точки поперечного сечения A и B, в которых действуют нормальные напряжения одного знака, являются опасными; для них и должны составляться условия прочности.

Судя по условию задачи, материал, из которого изготовлена балка, является пластичным ( =160 МПа) и, следовательно, одинаково сопротивляется деформации растяжения и деформации сжатия. Таким образом, точки A и B являются равноопасными, и для них используется одно условие прочности

Вычислим моменты сопротивления сечения при заданном соотношении высоты и ширины

Подставляя в условие прочности выражения для изгибающих моментов и моментов сопротивления, получим:

тогда h = 2b = 18,04 см.

Пример 2.

При установке на опоры двутавровой балки (№ 60: =182 см³, =2560 см³), предназначенной для работы на изгиб в верти­кальной плоскости, совпадающей с плоскостью стенки, была допущена ошибка и стенка двутавра отклонилась от вертикали на угол . Определить связанное с этим увеличение наибольших нормальных напряжений.

Появление внутренних изгибающих моментов

при косом изгибе.

Решение:

Отклонение оси двутавра (ось y) от вертикали привело к возникновению косого изгиба и появлению изгибающих моментов и .

Максимальные напряжения при косом изгибе

так как , то

В случае правильной установки балки, сила P совпадала бы с вертикальной осью балки y, и имел бы место прямой изгиб, изгибающий момент был бы равен M , а напряжения

Таким образом, максимальные напряжения при косом изгибе за счет такого незначительного отклонения от вертикали возрастут на 24,6 %.

Тема: Сложное сопротивление. Косой изгиб

Цель: На основе принципа суперпозиции получить расчетные формулы для косого изгиба, дать разъяснение по использованию их в практических расчетах. Разъяснить последовательность расчетов валов на изгиб с кручением с применение теории прочности.

Основные вопросы лекции: