Прохождение гамма-квантов через железную пластину

Нормально к пластине падает пучок квантов. При прохождении через пластину они могут поглощаться (фотоэффект) и рассеиваться (эффект Комптона). Определить долю прошедших квантов. Геометрия задачи показана на рис. 10.4.

Рис. 10.4. Возможные траектории квантов в пластине: а – прохождение сквозь пластину; б – поглощение; в – отражение

До вступления в какое-либо взаимодействие квант пройдет некоторое расстояние в среде – длину свободного пробега l.

В случае однородной среды вероятность взаимодействия на отрезке пути Dz пропорциональна длине этого отрезка: Dw = k Dz. Коэффициент пропорциональности k зависит от свойств среды и энергии квантов.

Если на границе среды падает N₀ квантов (при z = 0), то на отрезке от z до z + Dz изменение числа квантов равно

DN = –kN(z)Dz.

Решение: N(z) = N₀exp(–kz).

Т. о., на пути от 0 до z вступили во взаимодействие N₀ – N(z) = N₀(1 – exp(–kz))квантов.

На рис. 10.5 построена кривая w = 1 – exp(–kz).

Рис. 10.5. Вероятность для квантов вступить во взаимодействие как функция пути

Рис. 10.6. Относительные вероятности фотоэффекта (wF) и комптоновского рассеяния (wS).

Кривая на рис. 10.5 может быть также получена экспериментально.

Пройдя свободно определенный путь, квант может быть поглощен, либо рассеян. Соответствующие вероятности показаны на рис. 10.6.

Испытав рассеяние, квант может продолжить путь под тем или иным углом по отношению к первоначальному направлению.

Индикатриса рассеяния для квантов с относительно малой энергией показана на рис. 10.7.

Рис. 10.7. Вероятность рассеяния квантов под разными углами при комптоновском процессе

Угол q отсчитывается от первоначального направления.

Плоскость, задаваемая точками А – 0 – 180°, может быть повернута на любой угол вокруг прямой 180° – 0°.

Следовательно, надо задать еще азимутальный угол j. Любое его значение равновероятно. Можно принять j = В·360°, где В – случайное число между 0 и 1.

Для решения задачи не хватает лишь случайных чисел. Обычно их получают с помощью генератора. Можно также воспользоваться таблицей.

Алгоритм.

1. Обнуляем счетчики общего числа квантов N₀, числа прошедших квантов N ⁺ и числа отраженных квантов N ^–.

2. N₀ = N₀ + 1, z = 0 (смещение кванта вдоль оси z).

3. Выбираем случайное число.

4. С его помощью по графику 10.5 разыгрываем длину свободного пробега Dz, z = z + Dz.

5. Если z < 0, N ^– = N ^– + 1 и переход к п.2. Если z > h, N ⁺ =N ⁺ + 1 и переход к п.2.

6. Берем следующее случайное число и разыгрываем тип взаимодействия.

7. Если это рассеяние, разыгрываем углы и переходим к п.3.

Выход из алгоритма, например, по достижении заданного N₀ или какому-либо другому условию.

10.4 Вычисление кратных интегралов

Пусть функция

y = f(x₁, x₂, ..., x_m)

непрерывна в ограниченной замкнутой области S и требуется вычислить m-кратный интеграл

(10.2)

Геометрически число I представляет собой (m + 1)-мерный объем прямого цилиндроида в пространстве Ох₁х₂ ... х_mу, построенного на основании S и ограниченного сверху данной поверхностью y = f(x), где х = (х₁, х₂, …, х_m) (рис. 10.8).

Рис. 10.8. К вычислению кратного интеграла.

Преобразуем интеграл (10.2) так, чтобы новая область интегрирования целиком содержалась внутри единичного m-мерного куба. Пусть область S расположена в m-мерном параллелепипеде

ai £ xi £ Ai, (i = 1, 2, …, m).

(10.3)

Сделаем замену переменных

(10.4)

Тогда m-мерный параллелепипед (10.3) преобразуется в m-мерный единичный куб

0 £ xi £ 1, (i = 1, 2, …, m)

(10.5)

и, следовательно, новая область интегрирования s, которая находится по обычным правилам, будет целиком расположена внутри этого куба (рис. 10.9).

Рис. 10.9. Переход к единичному кубу

Якобиан преобразования имеет вид:

Таким образом,

(10.6)

Здесь функция F связана с исходной функцией f соотношением

Способ решения

Выбираем m равномерно распределенных на отрезке [0, 1] последовательностей случайных чисел:

Точки M_i(x⁽¹⁾_i, x⁽²⁾_i, …, x^(m)_i ) можно рассматривать как случайные.

Выбрав достаточно большое число N точек М₁, M₂, ..., М_N, проверяем, какие из них принадлежат области s (первая категория) и какие не принадлежат ей (вторая категория).

Пусть (рис. 10.10)

Рис. 10.10. Две категории точек

Относительно границы Г области s следует заранее договориться, причисляются ли граничные точки или часть их к области s, или не причисляются к ней.

Взяв достаточно большое число n точек M_i Î s, приближенно можно положить:

отсюда искомый интеграл

где под s понимается m-мерный объем области интегрирования.

Если вычисление объема s затруднительно, можно принять:

Отметим:

число испытанийNне зависит от размерности интегралаI₀

и поэтому метод Монте–Карло выгодно применять для вычисления кратных интегралов высоких размерностей, где применение обычных кубатурных формул встречает значительные затруднения.

Например, для приближенного вычисления обычным путем 10-кратного интеграла, распространенного на единичный объем, при выборе шага h = 0,1 понадобится сумма, содержащая примерно 10¹⁰ слагаемых!