Определение эконометрики. Взаимосвязь с другими науками.

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

по дисциплине «ЭКОНОМЕТРИКА (продвинутый уровень - 2»

Уровень профессионального образования:высшее образование – магистратура

Направление подготовки: 38.04.01 Экономика

Профили подготовки:

«Анализ внешнеэкономической деятельности предприятий»,

«Международная экономика»,

«Финансы и кредит»,

Квалификация выпускника: 69 магистр

Форма обучения: заочная

Тула 2015 г.

Конспект лекций рассмотрен и утвержден на заседании кафедры «Финансы и менеджмент» института права и управления

протокол № 1 от 31 августа 2015 г.

Зав. кафедрой __________________________Е.А. Федорова

Содержание

1. Предмет и задачи курса……………………………………………………. 5

1.1. Определение эконометрики. Взаимосвязь с другими науками.

Области применения эконометрических моделей. Методологические

вопросы построения эконометрических моделей: обзор используемых

методов…………………………………………………………………………….6

1.2. Эконометрические модели: общая характеристика, различия статистического и эконометрического подхода к моделированию……………………...12

1.3. Спецификация переменных в уравнениях регрессии. Ошибки спецификации………………………………………………………………………………..16

2. Парная и множественная регрессии………………………………………..18

2.1. Понятие о функциональной, статистической и корреляционных связях. Основные задачи прикладного корреляционно-регрессионного анализа….18

2.2. Уравнение регрессии, его смысл и назначение. Выбор типа математической функции при построении уравнения регрессии………………………..22

2.3. Линейная модель парной регрессии. Метод наименьших квадратов (МНК. Свойства оценок МНК………………………………………………………….25

2.4. Ковариация. Коэффициент ковариации. Показатели качества регрессии: линейный коэффициент регрессии, коэффициент детерминации…………..35

2.5. Стандартная ошибка уравнения регрессии. Оценка статистической значимости показателей корреляции, параметров уравнения регрессии. Дисперсионный анализ. Критерии Фишера и Стьюдента. Точность модели. Использование уравнения регрессии для прогноза………………...................................36

2.6. Нелинейные модели регрессии и их линеаризация…………………….45

2.7. Индекс корреляции, теоретическое корреляционное отношение. Коэффициент детерминации для нелинейных моделей. Применение МНК для нелинейных моделей…………………………………………………………………53

2.8. Понятие о множественной регрессии. Классическая линейная модель множественной регрессии (КЛММР). Определение параметров уравнения множественной регрессии методом наименьших квадратов…………………58

2.9. Стандартизированные коэффициенты регрессии, их интерпретация. Парные и частные коэффициенты корреляции. Множественный коэффициент корреляции. Множественный коэффициент корреляции и множественный коэффициент детерминации. Оценка надежности показателей корреляции………………………………………………………………………………..71

2.10. Оценка качества модели множественной регрессии: F-критерий Фишера, t-критерий Стьюдента. Мультиколлинеарность. Методы устранения мультиколлинеарности………………………………………………………………….90

3. Предпосылки метода наименьших квадратов………………………………96

3.1. Исследование остатков величин регрессии………………………………97

3.2. Проблема гетероскедастичности. Ее экономические причины и методы выявления. Линейные регрессионные модели с гетероскедастичными остатками……………………………………………………………………………………….....100

3.3. Обобщенный метод наименьших квадратов. (ОМНК)…………………111

3.4. Регрессионные модели с переменной структурой (фиктивные переменные). Фиктивные переменные: общий случай. Множественные совокупности фиктивных переменных……………………………………………………….115

Библиографический список……………………………………………………119

1. Предмет и задачи курса.

Эконометрия – это искусство предвидения экономических нормативов, прогнозов и гипотез.

Деятельность в любой области экономики (управлении, финансово-кредитной сфере, маркетинге, учете и аудите) требует от специалистов применения современных методов работы, знания достижений мировой экономической мысли, понимание научного языка.

Большинство новых методов основано на эконометрических моделях, концепциях, приёмах. Без глубоких знаний эконометрики научиться их использовать невозможно. Чтение современной литературы также предполагает хорошую эконометрическую подготовку.

Специфической особенностью деятельности экономиста является работа в условиях недостатка информации и неполноты исходных данных. Анализ такой информации требует знания специальных методов, которые составляют один из аспектов эконометрики. Центральной проблемой эконометрики является построение экономической модели и определение возможностей её использования для описания, анализа и прогнозирования реальных экономических процессов.

Известный экономист Цви Гриллихес (1929–1999г.) писал: «эконометрика является одновременно нашим телескопом и нашим микроскопом для изучения окружающего экономического мира». В этом случае можно говорить о микро- и макро-эконометрике.

Свидетельством всемирного признания эконометрики является присуждение пяти Нобелевских премий по экономике за разработку в этой области:

1969г. - Р. Фришу и Я. Тинбергену за разработку математических методов анализа экономических процессов;

1980г. - Л. Клейну за создание эконометрических моделей и их применение к анализу экономических колебаний и экономической политики;

1989г.- Т. Хаавельмо за пояснение вероятностных основ эконометрики;

2000г.- Дж. Хекману за развитие теории и методов анализа селективных выборок и Д. Макфаддену за развитие теории и методов анализа моделей дискретных выборок.

2003г.- Р.Ингелу и К.Грэнджеру за анализ экономических временных рядов (ARCH) с общими трендами.

Процесс перехода экономического высшего образования в России на мировые стандарты характеризуется введением в учебные планы курсов микро- и макроэкономики, а также эконометрики.

Квадратов отклонений

В свою очередь, при независимости факторов друг от друга, выполнимо равенство:

S = S_x +S_z + S_v

Суммы квадратов отклонения, обусловленных влиянием соответствующих факторов.

Если же факторы интеркоррелированы, то данное равенство нарушается.

Включение в модель мультиколлинеарных факторов нежелательно в силу следующего:

· затрудняется интерпретация параметров множественной регрессии как характеристик действия факторов в «чистом» виде, ибо факторы коррелированы; параметры линейной регрессии теряют экономический смысл;

· оценки параметров ненадежны, обнаруживают большие стандартные ошибки и меняются с изменением объема наблюдений (не только по величине, но и по знаку), что делает модель непригодной для анализа и прогнозирования.

Для оценки мультиколлинеарных факторов будем использовать определитель матрицы парных коэффициентов корреляции между факторами. Если бы факторы не коррелировали между собой, то матрица парных коэффициентов была бы единичной.

y = a + b₁x₁ + b₂x₂ + b₃x₃ + e

Если же между факторами существует полная линейная зависимость, то:

Чем ближе к 0 определитель, тем сильнее межколлинеарность факторов и ненадежны результаты множественной регрессии. Чем ближе к 1, тем меньше мультиколлинеарность факторов.

Оценка значимости мультиколлинеарности факторов может быть проведена методами испытания гипотезы 0 независимости переменных H₀:

Доказано, что величина имеет приближенное распределение с степенями свободы. Если фактически значение превосходит табличное (критическое) то гипотеза H₀ отклоняется. Это означает, что , недиагональные коэффициенты указывают на коллинеарность факторов. Мультиколлинеарность считается доказанной.

Через коэффициенты множественной детерминации можно найти переменные, ответственные за мультиколлинеарность факторов. Для этого в качестве зависимой переменной рассматривается каждый из факторов. Чем ближе значение R² к 1, тем сильнее проявляется мультиколлинеарность. Сравнивая между собой коэффициенты множественной детерминации и т.п.

Можно выделить переменные, ответственные за мультиколлинеарность, следовательно, решить проблему отбора факторов, оставляя в уравнения факторы с минимальной величиной коэффициента множественной детерминации.

Существует ряд походов преодоления сильной межфакторной корреляции. Самый простой путь устранения МК состоит в исключении из модели одного или несколько факторов.

Другой подход связан с преобразованием факторов, при котором уменьшается корреляция между ними.

Если y = f(x₁, x₂, x₃), то возможно построение следующего совмещенного уравнения:

у = a + b₁x₁ + b₂x₂ + b₃x₃ + b₁₂x₁x₂ + b₁₃x₁x₃ + b₂₃x₂x₃ + e.

Это уравнение включает взаимодействие первого порядка (взаимодействие двух факторов).

Возможно включение в уравнение взаимодействий и более высокого порядка, если будет доказано их статистически значимость по F-критерию

b₁₂₃x₁x₂х₃ – взаимодействие второго порядка.

Если анализ совмещенного уравнения показал значимость только взаимодействия факторов х₁ и х₃, то уравнение будет имеет вид:

у = a + b₁x₁ + b₂x₂ + b₃x₃ + b₁₃x₁x₃ + e.

Взаимодействие факторов х₁ и х₃ означает, что на разных уровнях фактора х₃ влияние фактора х₁ на у будет неодинаково, т.е. оно зависит от значения фактора х₃. На рис. 3.1 взаимодействие факторов представляет непараллельными линями связи с результатом у. И наоборот, параллельные линии влияние фактора х₁ на у при разных уровнях фактора х₃ означают отсутствие взаимодействия факторов х₁ и х₃.

(х3=В2)

(х3=В1)

(х3=В1)

(х3=В2)

у

у

1

х1

а

б

у

у

Х1

Х1

Рис 3.1. Графическая иллюстрация взаимодействия факторов.

а - х₁ влияет на у, причем это влияние одинаково при х₃=В₁, так и при х₃=В₂ (одинаковый наклон линий регрессии), что означает отсутствие взаимодействия факторов х₁ и х₃;

б – с ростом х₁ результативный признак у возрастает при х₃=В₁, с ростом х₁ результативный признак у снижается при х₃=В₂. Между х₁ и х₃ существует взаимодействие.

Совмещенные уравнения регрессии строятся, например, при исследовании эффекта влияния на урожайность разных видов удобрений (комбинации азота и фосфора).

Решению проблемы устранения мультиколлинеарности факторов может помочь и переход к устранениям приведенной формы. С этой целью в уравнение регрессии производится подстановка рассматриваемого фактора через выражение его из другого уравнения.

Пусть, например, рассматривается двухфакторная регрессия вида a + b₁x₁ + b₂x₂, для которой x₁ и x₂ обнаруживают высокую корреляцию. Если исключить один из факторов, то мы придем к уравнению парной регрессии. Вместе с тем можно оставить факторы в модели, но исследовать данное двухфакторное уравнение регрессии совместно с другим уравнением, в котором фактор (например х₂) рассматривается как зависимая переменная. Предположим, известно, что . Постановляя это уравнение в искомое вместо х₂, получим:

Или

Если , то разделив обе части равенства на , получаем уравнение вида:

,

которое представляет собой приведенную форму уравнения для определения результативного признака у. Это уравнение может быть представлено в виде:

.

К нему для оценки параметров может быть применен МНК.

Отбор факторов, включаемых в регрессию, является одним из важнейших этапов практического использования методов регрессии. Походы к отбору факторов на основе показателей корреляции могут быть разные. Они приводят построение уравнения множественной регрессии соответственно разным методикам. В зависимости от того, какая методика построение уравнения регрессии принята, меняется алгоритм ее решения на ЭВМ.

Наиболее широкое применение получили следующие методы построение уравнения множественной регрессии:

· метод исключения;

· метод включения;

· шаговый регрессионный анализ.

Каждый из этих методов по-своему решает проблему отбора факторов, давая в целом близкие результаты – отсев факторов из полного его отбора (метод исключение), дополнительное введение фактора (метод включения), исключение ранее введенного фактора (шаговый регрессионный анализ).

На первый взгляд может показаться, что матрица парных коэффициентов корреляции играет главную роль в отборе факторов. Вместе с тем вследствие взаимодействия факторов парные коэффициенты корреляции не могут в полной мере решать вопрос о целесообразности включения в модель того или иного фактора. Эту роль выполняют показатели частной корреляции, оценивающие в чистом виде тесноту связи фактора с результатом. Матрица частных коэффициентов корреляции наиболее широко используется процедура отсева фактора. При отборе факторов рекомендуется пользоваться следующим правилом: число включаемых факторов обычно в 6-7 раз меньше объема совокупности, по которой строит регрессии. Если это отношение нарушено, то число степеней свободы остаточной вариаций очень мало. Это приводит к тому, что параметры уравнения регрессии оказываются статистически незначимыми, а F-критерий меньше табличного значения.

Классическая линейная модель множественной регрессии (КЛММР):

где y – регрессанд; x_i – регрессоры; u – случайная составляющая.

Модель множественной регрессии является обобщением модели парной регрессии на многомерный случай.

Независимые переменные (х) предполагаются не случайными (детерминированными) величинами.

Переменная х₁ = x_i1 = 1 называется вспомогательной переменной для свободного члена и еще в уравнениях она называется параметром сдвиги.

«y» и «u» в (2) являются реализациями случайной величины.

- называется также параметром сдвига.

Для статистической оценки параметров регрессионной модели необходим набор (множество) данных наблюдений независимых и зависимых переменных. Данные могут быть представлены в виде пространственных данных или временных рядов наблюдений. Для каждого из таких наблюдений согласно линейной модели можно записать:

Векторно-матричная запись системы (3).

Введем следующие обозначения:

вектор-столбец независимой переменной (регрессанда)

размерность матрицы (n·1)

Матрица наблюдений независимых переменных (регрессоров):

размер (n×k)

Вектор-столбец параметров:

- матричная запись системы уравнений (3). Она проще и компактнее.

Сформируем предпосылки, которые необходимы при выводе уравнении для оценок параметров модели, изучения их свойств и тестирования качества модели. Эти предпосылки обобщают и дополняют предпосылки классической модели парной линейной регрессии (условия Гаусса – Маркова).

Предпосылка 1.независимые переменныене случайны и измеряются без ошибок. Это означает, что матрица наблюдений Х – детерминированная.

Предпосылка 2. (первое условие Гаусса – Маркова): Математическое ожидание случайной составляющей в каждом наблюдении равно нулю.

Предпосылка 3. (второе условие Гаусса – Маркова): теоретическая дисперсия случайной составляющей одинакова для всех наблюдений.

(Это гомоскедастичность)

Предпосылка 4. (третье условие Гаусса – Маркова): случайные составляющие модели не коррелированны для различных наблюдений. Это означает, что теоретическая ковариация

Предпосылки (3) и (4) удобно записать, используя векторные обозначения:

матрица - симметричная матрица. - единичная матрица размерности n, верхний индекс Т – транспонирование.

Матрица называется теоретической матрицей ковариаций (или ковариационной матрицей).

Предпосылка 5. (четвертое условие Гаусса – Маркова): случайная составляющая и объясняющие переменные не коррелированны (для модели нормальной регрессии это условие означает и независимость). В предположении, что объясняющие переменные не случайные, эта предпосылка в классической регрессионной модели всегда выполняется.

Предпосылка 6. коэффициенты регрессии – постоянные величины.

Предпосылка 7. уравнение регрессии идентифицируемо. Это означает, что параметры уравнения в принципе оцениваемы, или решение задачи оценивания параметров существует и единственно.

Предпосылка 8. регрессоры не коллинеарны. В таком случае матрица наблюдений регрессоров должна быть полного ранга. (ее столбцы должны быть линейно независимы). Данная предпосылка тесно связана с предыдущей, так как при применении для оценивания коэффициентов МНК ее выполнение гарантирует идентифицируемость модели (если количество наблюдений больше количества оцениваемых параметров).

Предпосылка 9. Количество наблюдений больше количества оцениваемых параметров, т.е. n>k.

Все эти 1-9 предпосылки одинаково важны, и только при их выполнении можно применять классическую регрессионную модель на практике.

Предпосылка о нормальности случайной составляющей. При построении доверительных интервалов для коэффициентов модели и прогнозов зависимой переменной, проверки статистических гипотез относительно коэффициентов, разработке процедур для анализа адекватности (качества) модели в целом необходимо предположение о нормальном распределении случайной составляющей. С учетом этой предпосылки модель (1) называется классической многомерной линейной моделью регрессии.

Если предпосылки не выполняются, то необходимо строить так называемые обобщенные модели линейной регрессии. От того, насколько корректно (правильно) и осознанно используются возможности регрессионного анализа, зависит успех эконометрического моделирования, и, в конечном счете, обоснованность принимаемых решений.

Для построения уравнения множественной регрессии чаще используются следующие функции

1. линейная: .

2. степенная: .

3. экспоненциальная: .

4. гипербола:

В виду четкой интерпретации параметров наиболее широко используются линейная и степенная функции. В линейной множественной регрессии параметры при Х называются коэффициентами «чистой» регрессии. Они характеризуют среднее изменение результата с изменением соответствующего фактора на единицу при неизменном значении других факторов, закрепленных на среднем уровне.

Пример. Предположим, что зависимость расходов на продукты питания по совокупности семей характеризуется следующим уравнением:

где у – расходы семьи за месяц на продукты питания, тыс.руб.;

х₁ – месячный доход на одного члена семьи, тыс.руб.;

х₂ – размер семьи, человек.

Анализ данного уравнения позволяет сделать выводы – с ростом дохода на одного члена семьи на 1 тыс. руб. расходы на питание возрастут в среднем на 350 руб. при томже размере семьи. Иными словами, 35% дополнительных семейных расходов тратится на питание. Увеличение размера семьи при тех же ее доходах предполагает дополнительный рост расходов на питание на 730 руб. Параметр а - не имеет экономической интерпретации.

При изучении вопросов потребления коэффициенты регрессии рассматривают как характеристики предельной склонности к потреблению. Например, если функции потребления С_t имеет вид:

С_t = a+b₀ R_t + b₁ R_t-1 +e,

то потребление в период времени t зависит от дохода того же периода R_t и от дохода предшествующего периода R_t-1. Соответственно коэффициент b₀ обычно называют краткосрочной предельной склонностью к потреблению. Общим эффектом возрастания как текущего, так и предыдущего дохода будет рост потребления на b= b₀ + b₁. Коэффициент b рассматривается здесь как долгосрочная склонность к потреблению. Так как коэффициенты b₀ и b₁ >0, то долгосрочная склонность к потреблению должна превосходить краткосрочную b₀. Например, за период 1905 – 1951 гг. (за исключением военных лет) М.Фридман построил для США следующую функцию потребления: С_t = 53+0,58 R_t+0,32 R_t-1 с краткосрочной предельной склонностью к потреблению 0,58 и с долгосрочной склонностью к потреблению 0,9.

Функция потребления может рассматриваться также в зависимости от прошлых привычек потребления, т.е. от предыдущего уровня потребления

С_t-1: С_t = a+b₀ R_t +b₁ С_t-1 +e,

В этом уравнении параметр b₀ также характеризует краткосрочную предельную склонность к потреблению, т.е. влияние на потребление единичного роста доходов того же периода R_t. Долгосрочную предельную склонность к потреблению здесь измеряет выражение b₀/(1- b₁).

Так, если уравнение регрессии составило:

С_t = 23,4+0,46 R_t +0,20 С_t-1 +e,

то краткосрочная склонность к потреблению равна 0,46, а долгосрочная – 0,575 (0,46/0,8).

В степенной функции коэффициенты b_j являются коэффициентами эластичности. Они показывают, на сколько процентов изменяется в среднем результат с изменением соответствующего фактора на 1% при неизменности действия других факторов. Этот вид уравнения регрессии получил наибольшее распространение в производственных функциях, в исследованиях спроса и потребления.

Предположим, что при исследовании спроса на мясо получено уравнение:

где у – количество спрашиваемого мяса; х₁ – его цена; х₂ – доход.

Следовательно, рост цен на 1% при том же доходе вызывает снижение спроса на мясо в среднем на 2.63%. Увеличение дохода на 1% обуславливает при неизменных ценах рост спроса на 1.11%.

В производственных функциях вида:

где P – количество продукта, изготавливаемого с помощью m производственных факторов (F₁, F₂, ……F_m).

b – параметр, являющийся эластичностью количества продукции по отношению к количеству соответствующих производственных факторов.

Экономический смысл имеют не только коэффициенты b каждого фактора, но и их сумма, т.е. сумма эластичностей: В = b₁ +b₂+……+b_m. Эта величина фиксирует обобщенную характеристику эластичности производства. Производственная функция имеет вид

где Р – выпуск продукции; F₁ – стоимость основных производственных фондов; F_2­ ­ - отработано человеко-дней; F₃ – затраты на производство.

Эластичность выпуска по отдельным факторам производства составляет в среднем 0,3% с ростом F₁ на 1% при неизменном уровне других факторов; 0,2% - с ростом F_2­ ­ на 1% также при неизменности других факторов производства и 0,5% с ростом F₃ на 1% при неизменном уровне факторов F₁ и F₂. Для данного уравнения В = b₁ +b₂+b₃ = 1. Следовательно, в целом с ростом каждого фактора производства на 1% коэффициент эластичности выпуска продукции составляет 1%, т.е. выпуск продукции увеличивается на 1%, что в микроэкономике соответствует постоянной отдаче на масштаб.

При практических расчетах не всегда . Она может быть как больше, так и меньше 1. В этом случае величина В фиксирует приближенную оценку эластичности выпуска с ростом каждого фактора производства на 1% в условиях увеличивающейся (В>1) или уменьшающейся (В<1) отдачи на масштаб.

Так, если , то с ростом значений каждого фактора производства на 1% выпуск продукции в целом возрастает приблизительно на 1.2%.

При оценке параметров модели по МНК мерой (критерием) количества подгонки эмпирической регрессионной модели к наблюдаемой выборке служит сумма квадратов ошибок (остатков).

где е = (e1,e2,…..e_n)^T;

Для уравнения применили равенство: .

- скалярная функция;

Система нормальных уравнений (1) содержит k линейных уравнений относительно k неизвестных i = 1,2,3……k

= (2)

Перемножив (2) получим развернутую форму записи систем нормальных уравнений

Оценка коэффициентов

Стандартизированные коэффициенты регрессии, их интерпретация. Парные и частные коэффициенты корреляции. Множественный коэффициент корреляции. Множественный коэффициент корреляции и множественный коэффициент детерминации. Оценка надежности показателей корреляции.

Параметры уравнения множественной регрессии оцениваются, как и в парной регрессии, методом наименьших квадратов (МНК). При его применении строится система нормальных уравнений, решение которой и позволяет получить оценки параметров регрессии.

Так, для уравнения система нормальных уравнений составит:

Ее решение может быть осуществлено методом определителей:

, ,…, ,

где D – главный определитель системы;

Dа, Db₁, …, Db_p – частные определители.

При этом

а Dа, Db₁, …, Db_p получаются путем замены соответствующего столбца матрицы определителя системы данными левой части системы.

Возможен и иной подход в определении параметров множественной регрессии, когда на основе матрицы парных коэффициентов корреляции строится уравнение регрессии в стандартизованном масштабе:

где - стандартизованные переменные , для которых среднее значение равно нулю , а среднее квадратическое отклонение равно единице: ;

- стандартизованные коэффициенты регрессии.

Применяя МНК к уравнению множественной регрессии в стандартизованном масштабе, после соответствующих преобразований получим систему нормальных вида

Решая ее методом определителей, найдем параметры – стандартизованные коэффициенты регрессии (b-коэффициенты).

Стандартизованные коэффициенты регрессии показывают, на сколько сигм изменится в среднем результат, если соответствующий фактор х_i изменится на одну сигму при неизменном среднем уровне других факторов. В силу того, что все переменные заданы как центрированные и нормированные, стандартизованные коэффициенты регрессии b_I сравнимы между собой. Сравнивая их друг с другом, можно ранжировать факторы по силе их воздействия. В этом основное достоинство стандартизованных коэффициентов регрессии в отличие от коэффициентов «чистой» регрессии, которые несравнимы между собой.

Пример. Пусть функция издержек производства у (тыс. руб.) характеризуется уравнением вида

где х₁ – основные производственные фонды;

х₂ – численность занятых в производстве.

Анализируя его, мы видим, что при той же занятости дополнительный рост стоимости основных производственных фондов на 1 тыс. руб. влечет за собой увеличение затрат в среднем на 1,2 тыс. руб., а увеличение численности занятых на одного человека способствует при той же технической оснащенности предприятий росту затрат в среднем на 1,1 тыс. руб. Однако это не означает, что фактор х₁ оказывает более сильное влияние на издержки производства по сравнению с фактором х₂. Такое сравнение возможно, если обратиться к уравнению регрессии в стандартизованном масштабе. Предположим, оно выглядит так:

Это означает, что с ростом фактора х₁ на одну сигму при неизменной численности занятых затрат на продукцию увеличиваются в среднем на 0,5 сигмы. Так как b₁ < b₂ (0,5 < 0,8), то можно заключить, что большее влияние оказывает на производство продукции фактор х₂, а не х₁, как кажется из уравнения регрессии в натуральном масштабе.

В парной зависимости стандартизованный коэффициент регрессии есть не что иное, как линейный коэффициент корреляции r_xy. Подобно тому, как в парной зависимости коэффициент регрессии и корреляции связаны между собой, так и в множественной регрессии коэффициенты «чистой» регрессии b_i связаны со стандартизованными коэффициентами регрессии b_i, а именно:

(3.1)

Это позволяет от уравнения регрессии в стандартизованном масштабе

(3.2)

переход к уравнению регрессии в натуральном масштабе переменных:

Параметр а определяется как

(3.3)

Рассмотренный смысл стандартизованных коэффициентов регрессии позволяет их использовать при отсеве факторов – из модели исключаются факторы с наименьшим значением b_j.

Компьютерные программы построения уравнения множественной регрессии в зависимости от использованного в них алгоритма решения позволяют получить либо только уравнение регрессии для исходных данных, либо, кроме того, уравнение регрессии в стандартизованном масштабе.

При нелинейной зависимости признаков, приводимой к линейному виду, параметры множественной регрессии также определяются МНК с той лишь разницей, что он используется не к исходной информации, а к преобразованным данным. Так, рассматривая степенную функцию

мы преобразовываем ее в линейный вид:

где переменные выражены в логарифмах.

Далее обработка МНК та же, что и описана выше: строится система нормальных уравнений и определяются параметры lg a, b₁, b₂, … b_p. Потенцируя значение lg a, найдем параметр а и соответственно общий вид уравнения степенной функции.

Поскольку параметры степенной функции представляют собой коэффициенты эластичности, то они сравнимы по разным факторам.

Пример. При исследовании спроса на масло получено следующее уравнение:

где

у – количество масла на душу населения (кг);

х₁ – цена (руб.)

х₂ – доход на душу населения (тыс. руб.).

Анализируя уравнение, видим, что с ростом цены на 1% при том же доходе спрос снижается в среднем на 0,858%, а рост дохода на 1% при неизменных ценах вызывает увеличение спроса в среднем на 1,126%. В виде степенной функции данное уравнение примет вид:

При других нелинейных функциях методика оценки параметров МНК осуществляется так же. В отличие от предыдущих функций параметры более сложных моделей не имеют четкой экономической интерпретации: они не являются показателями силы связи и ее эластичности. Это не исключает возможности их применения, но делает их менее привлекательными в практических расчета.

Частные уравнения регрессии. На основе линейного уравнения множественной регрессии

могут быть найдены частные уравнения регрессии:

т.е. уравнения регрессии, которые связывают результативный признак с соответствующими факторами х при закреплении других учитываемых во множественной регрессии факторов на среднем уровне. Частные уравнения имеют следующий вид:

При подстановке в эти уравнения средних значений соответствующих факторов они принимают вид парных уравнений линейной регрессии, т.е. имеем:

где

В отличие от парной регрессии частные уравнения регрессии характеризуют изолированн