Пространство состояний. Уравнения состояния

Динамические и статические системы. Понятие состояния динамических систем.

Уравнение состояния линейных систем

Линеаризация уравнений состояния

Краткая характеристика пакета MatLab

Пакет Control System Toolbox

ЭССЕ. Кратко описаны возможности применения пакета MatLab для исследования и изучения процессов в различных областях науки и техники, а в пакете Control System Toolbox приведены основные команды, позволяющие создавать модели линейных систем регулирования. Цель лекции – уметь в пакете Control System Toolbox создавать модели систем регулирования, записанные через передаточные функции, нули и полюса, матрицы уравнений состояния. Уметь от одного представления математической модели переходить к другим представлениям.

7.1. .Методы исследования систем регулирования

В современной научной и технической литературе по теории управления освещено два подхода к проблеме анализа и синтеза систем регулирования:

первый подход (традиционный или классический) основан на использовании передаточных функций, частотных характеристик либо корневого годографа;

второй подход основан на описании динамики объектов системами дифференциальных или разностных уравнений первого порядка с помощью матричных уравнений и схем переменных состояний, который получил название "метод пространства состояний". Традиционные методы получили большое распространение и с их помощью, в настоящее время, проектируется большинство систем регулирования. Отличительной особенностью этих методов является так называемая робастность (или грубость), что означает не чувствительность (относительно малое влияние) изменения характеристик замкнутых систем к погрешностям, возникающим при переходе физической системы к ее математическому представлению (математической модели). Это полезное свойство робастности (грубых) систем достигается применением обратных связей, которые в какой-то степени линеаризуют нелинейные системы и уменьшают чувствительность систем к вариации параметров. Теория обратных связей в этом методе имеет существенное значение, так как она не только линеаризует систему, не только уменьшает чувствительность, но и компенсирует недостаток сведений об объекте и внешних (возмущающих воздействиях) условиях его работы.

В последние годы разрабатываются новые методы синтеза, которые принято называть методами современной теории регулирования, чтобы не путать их с классическими методами. Эти методы в большей степени зависимы от точности задания модели, что сдерживает их распространение. Вторым сдерживающим фактором является относительно низкая осведомленность возможностей современной теории управления для инженеров, проектирующих промышленные системы регулирования. При проектировании сложных систем (управление летательными аппаратами, космическая техника) современная теория управления давно успешно конкурирует с традиционные методы проектирования, так как обладает большими возможностями:

1. Модель объекта, заданная в переменных состояния, более корректна при вычислительных преобразованиях. Значимость этого преимущества возрастает при исследовании сложных систем.

2. Модель объекта, заданная в переменных состояния, дает больше информации об объекте (его внутренних переменных). Следовательно, процедура проектирования может быть более эффективной. В традиционных методах синтезируется регулятор по сигналу ошибки. В этих системах в цепях обратной связи стоит звено, которое, как правило, фильтрует выходной сигнал объекта и согласовывает его уровень с уровнем входного сигнала регулятора, то есть уровень обратной связи определяется, как правило, одной координатой объекта, величиной помех и конструктивными соображениями. В методах пространства состояния (методах модального управления) на регулятор подаётся линейная комбинация сигналов обратных связей, т.е. используются несколько координат, что более эффективно.

3. Почти все методы проектирования систем управления, дающие «наилучшее» решение, основаны на использовании моделей в переменных состояния. Под «наилучшей» системой мы подразумеваем такую систему, в которой минимизируется (или максимизируются) значение некоторого функционала, выбранного в качестве критерия, оценивающего работу системы. Среди большего числа критериев широкое распространение получили интегральные критерии от квадратичных форм. В пакете Control System Toolbox имеется набор команд, которые упрощают эти важные и очень трудоемкие операции.

4. Так как объект, заданный в переменных состояния, раскрывает связь между внутренними координатами, то имеется возможность более экономно описать математическими выражениями эти закономерности. Это упрощает написание программ, входящих в состав современных цифровых систем. Если не все координаты объекта доступны измерению, то не измеряемые координаты объекта можно восстановить с помощью идентификатора (наблюдателя) и получить заданную динамику системы регулирования по измеренным и восстановленным координатам.

5. Расчет всех линейных систем (непрерывных, импульсных, цифровых) рассматривать с единых позиций метода пространства состояний, используя матричное исчисление, что позволяет формализовать методы расчета и относительно просто, по одному алгоритму, писать программы для моделирования этих систем. Причем, в связи с интенсивным развитием программного обеспечения, это преимущество непрерывно возрастает. Примером служит программа MatLab, которая для расчета, проектирования и исследования систем открывает возможности, которые трудно переоценить.

6. Написание программ для всего многообразия систем, заданных в пространстве состояния, осуществляется по единой методике.

Таким образом, современная теория управления требует от инженера:

- более глубоких знаний по математике;

- знакомства с пакетами прикладных программ, желательно MatLab;

- расчета систем на более высоком абстрактном уровне.

Последний термин нуждается в уточнении. При расчете относительно не сложных систем инженер имел возможность контролировать промежуточные результаты. При применении метода пространства состояния к сложным системам такой подход стал не только вредным, но и часто невозможным. Теперь от инженера требуется осуществить полный расчет системы, выставить расчетные параметры, а лишь затем приступить к их наладке, т.е. иметь возможности контролировать промежуточные результаты. Противоречия, свойственные абстрактным и наглядными результатами, можно проиллюстрировать следующим примером. Известно, что при описании систем методом пространства состояний дифференциальное уравнение n-го порядка заменяется n дифференциальными уравнениями первого порядка. В качестве независимых переменных выбираются фазовые координаты системы. В ТАУ использовался этот прием при исследовании нелинейных систем второго порядка на фазовой плоскости. При этом использовались только две координаты системы: отклонение выходной величины от установившегося значения - и скорость изменения этой величины - . При числе координат большем трех фазовый портрет системы терял наглядность, что и затормозило применение этого метода для расчета сложных систем. Когда к исследованию сложных систем регулирования привлекли математиков, то они отказались от наглядного представления результатов, которое свойственно инженерам, и перенесли исследование сложных систем в n-мерное пространство (увеличили уровень абстракции), что и позволило использовать формальный аппарат математики (методы матричного исчисления, функционального и векторного анализа) для анализа и синтеза систем регулирования. Аппарат матричных преобразований вводит n-мерное векторное пространство, которое используется в современной теории управления при описании динамики систем, а аппарат функционального анализа вводит n-мерное функциональное пространство, которое используется для описания сигналов. Так как эти пространства введены с единых позиций, то между ними просматривается логическая связь. Зададим вектор в трехмерном пространстве, который можно представить в виде линейной комбинации ортогональных векторов i, j, k

,

где , , - числа, характеризующие проекции на координатные оси.

Если векторы i, j, k стационарны, то имеем векторное пространство, если векторы , , являются функциями, то получим функциональное пространство. В векторном пространстве каждой точке пространства соответствует вектор, в функциональном пространстве - функция. В векторном пространстве совокупность чисел, характеризующих проекции вектора на координатные оси, характеризует вектор, в функциональном пространстве совокупность чисел характеризует функцию.

В математике предложено достаточно большое число функций, которые в функциональном пространстве могут быть выбраны в качестве базисных. Одной из самых распространенных систем базисных функций являются функции и , где , - размерность фазового (n-мерного) пространства. И если функция представляется в виде ряда Фурье

,

то в функциональном пространстве эта функция задается набором чисел и .

Поворачивая оси координат (по-разному ориентируя их в пространстве) один и тот же вектор может быть выражен разной комбинацией чисел. Так же используя различные системы базисных функций можно одну и ту же функцию выразить разной комбинацией чисел. Причем для представления функции с одинаковой точностью необходимое число функций (размерность пространства n) в зависимости от системы базисных функций может быть разной.

Состояние объекта регулирования (набор переменных состояния) – вектор фазовых координат системы, может быть представлен в различных базисных системах. Сигналы, проходящие в системе – функции, также могут быть представлены в различных базисах. Объект регулирования, в зависимости от выбранной базисной системы и ее ориентации, будет иметь разную математическую запись и разные схемы моделирования. Передаточные функции связывают выход системы с входом. Модель в пространстве состояния также связывает выход с входом, но дополнительно раскрывает внутренние связи объекта, что делает модель пространства состояния не однозначной. Например, при исследовании систем управления двигателями переменного тока, используя ограничения и разнообразные системы координат, различных схем моделирования можно предложить более тысячи. При этом для каждого представления объекта будет своя схема моделирования и свои координаты переменных состояния. Поэтому следует применять такую систему координат, чтобы схема моделирования была возможно проще и чтобы возможно большее количество координат переменных состояния было доступно для измерения. В этом случае имеется возможность спроектировать более простую и более надежную систему регулирования.

Следует отметить, что структурными преобразованиями можно перейти от моделей на основе структурных схем (классический метод) к матричным моделям (современная теория управления), что показывают эквивалентность САУ с точки зрения качества переходных процессов. Однако реализация законов управления и опыт их внедрения для разных систем схем представления разный. Например, задание на проектирование системы по расположению корней характеристического уравнения замкнутой системы, что свойственно методам современной теории управления, менее информативно, чем задание частотных характеристик или числовых характеристик переходной функции. Представления систем набором матриц, а не в виде структурных схем, отвлекает проектировщика от физических процессов в САУ и не учитывает нелинейности, а вместо этого концентрирует его внимание на матричной алгебре. Поэтому одноконтурные системы целесообразно рассчитывать классическими методами. Если некоторые координаты не могут быть измерены, то метод структурных схем целесообразно дополнить наблюдателями (идентификаторами), синтезированными методами современной теории управления

Методы современной теории целесообразно применять тогда, когда требования к системе регулирования сформулированы в виде квадратичного функционала. В MatLab имеется набор команд определяющих матрицу усилений, оптимизирующую квадратный функционал. Однако правильно обосновать квадратный функционал крайне затруднительно и поэтому, после определения программой MatLab матрицы усилений, полученная САУ должна анализироваться классическими методами в частотной области.

Таким образом, два подхода, классический и современный, должны дополнять друг друга, но при увеличении сложности систем, а особенно при расчетах многоконтурных систем, целесообразность представления САУ методами уравнений состояний возрастает.