Напряжения в пластине и их выражения через прогибы

Формулы закона Гука

Из первой и второй гипотезы:

Применим правило Крамера

-определитель из коэффициентов при неизвестных

Определим напряжения заменив перемещения на дифференциальные (2,4) уравнения через прогибы

Усилия в пластинке и их выражения через прогибы

Выясним какое усилие возникнет в сечении пластинки нормальной к ее срединной поверхности:

Определим приходящуюся на единице ширины сечения продольную силу N. Она равна сумме проекций на ось Х

Нормальной силы в этом сечении не возникает. (сука а нахуя я тогда все это писал)

Найдем изгибающий момент:

- цилиндрическая жесткость при изгибе.

Поперечная сила:

Сдвигающая сила

Погонный крутящий момент:

Аналогично найдем усилия, действующие в сечении с нормалью у.

Выражение напряжений через усилия

Нормальные напряжения при изгибе прямоугольной балки высотой h и шириной =1.

H-крутящий момент

Уравнения равновесия элемента пластины

Спроекцируем все силы на ось Z.

Приведя подобные члены:

Запишем уравнение равновесия относительной ОХ.

Дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности пластины.

Исключая из второго и третьего уравнения равновесия поперечные силы получим:

Подставляя полученные выражения в первое уравнения равновесия в первое уравнения равновесия, получим:

Это уравнение представляет собой дифференциально уравнение изогнутой срединной поверхности пластинки, его называют уравнением Софи Жермен-Лагранжа. С помощью него, использую граничные условия находит функции прогибов.

Граничные условия

Рассмотрим постановку граничных условий опирания пластинки и их выражения для функции прогиба.

Для начала рассмотрим эти условия для граней пластинки параллельных осям прямоугольной системы координат.

a

б

Свободный край

Шарнирное опирание

Жесткая заделка

х

у

Рис. 4.1. Опирание пластинки

На рис. 4.1 показаны стандартные условия опирания пластинки: жесткая заделка, шарнирное опирание, свободное опирание. К нестандартным условиям опирания пластинки отнесем упругое опирание и упругую заделку, которые будут рассмотрены ниже.

Любой край пластинки может иметь как однородные (неизменные) условия опирания, так различные условия опирания на частях края. Варианты стандартного опирания пластинки приведены на рис. 4.1,6. В плане пластинки шарнирное опирание обозначается пунктиром (рис. 4.1,б).

а/. При заделке в сечении х=х₀=const равны нулю прогиб и угол поворота по оси х равны нулю –

; . (4.1,а)

Аналогично при заделке в сечении у=у₀, получаем

; . (4.1,б)

б/. При шарнирном опирании в сечении х=х₀=const равны нулю прогиб и изгибающий момент. ; . С учетом формул (2.1) из второго условия имеем . Но из условия следует, что . Следовательно, окончательно получаем условие шарнирного опирания в сечении х=х₀:

и . (4.2,а)

Аналогично, при шарнирном опирании в сечении у=у₀=const :

и . (4.2,б)

в/. Рассмотрим условия опирания свободного от закреплений края. Очевидно, что все напряжений на этом краю равны нулю и, следовательно, равны нулю все виды равнодействующих напряжений :

; ; . (4.3)

Таким образом на свободном краю мы получили 3 граничных условия. Но, решение дифференциального уравнения 2-го порядка позволяет удовлетворять только по 2 граничных условия. Это противоречие связано с гипотезами Кирхгофа, позволившим построить приближенную теорию изгиба пластин.

Чтобы обойти противоречие, на свободном краю вводят понятие обобщенной поперечной силы, являющейся комбинацией поперечной силы и крутящего момента. Для этого крутящие моменты Hdy и на соседних малых элементах dx (в сечении х=х₀=const) заменяют парами сил H и . Суммируя вектора пар сил на границе дух элементов приводим действие крутящих моментов к эквивалентной поперечной силе (рис. 4.2).

Суммируя поперечную силу Q_x и приведенную поперечную силу от крутящего момента (на единицу длины сечения) получаем обобщенную поперечную силу в сечении .

Рис. 4.2. Приведение крутящего момента к эквивалентной поперечной силе

dy

dy

y

Hdy

=

y

y

dy

dy

H

=

Аналогично в сечении у=у₀=const - . С учетом формул (4.1) (4.5). получим:

;

. (4.4)

Граничные условия на свободных от закреплении краях получаем, приравнивая нулю изгибающий момент и обобщенную поперечную силу. В сечении х=х₀=const

®

; ® . (4.5,а)

В сечении у=у₀:

®

; ® . (4.5,б)

Использование обобщенной поперечной силы допустимо в рамках используемой приближенной теории. В реальной же пластинке при обобщенной силе равной нулю не означает равенства нулю каждого из слагаемых – поперечной силы и крутящего момента. Следовательно мы получаем на свободной кромке x=const решение с некоторой системой касательных напряжений t_zх (соответственно Q_x) и t_yх (соответственно H). Эти усилия уравновешены в сечении и, согласно принципу Сен-Венана, им отвечает дополнительное поле напряжений, быстро затухающее при удалении от кромки в глубь пластинки и не влияющие на напряженной состояние в основной части пластинки.

Рис. 4.3.

H

x

y

Следует отметить, что при приведении крутящего момента к эквивалентной поперечной силе в угловых точках возникают сосредоточенные силы, равные удвоенным значениям крутящего момента (рис.4.3)

. (4.6)

Если кромки пластинки сходятся в угловой точке под углом, отличным от 90°, то значение силы R будет зависеть от угла между кромками.