Уравнения спутниковой градиентометрии

Основные затруднения при выводе соотношений спутниковой градиентометрии связаны с необходимостью представления компонент матрицы (12) в сферических координатах, поскольку гравитационный потенциал, моделируемый рядом объемных сферических функций:

(16)

представляет собой функцию сферических координат. Учитывая это, запишем оператор Гамильтона в форме, обеспечивающей связь прямоугольных координат со сферическими:

. (17)

Однократное воздействие оператора (17) на скалярную функцию сферических координат (16) порождает вектор

. (18)

Повторное воздействие оператора Гамильтона, записанного в форме (17), на вектор (18) дает матрицу вторых производных гравитационного потенциала, элементы которой в отличие от (12) будут выражаться в виде производных по сферическим координатам.

Приведем далее итоговую сводку формул, связывающих вторые производные гравитационного потенциала по осям уже использовавшейся выше спутникоцентрической правой горизонтной системе координат со вторыми его производными по сферическим координатам:

(19)

Проводя непосредственное дифференцирование ряда (16), получим формулы для уравнений наблюдений в правой спутникоцентрической горизонтной системе координат :

Более подробное изложение вывода формул (19) – (25) можно найти в пособии (Кащеев, СГГ).

Принципы измерения вторых производных гравитационного потенциала. Миссия GOCE.

В классической наземной гравиметрии главной измеряемой величиной является модуль вектора силы тяжести – первая нормальная (вертикальная) производная соответствующего потенциала. Известно, однако, что, повышая порядок измеряемой производной, можно добиться относительного увеличения амплитуды коротковолновой компоненты поля, вследствие чего последняя определяется более уверенно. Вот почему, как уже указывалось выше, для оценивания параметров высокочастотной (т.е. коротковолновой) составляющей гравитационного поля, описывающих по мере возрастания степени вычисляемых гармоник все более мелкие особенности его структуры, выгоднее использовать измерения вторых производных потенциала ньютоновской силы притяжения [Сагитов].

Рассмотрим основные принципы бортовых измерений вторых производных гравитационного потенциала. Покажем, что градиентометрические измерения представляют собой измерения характеристик относительного движения элементов динамической системы пробных масс инструмента-градиентометра.

Пусть в произвольной спутникоцентрической прямоугольной системе координат положение точки описывается трехмерным вектором

. Тогда в отсутствии влияния сил негравитационной природы имеем:

где – составляющая ньютоновской силы притяжения по i-ой оси в точке , – потенциал силы притяжения в той же точке. Запишем (47) для некоторой точки , близкой к , и разложим в ряд Тейлора в окрестности точки :

.

Аналогично для точки :

.

Относительное ускорение единичных пробных масс, находящихся в точках

и , запишем в виде разности:

, (48)

где принято Таким образом, в соответствии с (2) измерение вторых производных сводится к измерению компонент вектора относительного ускорения и компонент вектора относительного положения пробных масс спутникового градиентометра. Компоненты вектора относительных ускорений действующих на каждую из разнесенных в пространстве пробных масс, измеряются с помощью трехкомпонентного акселерометра, принцип действия которого может быть описан следующим образом. Пусть внутри движущегося объекта на пружинных подвесах, имеющих лишь одну степень свободы перемещения вдоль оси , установлены два идентичных пробных тела единичной массы. При движении в однородном гравитационном поле и отсутствии негравитационных возмущений на оба тела (и на объект-носитель) будут действовать одинаковые ускорения. Это означает, что пробные тела будут находиться на не меняющемся со временем расстоянии друг от друга, а их относительные ускорения будут равны нулю. Тогда в соответствии с (2) будут равны нулю и все вторые производные поля (напомним, что в данном случае нами рассматривается движение в однородном поле).

В неоднородном гравитационном поле на пробные массы в каждый момент времени будут действовать ускорения, различные и по величине, и по направлению, вследствие чего расстояние между массами будет меняться, а относительное ускорение их уже не будет нулевым. Заметим, что, если пружины акселерометра имеют линейную характеристику, то величина ускорения каждой массы будет пропорциональна ее смещению относительно нулевого положения, соответствующего равномерному движению в однородном поле. В условиях реального космического полета системы такого рода должны быть трехмерными (трехкомпонентными), т.е. пригодными для измерения по трем взаимно перпендикулярным базисным осям.

В результате реализации программы Европейского Космического Агентства (ESA) GOCE (Gravity field and steady-state Ocean Circulation Explorer) ожидается определение превышений геоида для модели с разрешением подробностей его фигуры (длиной полуволны) от 100 км с ошибкой не превышающей 1-2 см. Такая модель послужит уточнению представлений исследователей о внутреннем строении Земли и динамических процессах, происходящих в ее коре и внешней мантии, в частности, о движении литосферных плит. В сочетании с имеющимися данными спутниковой альтиметрии высокоточная модель геопотенциала расширит понимание процессов глобальной циркуляции вод Мирового Океана и связанных с ней изменениями климата.

Искусственный спутник Земли GOCE массой около 1000 кг был выведен ………. 2009 года на сверхнизкую почти круговую солнечно-синхронную орбиту с примерными значениями наклонения , эксцентриситета , и высоты над поверхностью Земли км.

Комплекс бортовой аппаратуры включал:

· систему компенсации негравитационного сноса (атмосферного торможения);

· двухчастотный 24-х канальный комбинированный GPS/ГЛОНАСС приемник, обеспечивающий высокоточное позиционирование спутника с ошибкой порядка 1-2 см;

·
звездный видеоприбор для контроля ориентации главных осей искусственного спутника;

· прецизионный бортовой градиентометр для измерения вторых производных геопотенциала с ошибкой 10 (-3) Этвеш.

В процессе подготовки космической программы рассматривались два варианта конструкции градиентометра: индуктивный (сверхпроводящий) и емкостной. По ряду технических причин в качестве реализуемого варианта был выбран емкостной градиентометр, состоящий из трех высокочувствительных акселерометров (см. рис. 2б). Каждый из этих акселерометров представляет собой пару пробных масс, располагающихся на близком расстоянии (около 0.5 м) симметрично относительно центра масс ИСЗ вдоль одной из трех взаимно перпендикулярных главных осей летательного аппарата (так называемая «конфигурация алмазного кристалла»).

В ходе эксперимента измерялись относительные ускорения каждой пары пробных масс, что позволило определить лишь диагональные элементы тензора (1) вторых производных гравитационного потенциала.

Принципиально важной составляющей проекта была непрерывная (каждые 10 секунд) высокоточная привязка спутника GOCE к ИСЗ созвездий космических навигационно-геодезических систем GPS и ГЛОНАСС, одновременно решающая две задачи. Во-первых, обеспечивалась высокоточная пространственная привязка каждого градиентометрического измерения, что позволило в уравнениях поправок (33) принимать . Во-вторых, прямоугольные координаты спутника GOCE рассматривались как псевдоизмерения, выполненные методом межспутникового слежения по схеме «высокий-низкий» (HL-SST) в системе высокоорбитальных ИСЗ систем GPS или ГЛОНАСС и низкоорбитального спутника GOCE. Такого рода псевдоизмерения обладают высокой информативностью с точки зрения оценивания низкочастотной компоненты модели гравитационного потенциала Земли и потому обрабатываются далее совместно с данными бортовых градиентометрических измерений.

Время существования спутника GOCE на рабочей орбите составило около двух лет, при этом период активных измерений включал два сеанса по 6 месяцев, разделенных периодом гибернации длительностью около 5 месяцев.

13. Кинематика относительного движения двух искусственных спутников

В правой прямоугольной планетоцентрической экваториальной системе координат рассмотрим систему двух искусственных спутников и , в некоторый момент времени находящихся на расстоянии друг от друга в точках с координатами и (см. рис. Ю).

Векторы линейных скоростей спутников и в указанной системе координат обозначим символами и соответственно, символом обозначим орт направления . Тогда относительная дальность между спутниками (скалярная величина) будет равна: