Проверка закона распределения по критерию согласия «хи-квадрат» Пирсона
Критерий согласия «хи-квадрат» Пирсона вычисляется по формуле (3.1):
, (3.1)
где, wi – опытная частота;
– теоретическая частота;
i – номер интервала статистического ряда.
Суммирование производится по всем n интервалам. В первый столбец записываются номера интервалов, во второй переносятся из статистического ряда их верхние границы.
По ним вычисляются и записываются в третий столбец значения центрированного нормированного аргумента u для входа в таблицу интегральной функции ЗНР.
В следующий, четвертый столбец заносятся найденные по таблице значения интегральной функции для верхних границ интервалов.
В пятый столбец расчетной таблицы записываются значения теоретической вероятности р* попадания случайной величины (в нашем примере – плунжера топливного насоса высокого давления (ТНВД)) в текущий интервал. Эта вероятность вычисляется как разность функции распределения по концам интервала, то есть как разность этой функции между текущим и предшествующим интервалами. Для первого интервала в этом столбце повторяется значение из четвертого столбца.
В шестой столбец переносятся из статистического ряда опытные частоты. Далее вычисляются и записываются в седьмой столбец теоретические частоты как произведение объема выборки N на теоретическую вероятность .В восьмой столбец записываются квадраты разности опытных и теоретических частот.
В последний, девятый столбец расчетной таблицы записывается отношение квадрата разности частот к теоретической частоте. Сумма этого столбца и представляет собой искомый критерий «хи-квадрат».
Проследим на числовых примерах заполнение этой таблицы. Для первого интервала (первая строка таблицы) верхняя граница равна 14. Табличный аргумент для нее составит:
= = =-2,167
В шестой столбец переносим из статистического ряда опытную частоту w1 = 1. Далее находим и записываем в седьмой столбец теоретическую частоту w*:
= 0,0351·32 = 1,1232
В восьмой столбец записываем квадрат разности опытной и теоретической частот:
= 0,0152.
В последний, девятый столбец записываем отношение квадрата разности частот к теоретической частоте:
≈ 0,0135.
По такой же методике выполняем расчет критерия «хи-квадрат» для ЗРВ износа плунжера топливного насоса высокого давления (ТНВД). Отличие заключается лишь в том, что величина u для распределения Вейбулла вычисляется по формуле (3.2), в то время как для ЗНР использовалась формула (3.3):
, (3.2)
где u – табличный аргумент;
х – приведенное значение аргумента (значение случайной величины, для которой отыскивается вероятность или плотность).
, (3.3)
где с – параметр смещения ЗРВ;
а – масштабный параметр ЗРВ.
Другое существенное отличие заключается в следующем. Таблицы 1 и 2 (приложение 1) для ЗНР являются таблицами с одним входом, то есть они могут быть записаны в два столбца: столбец аргумента и столбец функции. В столбце аргумента находим нужное значение и в этой же строке считываем в столбце функции результат.
Таблицы 3 и 4 (приложение 1) для ЗРВ являются таблицами с двумя входами: кроме значения аргумента u (первый вход таблицы) необходимо также задавать значение параметра b (второй вход). Поэтому результат считывается из таблицы на пересечении строки с заданным значением u и столбца с заданным значением b. Естественно, если в точности заданных значений в таблице не содержится, приходится интерполировать по одному или по обоим входам таблицы. В этом случае следует использовать формулу (3.4):
, (3.4)
где х1 и х2 – ближайшие к заданному аргументу х табличные значения;
у1 и у2 – соответствующие табличные значения функции y.
Таблица 3.1
Расчет критерия «хи-квадрат» для ЗНР износа плунжера топливного насоса высокого давления (ТНВД)
Номер интервала | Верхняя граница интервала | Табличный аргумент | Интегральная функция | Теоретическая вероятность р* | Опытная частота | Теоретическая частота | Квадрат разности частот | Отношение |
i | wi | |||||||
3,5 | –1,81 | 0,0351 | 0,035 | 1,123 | 0,015 | 0,013 | ||
4,5 | –1,11 | 0,1335 | 0,098 | 3,148 | 0,724 | 0,229 | ||
5,5 | –0,41 | 0,3409 | 0,207 | 6,636 | 2,679 | 0,403 | ||
6,5 | 0,27 | 0,6064 | 0,265 | 8,496 | 0,254 | 0,029 | ||
7,5 | 0,97 | 0,8340 | 0,227 | 7,283 | 1,646 | 0,225 | ||
8,5 | 1,67 | 0,9525 | 0,118 | 3,792 | 10,29 | 2,713 | ||
Сумма: | 3,612 |
Итак, параметры ЗРВ для рассматриваемого примера (плунжера топливного насоса высокого давления (ТНВД)) составляют:
а = 4,05;
b = 2,35;
с = 2,5.
Таблица 3.2
Расчет критерия «хи-квадрат» для ЗРВ износа плунжера топливного насоса высокого давления (ТНВД)
Номер нтервала | Верхняя граница интервала | Табличный аргумент | Интегральная функция | Теоретическая вероятность р* | Опытная частота | Теоретическая частота | Квадрат разности частот | Отношение |
i | wi | |||||||
3,5 | 0,24 | 0,024 | 0,024 | 0,768 | 0,053 | 0,069 | ||
4,5 | 0,49 | 0,114 | 0,090 | 2,880 | 1,254 | 0,435 | ||
5,5 | 0,74 | 0,356 | 0,242 | 7,744 | 7,529 | 0,972 | ||
6,5 | 0,98 | 0,544 | 0,188 | 3,776 | 27,29 | 7,227 | ||
7,5 | 1,23 | 0,781 | 0,237 | 7,584 | 2,509 | 0,330 | ||
8,5 | 1,48 | 0,886 | 0,105 | 3,360 | 13,24 | 3,940 | ||
Сумма: | 12,973 |
Теперь можно сопоставить согласие опытных данных с ЗНР и с ЗРВ. Для этого находят число степеней свободы для каждого из рассматриваемых распределений по формуле (3.5)
k = n – s – 1, (3.5)
где k – число степеней свободы;
n – число интервалов статистического ряда;
s – число параметров закона распределения.
В нашем примере n = 6. Число параметров s для ЗНР равно 2 ( и σ), для ЗРВ – 3 (a, b и c). Поэтому число степеней свободы равно:
для ЗНР – 6 – 2 – 1 = 3;
для ЗРВ – 6 – 3 – 1 = 2.
Определяем уровень значимости для ЗНР=0,31
для ЗРВ=0,01
Это позволяет без колебаний выбрать закон нормального распределения (ЗНР).