Совместный закон распределения

В приведенных ниже задачах 7.1.-7.10. на основе заданного распределения случайной точки (ξ₁, ξ₂) найти:

1) одномерные законы распределения случайных величин ξ₁, ξ₂ и их числовые характеристики;

2) коэффициент корреляции случайных величин ξ₁, ξ₂.

Вариант	Числовые характеристики	Вариант	Числовые характеристики
	ξ2 ξ1					ξ2 ξ1
	0,16	0,10	0,28		0,16	0,10	0,28
	0,14	0,20	0,12		0,14	0,20	0,12
	ξ2 ξ1					ξ2 ξ1
	0,06	0,18	0,24		0,12	0,13	0,24
	0,12	0,13	0,27		0,18	0,06	0,27
	ξ2 ξ1					ξ2 ξ1
	0,12	0,24	0,22		0,06	0,18	0,24
	0,20	0,15	0,07		0,12	0,13	0,27
	ξ2 ξ1					ξ2 ξ1
	0,16	0,10	0,28		0,12	0,13	0,24
	0,14	0,20	0,12		0,18	0,06	0,27
	ξ2 ξ1					ξ2 ξ1
	0,06	0,18	0,24		0,13	0,24	0,12
	0,12	0,13	0,27		0,18	0,06	0,27

Элементы математической статистики

В приведенных ниже задачах 8.1.-8.10. требуется для случайной величины ξ:

1. Составить выборочное распределение.

2. Построить гистограмму и график выборочной функции распределения.

3. Найти состоятельные несмещенные оценки математического ожидания и дисперсии.

4. Построить доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии с уровнем доверия р=0,95.

5. На основании анализа формы построенной гистограммы выдвинуть гипотезу о законе распределения и проверить справедливость гипотезы по критерию Пирсона с уровнем значимости α=0,05.

8.1. Данные о диаметрах деталей, изготавливаемых на станке с числовым программным управлением, представлены в таблице в микронах. Первоначальную группировку произвести с интервалом в 10 мк.

11301 11312 11315 11329 11306 11334 11343 11305 11357 11329 11365 11301 11383 11374 11375 11306 11324 11382 11381 11373 11333 11338 11315 11301 11334 11345 11367 11324 11385 11326 11363 11372 11361 11389 11367 11384 11365 11393 11361 11318 11344 11355 11303 11352 11351 11301 11322 11316 11385 11323 11351 11314 11362 11361 11335 11373 11342 11371 11371 11346 11345 11304 11343 11322 11301 11322 11343 11313 11354 11363 11332 11371 11352 11391 11345 11396 11367 11398 11309 11398 11303 11322 11311 11356 11374 11335 11353 11362 11381 11338 11319 11386 11344 11393 11395 11391 11342 11393

8.2. Результаты обследования роста студентов приведены в таблице. Первоначально длину интервала при группировке взять равной 4 см.

151 168 170 188 158 170 148 162 166 180 176 176 182 162 173 181 164 166 183 172 174 166 154 167 158 166 173 166 162 169 165 178 164 167 176 153 167 173 165 170 174 168 171 162 177 169 153 169 166 175 172 189 163 160 173 185 170 178 171 172 158 162 170 160 175 166 157 167 153 164 174 180 168 173 181 171 155 173 179 165 184 172 170 175 170 162 159 164 172 193 169 173 174 169 171 168 170 168 177 169

8.3. Результаты испытания предела прочности партии стальной проволоки приведены в таблице. Первоначально длину интервала при группировке взять равной 5 кг.

167 147 169 187 151 161 156 135 177 198 176 189 163 145 162 157 179 188 167 154 178 152 168 153 188 164 142 158 177 178 186 168 158 163 197 162 159 164 178 154 161 165 164 201 161 189 178 159 199 157 154 188 149 169 164 157 179 163 177 153 161 177 167 155 162 186 166 203 156 175 155 179 189 165 160 163 164 153 163 159 162 187 168 158 164 151 163 176 185 158 164 179 209 180 179 187 166 158 164 152

8.4. Данные о выручке магазина в рублях за 100 дней представлены в таблице. Первоначально длину интервала при группировке взять равной 50 р.

2015 1870 1965 1935 1989 1750 1972 2190 2140 2244 2007 2019 1825 2027 1925 2070 1839 2085 2040 2133 2090 2190 2112 2015 2279 1970 1890 2032 1948 2045 2235 1988 1924 2128 2038 2167 2085 1993 2140 2160 2060 1905 2055 1980 2138 2071 1972 2083 2175 1965 2020 2134 2021 2127 2180 2131 1995 2031 2000 1910 2015 2165 2084 1960 2090 2220 2145 2066 1955 2078 2083 2131 2090 1915 2020 2025 2026 2165 2093 2140 2200 2074 2090 2210 1910 2087 1951 2350 1994 2110 1875 2029 2159 2035 2130 2099 2125 1885 2088 2164

8.5. Данные о месячной зарплате рабочих в рублях одного из цехов приведены в таблице. Первоначально длину интервала при группировке взять равной 10 р.

221 233 180 215 235 260 201 234 211 237 200 254 245 207 243 251 210 245 250 223 223 265 255 239 195 250 245 227 231 256 244 213 257 243 225 242 254 238 241 261 248 275 224 273 243 282 235 264 280 248 251 212 247 198 232 233 230 244 225 234 240 237 235 258 241 233 232 263 300 243 223 231 253 261 233 231 220 245 255 219 262 251 250 215 228 237 229 221 244 284 252 245 265 232 248 221 242 226 247 239

8.6. Результаты испытания крепости в граммах нитей приведены в таблице. При первоначальной группировке длину интервала выбрать равной 20 г.

325 341 285 302 275 284 281 295 220 303 330 286 248 288 261 304 337 305 318 270 285 317 247 301 277 281 247 347 263 280 333 359 325 318 280 271 318 324 287 272 307 286 278 337 348 305 265 287 328 317 282 255 308 275 285 319 270 301 317 325 305 333 268 319 274 339 324 355 299 293 291 350 307 290 308 259 315 273 308 330 315 273 310 331 293 272 292 321 291 297 380 312 325 296 263 305 328 307 295 271

8.7. Данные о длине заготовок после их первоначальной обработки приведены в таблице в миллиметрах. При первоначальной группировке длину интервала взять равной 1 мм.

1151 1158 1152 1155 1160 1151 1154 1156 1160 1151 1153 1155 1154 1158 1151 1158 1151 1154 1153 1157 1154 1154 1152 1154 1155 1152 1153 1158 1157 1155 1155 1153 1157 1158 1156 1158 1159 1156 1159 1158 1160 1153 1152 1156 1151 1157 1154 1158 1158 1160 1154 1159 1153 1157 1158 1157 1159 1155 1159 1158 1153 1151 1152 1154 1160 1155 1151 1159 1155 1151 1159 1155 1158 1152 1153 1160 1158 1159 1152 1157 1158 1160 1157 1154 1155 1157 1160 1152 1159 1159 1153 1159 1154 1156 1160 1158 1157 1156 1151 1160

8.8. Ниже приведены данные обследования 100 предприятий области по росту выработки на одного рабочего (в % к предыдущему году). Длину интервала взять 10%.

80 100 91 102 103 115 122 118 119 120 104 82 107 111 102 112 115 116 114 115 106 92 109 117 99 98 118 108 107 112 108 102 108 101 103 105 101 106 106 115 109 106 104 107 106 114 116 119 114 123 101 108 105 107 91 104 102 94 103 130 105 109 106 93 105 102 106 108 96 109 108 102 101 95 102 101 100 107 98 108 109 103 111 96 103 104 105 95 99 104 107 104 100 91 115 106 116 101 102 103

8.9. С целью определения рациональной структуры размерного ассортимента детской одежды проведено выборочное обследование определенных половозрастных групп детского населения и получены следующие данные по величине обхвата груди в см. Длину интервала взять 4 см.

54 58 60 71 75 80 82 78 70 74 56 57 55 56 64 62 61 60 63 64 58 59 60 61 65 60 63 65 66 67 60 67 58 64 64 68 69 68 69 72 61 65 63 55 63 67 61 61 71 65 63 59 60 64 66 65 68 70 72 69 70 64 67 65 68 64 67 65 64 65 78 61 61 59 67 60 68 64 67 69 70 65 64 63 69 65 67 68 68 71 78 56 72 75 61 60 60 63 65 57 59 69 67 76 69 68 72 68 69 73

8.10. С целью определения рациональной структуры размерного ассортимента детской обуви проведено выборочное обследование определенных половозрастных групп детского населения и получены следующие данные по величине длины стопы в см. Длину интервала взять 5 мм.

170 182 174 195 196 200 200 196 198 171 183 176 202 180 182 185 199 186 203 188 184 186 179 189 178 176 177 189 183 187 179 184 182 187 181 182 182 187 197 184 184 177 196 182 186 188 181 186 197 204 182 204 205 176 184 189 198 196 181 189 186 183 203 184 183 184 185 187 183 205 188 189 204 187 186 187 198 198 187 188 187 184 203 185 181 187 184 199 186 186 190 182 197 181 188 189 179 188 184 183

Приложения

Таблица № I

Значения функции Лапласа

x	0,00	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09
0,0	0,000	0,0040	0,0080	0,0120	0,0160	0,0199	0,0239	0,0279	0,0319	0,0359
0,1	0,0398	0,0438	0,0478	0,0517	0,0557	0,0596	0,0636	0,0675	0,0714	0,0753
0,2	0,0793	0,0832	0,0871	0,0910	0,0948	0,0987	0,1026	0,1064	0,1103	0,1141
0,3	0,1179	0,1217	0,1255	0,1293	0,1331	0,1368	0,1406	0,1443	0,1480	0,1517
0,4	0,1554	0,1591	0,1628	0,1664	0,1700	0,1736	0,1772	0,1808	0,1844	0,1879
0,5	0,1915	0,1950	0,1985	0,2019	0,2054	0,2088	0,2123	0,2157	0,2190	0,2224
0,6	0,2257	0,2291	0,2324	0,2357	0,2389	0,2422	0,2454	0,2486	0,2517	0,2549
0,7	0,2580	0,2611	0,2642	0,2673	0,2703	0,2734	0,2764	0,2794	0,2823	0,2852
0,8	0,2881	0,2910	0,2939	0,2967	0,2995	0,3023	0,3051	0,3078	0,3106	0,3133
0,9	0,3159	0,3186	0,3212	0,3238	0,3264	0,3289	0,3315	0,3340	0,3365	0,3389
1,0	0,3413	0,3438	0,3461	0,3485	0,3508	0,3531	0,3554	0,3577	0,3599	0,3621
1,1	0,3643	0,3665	0,3686	0,3708	0,3729	0,3749	0,3770	0,3790	0,3810	0,3830
1,2	0,3849	0,3869	0,3888	0,3907	0,3925	0,3944	0,3962	0,3980	0,3997	0,4015
1,3	0,4032	0,4049	0,4066	0,4082	0,4099	0,4115	0,4131	0,4147	0,4162	0,4177
1,4	0,4192	0,4207	0,4222	0,4236	0,4251	0,4265	0,4279	0,4292	0,4306	0,4319
1,5	0,4332	0,4345	0,4357	0,4370	0,4382	0,4394	0,4406	0,4418	0,4429	0,4441
1,6	0,4452	0,4463	0,4474	0,4484	0,4495	0,4505	0,4515	0,4525	0,4535	0,4545
1,7	0,4554	0,4564	0,4573	0,4582	0,4591	0,4599	0,4608	0,4616	0,4625	0,4633

Продолжение таблицы № I

x	0,00	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09
1,8	0,4641	0,4649	0,4656	0,4664	0,4671	0,4678	0,4686	0,4693	0,4699	0,4706
1,9	0,4713	0,4719	0,4726	0,4732	0,4738	0,4744	0,4750	0,4756	0,4761	0,4767
2,0	0,4772	0,4778	0,4783	0,4788	0,4793	0,4798	0,4803	0,4808	0,4812	0,4817
2,1	0,4821	0,4826	0,4830	0,4834	0,4838	0,4842	0,4846	0,4850	0,4854	0,4857
2,2	0,4861	0,4864	0,4868	0,4871	0,4875	0,4878	0,4881	0,4884	0,4887	0,4890
2,3	0,4893	0,4896	0,4898	0,4901	0,4904	0,4906	0,4909	0,4911	0,4913	0,4916
2,4	0,4918	0,4920	0,4922	0,4925	0,4927	0,4929	0,4931	0,4932	0,4934	0,4936
2,5	0,4938	0,4940	0,4941	0,4943	0,4945	0,4946	0,4948	0,4949	0,4951	0,4952
2,6	0,4953	0,4955	0,4956	0,4957	0,4959	0,4960	0,4961	0,4962	0,4963	0,4964
2,7	0,4965	0,4966	0,4967	0,4968	0,4969	0,4970	0,4971	0,4972	0,4973	0,4974
2,8	0,4974	0,4975	0,4976	0,4977	0,4977	0,4978	0,4979	0,4979	0,4980	0,4981
2,9	0,4981	0,4982	0,4982	0,4982	0,4983	0,4984	0,4984	0,4985	0,4985	0,4986
3,0	0,4987	0,4987	0,4987	0,4988	0,4988	0,4989	0,4989	0,4989	0,4990	0,4990
3,1	0,4990	0,4991	0,4991	0,4991	0,4992	0,4992	0,4992	0,4992	0,4993	0,4993
3,2	0,4993	0,4993	0,4994	0,4994	0,4994	0,4994	0,4994	0,4995	0,4995	0,4995
3,3	0,4995	0,4995	0,4995	0,4996	0,4996	0,4996	0,4996	0,4996	0,4996	0,4997
3,4	0,4997	0,4997	0,4997	0,4997	0,4997	0,4997	0,4997	0,4997	0,4997	0,4998
3,5	0,4998	0,4998	0,4998	0,4998	0,4998	0,4998	0,4998	0,4998	0,4998	0,4998
3,6	0,4998	0,4999	0,4999	0,4999	0,4999	0,4999	0,4999	0,4999	0,4999	0,4999
3,7	0,4999	0,4999	0,4999	0,4999	0,4999	0,4999	0,4999	0,4999	0,4999	0,4999
3,8	0,4999	0,4999	0,4999	0,4999	0,4999	0,4999	0,4999	0,5	0,5	0,5

Таблица № II

Значения нормальной плотности распределения j(x)=

x											X
0,0	0,3989	0,3989	0,3989	0,3988	0,3986	0,3984	0,3982	0,3980	0,3977	0,3973	0,0
0,1	0,3970	0,3965	0,3961	0,3956	0,3951	0,3945	0,3939	0,3932	0,3925	0,3918	0,1
0,2	0,3910	0,3902	0,3864	0,3885	0,3876	0,3867	0,3857	0,3847	0,3836	0,3825	0,2
0,3	0,3814	0,3802	0,3790	0,3778	0,3765	0,3752	0,3739	0,3726	0,3712	0,3697	0,3
0,4	0,3683	0,3668	0,3653	0,3637	0,3621	0,3605	0,3589	0,3572	0,3555	0,3538	0,4
0,5	0,3521	0,3503	0,3485	0,3467	0,3448	0,3429	0,3410	0,3391	0,3372	0,3352	0,5
0,6	0,3332	0,3312	0,3292	0,3271	0,3251	0,3230	0,3209	0,3187	0,3166	0,3144	0,6
0,7	0,3123	0,3101	0,3079	0,3056	0,3034	0,3011	0,2989	0,2966	0,2943	0,2920	0,7
0,8	0,2897	0,2874	0,2850	0,2827	0,2803	0,2780	0,2757	0,2732	0,2709	0,2685	0,8
0,9	0,2661	0,2637	0,2613	0,2589	0,2565	0,2541	0,2516	0,2492	0,2468	0,2444	0,9
1,0	0,2420	0,2396	0,2371	0,2347	0,2323	0,2299	0,2275	0,2251	0,2227	0,2203	1,0
1,1	0,2179	0,2155	0,2131	0,2107	0,2083	0,2059	0,2036	0,2012	0,1989	0,1965	1,1
1,2	0,1942	0,1919	0,1876	0,1872	0,1849	0,1826	0,1804	0,1781	0,1758	0,1736	1,2
1,3	0,1714	0,1691	0,1669	0,1647	0,1626	0,1604	0,1582	0,1561	0,1539	0,1518	1,3
1,4	0,1497	0,1476	0,1456	0,1435	0,1415	0,1394	0,1374	0,1354	0,1334	0,1315	1,4
1,5	0,1295	0,1276	0,1257	0,1238	0,1219	0,1200	0,1182	0,1163	0,1145	0,1127	1,5
1,6	0,1109	0,1092	0,1074	0,1057	0,1040	0,1023	0,1006	0,0983	0,0973	0,0957	1,6
1,7	0,0940	0,0925	0,0909	0,0893	0,0878	0,0863	0,0848	0,0833	0,0818	0,0804	1,7
1,8	0,0790	0,0775	0,0761	0,0748	0,0734	0,0721	0,0707	0,0694	0,0681	0,0669	1,8
1,9	0,0656	0,0644	0,0632	0,0620	0,0608	0,0596	0,0584	0,0573	0,0562	0,0551	1,9
2,0	0,0540	0,0519	0,0519	0,0508	0,0498	0,0488	0,0478	0,0468	0,0459	0,0449	2,0

Продолжение таблицы № II

x											X
2,1	0,0440	0,0431	0,0422	0,0413	0,0404	0,0396	0,0388	0,0379	0,0371	0,0363	2,1
2,2	0,0355	0,0347	0,0339	0,0322	0,0325	0,0317	0,0310	0,0303	0,0297	0,0290	2,2
2,3	0,0283	0,0277	0,0270	0,0264	0,0258	0,0252	0,0246	0,0241	0,0235	0,0229	2,3
2,4	0,0224	0,0219	0,0213	0,0208	0,0203	0,0198	0,0194	0,0189	0,0184	0,0180	2,4
2,5	0,0175	0,0171	0,0167	0,0163	0,0158	0,0154	0,0151	0,0147	0,0143	0,0139	2,5
2,6	0,0136	0,0132	0,0129	0,0126	0,0122	0,0119	0,0116	0,0113	0,0110	0,0107	2,6
2,7	0,0104	0,0101	0,0099	0,0096	0,0093	0,0091	0,0088	0,0086	0,0084	0,0081	2,7
2,8	0,0079	0,0077	0,0075	0,0073	0,0071	0,0069	0,0067	0,0065	0,0063	0,0061	2,8
2,9	0,0060	0,0058	0,0056	0,0055	0,0053	0,0051	0,0050	0,0048	0,0047	0,0046	2,9
3,0	0,0044	0,0043	0,0042	0,0040	0,0039	0,0038	0,0037	0,0036	0,0035	0,0034	3,0
3,1	0,0033	0,0032	0,0031	0,0030	0,0029	0,0028	0,0027	0,0026	0,0025	0,0025	3,1
3,2	0,0024	0,0023	0,0022	0,0022	0,0021	0,0020	0,0020	0,0019	0,0018	0,0018	3,2
3,3	0,0017	0,0017	0,0016	0,0016	0,0015	0,0015	0,0015	0,0014	0,0013	0,0013	3,3
3,4	0,0012	0,0012	0,0012	0,0011	0,0011	0,0010	0,0010	0,0010	0,0009	0,0009	3,4
3,5	0,0009	0,0008	0,0008	0,0008	0,0007	0,0007	0,0007	0,0007	0,0007	0,0006	3,5
3,6	0,0006	0,0006	0,0006	0,0005	0,0005	0,0005	0,0005	0,0005	0,0005	0,0004	3,6
3,7	0,0004	0,0004	0,0004	0,0004	0,0004	0,0004	0,0003	0,0003	0,0003	0,0003	3,7
3,8	0,0003	0,0003	0,0003	0,0003	0,0003	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	3,8
3,9	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0001	0,0001	3,9

Таблица № III

Значения

(распределение Пуассона)

k	a=0,1	a=0,2	a=0,3	a=0,4	a=0,5	a=0,6	a=0,7	a=0,8	a=0,9
	0,9048	0,8187	0,7408	0,6703	0,6065	0,5488	0,4966	0,4493	0,4066
	0,0905	0,1638	0,2222	0,2681	0,3033	0,3293	0,3476	0,3595	0,3659
	0,0045	0,0164	0,0333	0,0536	0,0758	0,0988	0,1217	0,1438	0,1647
	0,0002	0,0011	0,0033	0,0072	0,0126	0,0198	0,0284	0,0383	0,0494
		0,0011	0,0002	0,0007	0,0016	0,0030	0,0050	0,0077	0,0111
				0,0001	0,0002	0,0004	0,0007	0,0012	0,0030
							0,0001	0,0002	0,0003

(продолжение)

k	a=1	a=2	a=3	a=4	a=5	a=6	a=7	a=8	a=9	a=10
0.	0,3679	0,1353	0,0498	0,0183	0,0067	0,0025	0,0009	0,0003	0,0012	0,0000
1.	0,3679	0,2707	0,1494	0,0733	0,0337	0,0149	0,0064	0,0027	0,0011	0,0005
2.	0,1839	0,2707	0,2240	0,1465	0,0842	0,0446	0,0223	0,0107	0,0049	0,0023
3.	0,0613	0,1804	0,2240	0,1954	0,1404	0,0892	0,0521	0,0286	0,0149	0,0076
4.	0,0153	0,0902	0,1680	0,1954	0,1755	0,1339	0,0912	0,0572	0,0337	0,0189
5.	0,0031	0,0361	0,1008	0,1563	0,1755	0,1606	0,1277	0,0916	0,0607	0,0378
6.	0,0005	0,0120	0,0504	0,1042	0,1462	0,1606	0,1490	0,1221	0,091	0,0631
7.	0,0001	0,0034	0,0216	0,0595	0,1044	0,1377	0,1490	0,1396	0,1171	0,0901
8.		0,0009	0,0081	0,0298	0,0653	0,1033	0,1304	0,1396	0,1317	0,1126

Продолжение таблицы № III

k	a=1	a=2	a=3	a=4	a=5	a=6	a=7	a=8	a=9	a=10
9.		0,0002	0,0027	0,0132	0,0363	0,0688	0,1014	0,1241	0,1317	0,1251
10.			0,0008	0,0053	0,0181	0,0413	0,0710	0,0993	0,1186	0,1251
11.			0,0002	0,0019	0,0082	0,0225	0,0452	0,0722	0,0970	0,1377
12.			0,0001	0,0006	0,0034	0,0126	0,0263	0,0481	0,0727	0,0948
13.				0,0002	0,0013	0,0052	0,0142	0,0296	0,0504	0,0729
14.				0,0001	0,0005	0,0022	0,0071	0,0169	0,0324	0,0521
15.					0,0002	0,0009	0,0033	0,0090	0,0194	0,0347
16.						0,0003	0,0014	0,0045	0,0109	0,0217
17.						0,0001	0,0006	0,0021	0,0058	0,0128
18.							0,0002	0,0009	0,0029	0,0071
19.							0,0001	0,0004	0,0014	0,0037
20.								0,0002	0,0006	0,0019

Таблица № IV

Квантили распределения Пирсона,