Численное представление модели

Для получения модели е реализации на ЭВМ необходимо дать ему численное представление, т.е. поставить значение всех числовых констант (детерминированных факторов) модели, различных эмпирических и статистических коэффициентов в выявленные зависимости.

Задание числовых констант при реализации модели на ЭВМ никаких принципиальных трудностей не представляет. Наибольшие осложнения встречаются при компактном представлении обширной статистической информации или информации, получаемой в результате специально поставленных экспериментов при решении задачи идентификации. Кроме того, информация, получаемая в результате обследования и экспериментирования с объектом, может быть представлена в графической форме. Графические зависимости элементарно переводятся в табличную форму путем замены их дискретным представление по отдельным точка графика. Но ни графическая, ни табличная форма задания информации неудобны при моделировании на ЭВМ по следующим причинам:

современные серийные универсальные ЭВМ не снабжены периферийными устройствами для чтения графиков;

при табличной форме записи информации нельзя непосредственно получать значения функции для промежуточных значений аргументов, не являющихся элементами таблицы;

таблицы занимают в памяти ЭВМ много места, в программе расчетов необходимы специальные операторы для обращения к тем или иным элементам таблиц.

В связи с этим зависимости, заданные графически или таблично, представляют в аналитической форме, т.е. в виде алгебраических уравнений. Например, в место таблиц частот для значений случайных величин используются аналитические выражения функций плотности законов распределения, которые с достаточной точностью представляют упомянутые частоты. Многие таблицы и графики заменяются интерполяционными полиномами. Такие замены, не влияя существенно на точность математического описания, позволяют сделать математическую модель достаточно удобной для дальнейшего исследования.

Основными методами преобразования табличных значений к аналитическому виду являются интерполяция, аппроксимация и экстраполяция.

Известно, что через любые n+1 точки можно всегда провести кривую, описываемую полиномом n-й степени, так, чтобы она прошла через каждую из заданных точек . Эта кривая называется интерполирующей, а процесс ее нахождения – интерполяцией. Математические методы нахождения интерполяционных уравнений рассматриваются в литературе по вычислительной математике. Однако в практике моделирования производственно-экономических объектов применяются интерполяционные полиномы невысоких степеней, в первую очередь для вычисления промежуточных значений отсутствующих в таблице. Простейшим случаем является линейная интерполяция, т.е. интерполяция функции f(x) линейной функцией по двум узлам: и .

Приращение линейной функции пропорционально приращению аргумента, т.е. если и , то

. (2.14)

Величина называется интерполяционной поправкой. Для получения более «гладкого» вида интерполирующей кривой при линейной интерполяции применяются формулы Ньютона для равноотстоящих и неравноотстоящих промежутков между значениями аргументов. При параболической и квадратичной интерполяции полином второй степени записывается по формуле Лагранжа. Программы интерполяции входят в стандартное математическое обеспечение ЭВМ.

Во многих случаях для функции, заданной таблично или графически, бывает целесообразно подобрать аналитическое выражение, приближенно ее отражающее. Такой процесс называется приближенной интерполяцией или аппроксимацией. Для приближения заданной функции f(x) выбирают аппроксимирующую функцию из классов математических функций, в наибольшей степени соответствующих специфике протекания исследуемого процесса.

Наибольшее распространение в практике экономических исследований получили следующие функции:

линейная ; (2.15)

степенная ; (2.16)

экспоненциальная ; (2.17)

показательная . (2.18)

Процесс подбора эмпирической формулы для установленной из опыта функциональной зависимости является итерационным и распадается на две части: выбирается вид формулы; определяются числовые значения параметров, для которых приближение к данной функции оказывается наилучшим.

Для решения первой задачи по экспериментальным данным строятся графики, по которым и выбирается вид аппроксимирующей зависимости. Для решения второй задачи существует ряд методов приближения эмпирической кривой к экспериментальной, таких как равномерное приближение, приближение по методу наименьших квадратов, приближение в отдельных точках.

Особую роль вопросы экономного представления табличной информации в аналитическом виде играют при обработке статистической информации, в связи с чем в рамках математической статистики получили развитие разделы однофакторного и многофакторного регрессионного анализа. Программы обработки статистических данных методами регрессионного анализа также представлены в стандартном математическом обеспечении ЭВМ.

Экстраполяция – это продолжение интерполяции и аппроксимации за пределы диапазона статистических данных. Если исследуемый фактор – время, то это прогнозирование в будущее. Предположение, что действие различных факторов, обусловливающих явление в прошлом, остается неизменным в течение будущего периода или будет меняться в соответствии с расчетной кривой, позволяет прогнозировать это явление в будущем. Различают экстраполяцию формальную и прогнозную.

Формальная экстраполяция сводится к математически оптимальной подгонке исходного статистического ряда к какой либо аппроксимирующей функции. Единственным критерием оптимальности выступает близость точек ряда к аппроксимирующей функции, и в этом смысле она ничем не отличается от аппроксимации. С точки зрения задач прогнозирования формальная экстраполяция не всегда является удовлетворительной, т.к. она не увязывает выявленную тенденцию с гипотезами о развитии процесса, сделанными на основе логического анализа и существа процесса, и, следовательно, не всегда дает учесть пределы развития процесса.

Прогнозная экстраполяция строится на основе математического анализа исходного ряда с учетом логики и существа развития объекта, его физики и абсолютных пределов.

Формальная математическая экстраполяция входит в прогнозную как одна из ее частей. Этапы прогнозной экстраполяции: предварительная обработка исходного ряда; выбор типа аппроксимирующей функции; расчет параметров аппроксимирующей функции; экстраполяционная оценка точности и достоверности результатов.