Математические раздумья об истории
Моделирование методом Монте-Карло как метафора к пониманию последовательности случайных исторических событий. Случайности и искусственная история. Возраст -это красота, но новое и молодое, почти всегда, токсично. Отправьте вашего профессора истории в начальный класс по теории статистического анализа.
Математика европлейбоя
(Стереотип чистого математика представляет анемичного человека с косматой бородой, грязными и не стриженными ногтями, тихо трудящегося за спартанским и беспорядочным столом. С узкими плечами и выпирающим животиком, он сидит в неряшливом офисе, полностью поглощенный своей работой, не обращающий внимания на окружающую его среду. Он вырос при коммунистическом режиме и говорит по-английски со строгим и хриплым восточноевропейским акцентом. Когда он ест, крошки еды застревают в его бороде. Со временем его все больше поглощает предмет его чистых теорем, достигающий новых уровней всё увеличивающейся абстракции. Американская публика познакомилась недавно с одним из таких характеров - Унабомбером, бородатым математиком-отшельником, который жил в хижине и взялся за убийства людей, продвигавших современные технологии. Ни один журналист не был способен даже приблизительно описать предмет его диссертации - комплексные границы, поскольку это не имеет никакого понятного эквивалента - комплексное число, является полностью абстрактным и воображаемым числом, квадратный корень из минус единицы, объект, который не имеет аналогов вне мира математики.
Название Монте-Карло вызывает в памяти образ загорелого учтивого человека, этакого европлэйбоя, входящего в казино с дуновением средиземноморского бриза. Он - способный лыжник и теннисист, но также не посрамит себя в шахматах и бридже. Он управляет серым спортивным автомобилем, одет в хорошо выглаженный итальянский костюм ручной работы и гладко говорит о мирском и реальном, то есть о том, что журналист может легко описывать публике в сжатом изложении. В казино он проницательно считает карты, определяя шансы и держит пари в заученной манере, пока его мозг производит точные вычисления оптимального размера ставки. Он мог бы быть более умным потерянным братом Джеймса Бонда.
Теперь, когда я думаю о "математике Монте-Карло", я думаю о счастливой комбинации двух факторов: реализма человека Монте-Карло без мелочности, объединенного с интуицией математика без чрезмерной абстракции. На самом деле, эта отрасль математики имеет огромное практическое использование и не столь суховата, как это обычно думается. Я увлекся ею в ту минуту, когда стал трейдером. И она формировала мое мышление в большинстве вопросов, связанных со случайностью. Большинство примеров, используемых в книге, было создано с помощью моего генератора Монте-Карло, который я представляю в этой главе. Но в гораздо большей степени это скорее способ мышления, чем вычислительный метод. Математика - это, в принципе, инструмент больше для мышления, чем для вычисления.
Инструменты
Понятие альтернативных историй, обсуждаемых в предыдущей главе, может быть значительно расширено и подвергнуто различной технической обработке. Что приводит нас к инструментам, используемым в моей профессии, чтобы играть с вероятностью. Позже я их обозначу. Методы Монте-Карло, коротко говоря, состоят в создании искусственной истории, используя следующие концепции.
Во-первых, это траектория выборки. Невидимые истории имеют научное название — альтернативные выборочные траектории, которое заимствовано из области вероятностной математики, называемой стохастическим процессом. Понятие траектории, в противоположность результату, указывает на то, что это не простой анализ сценария в стиле МВА, но экспертиза последовательности сценариев в течение времени. Мы не просто интересуемся тем местом, где птичка может оказаться завтра ночью, но интересуемся всеми различными местами, которые она может посетить в течение интервала времени. Мы не просто интересуемся тем, сколько будет стоить капитал инвестора, скажем, через год, а скорее количеством сердечных приступов, которые он может испытывать в течение этого периода. Слово выборочная подчеркивает, что мы видим только одну реализацию среди множества возможных. Очевидно, что выборочная траектория может быть либо детерминированной, либо случайной.
Случайная выборочная траектория, также называемая случайным пробегом, является математическим названием для последовательности виртуальных исторических событий, начинающихся с данного момента и заканчивающихся в другой, и появление которых соответствует некоторому уровню неуверенности. Однако, слово случайный не должно путать с равновероятным (то есть имеющим одинаковую вероятность), поскольку некоторые результаты дадут более высокую вероятность, чем другие. Примером случайной выборочной траектории может быть температура тела вашего кузена в течение периода его болезни тифозной лихорадкой, измеряемой ежечасно. Также это может быть моделирование цены вашей любимой акции, измеренной ежедневно, на закрытии рынка, в течение, скажем, одного года. Начиная со 100$, в одном сценарии цена может заканчиваться 20$, достигнув, однако, максимума в220$, а в другом - она может заканчиваться в точке 145$, повидав минимум в 10$. Другой пример - эволюция вашего состояния в течение вечера в казино. Вы начинаете с 1000$ в кармане и делаете измерения каждые 15 минут. В одной выборочной траектории вы, в полночь, имеете 2200$, а в другой - вы едва наскребаете 20$ на такси.
Стохастические процессы относятся к динамике событий, разворачивающихся во времени. Стохастический -причудливое греческое название для случайного. Эта отрасль теории вероятности интересуется изучением развития последовательных случайных событий - можно даже называть это математикой истории. Ключ к процессу в том, что он заключает в себе время.
Что такое генератор Монте-Карло? Вообразите, что вы можете смоделировать совершенное колесо рулетки на вашем чердаке без того, чтобы обращаться за помощью к плотнику. Компьютерные программы могут моделировать что угодно. Они даже лучше (и дешевле), чем колесо рулетки, сделанное плотником, которое может "любить" какой-либо номер больше, чем другие, вследствие возможной неровности в своей конструкции или пола вашего чердака. Такая неровность называется уклоном.
Моделирование методом Монте-Карло больше всего похоже на игрушку. Можно производить тысячи, возможно, миллионы случайных выборочных траекторий, и смотреть на превалирующие характеристики их некоторых особенностей. Компьютер -незаменимый инструмент в таких занятиях. Очаровательная ссылка на Монте-Карло подчеркивает метафору моделирования случайных событий в манере виртуального казино. Один набор условий, которые, как считается, преобладают в действительности, запускает коллекцию моделей возможных событий. Даже не имея математической подготовки, мы можем применить моделирование методом Монте-Карло для 18-летнего христианского ливанца, последовательно играющего в Русскую рулетку на данную сумму, и видеть, сколько из этих попыток кончаются обогащением, или сколько времени требуется, в среднем, для того чтобы увидеть его некролог. Мы можем заменить барабан револьвера, чтобы он содержал 500 пулеприемников вместо шести, что, очевидно, уменьшило бы вероятность смерти, и посмотреть результаты.
Методы моделирования Монте-Карло стали впервые применяться в военной физике в лаборатории Лос-Аламоса во время подготовки бомбы. Они стали популярными в финансовой математике в 1980-ых, особенно в теориях случайных блужданий цены актива. Ясно, что для примера русской рулетки не требуется такого мощного аппарата, но многие проблемы, особенно ситуации сходства с реальной жизнью, нуждаются с силе генератора Монте-Карло.
Математика Монте-Карло
Это - факт, что "истинные" математики не любят методы Монте-Карло. Они полагают, что такие методы крадут у нас изящество и элегантность математики. Они называют это "животной силой", поскольку мы можем заменить большую часть математических знаний симулятором Монте-Карло (и другими вычислительными уловками). Например, без формального знания геометрии можно вычислять таинственное, почти мистическое число ?1. Как? Просто вписав круг внутрь квадрата и "стреляя" случайными пулями в получившуюся картину. При этом надо предположить равные вероятности для попадания в любую точку картины (что называется равномерным распределением). Отношение пуль внутри круга к количеству пуль внутри и вне круга, даст значение мистического р!, с почти бесконечной точностью. Ясно, что это - не эффективное использование компьютера, поскольку р! может быть вычислено аналитически, то есть в математической форме, но метод может давать некоторым пользователям большее понимание предмета, чем строки уравнений. Умственные способности и интуиция некоторых людей ориентированы таким способом, что они более восприимчивы к получению знаний именно в такой манере (я считаю себя одним из них). Компьютер возможно, не естественен для нашего человеческого мозга, как, впрочем, и математика.
Я - не "урожденный" математик, то есть я говорю на языке математики не как на родном языке, а со следами иностранного акцента. Сами по себе, математические изыски меня не интересуют, только их применение, в то время, как математик интересовался бы улучшением математики (через теоремы и доказательства). Я оказался неспособным к концентрации на расшифровке отдельного уравнения, если я не мотивирован реальной проблемой (и толикой жадности). Поэтому большая часть из того, что я знаю, пришла от торговли производными инструментами - опционы подтолкнули меня, к изучению вероятностной математики. Многие маниакальные игроки имели бы посредственные знания, если бы не приобрели замечательные навыки подсчета карт, благодаря своей страстной жадности.
Другую аналогию можно провести с грамматикой, которая часто более понятна и менее скучна, чем математика. Есть те, кто заинтересован грамматикой для пользы грамматики, и те, кто заинтересован в отсутствии ошибок при письме. Это как с "квантами" - подобно физикам, мы больше заинтересованы в использовании математического инструмента, чем в самом инструменте непосредственно. Математиками рождаются, но никогда не делаются. Физики и кванты также. Я не забочусь об "элегантности" и "качестве" математики, которую я использую, пока я могу получить правильный вывод. Я обращаюсь к помощи методов Монте-Карло всякий раз, когда это возможно. Они могут сделать работу и они, также, гораздо более обучающие, что позволяет мне использовать их в этой книге в качестве примеров.
Действительно, вероятность - это интроспективная область вопросов, поскольку она затрагивает более, чем одну науку, в особенности мать всех наук. Невозможно оценить качество знания, которое мы накапливаем без того, чтобы допустить долю случайности в манере, какой оно получено и нейтрализации аргументов в пользу случайного совпадения, которое могло просочиться при его строительстве. В науке, вероятность и информация рассматриваются в одинаковой манере. Буквально каждый большой мыслитель интересовался этим и большинство из них одержимо. Два самых больших ума, по моему мнению, Эйнштейн и Кейнс, оба начали свои интеллектуальные путешествия с этого. Эйнштейн написал свою главную работу в 1905, в которой он, почти первым, исследовал в вероятностных терминах последовательность случайных событий, а именно, эволюцию задержанных частиц в стационарной жидкости. Его работа по теории броуновского движения может использоваться в качестве основы для теорий случайных блужданий, используемых в финансовом моделировании. Что касается Кейнса, то для образованного человека, он - не политический экономист, на которого любят указывать, одетые в твид, левые, но автор авторитетного, интроспективного и мощного Трактата о вероятности. Прежде, чем окунуться в темную область политической экономии, Кейнс был вероятностником. У него были и другие интересные признаки, (он "взорвал" торговлю на своем счету после достижения чрезмерного богатства - понимание людьми вероятности, не переходит в их поведение).
Читатель может предположить, что следующим шагом после такого вероятностного самоанализа, должно стать вовлечение философии, в особенности раздела философии, занимающегося знанием, как таковым, и который называется эпистемологией, или методологией, или философией науки, которую популяризируют такие люди, как Карл Поппер и Джордж Сорос. Мы пока не будем затрагивать эту тему до поры, до времени.
Развлечение на моем чердаке
Создание истории
В начале 1990-ых, подобно многим моим друзьям по количественным финансам, я увлекся самостоятельным конструированием различных генераторов Монте-Карло, волнуясь при этом, от мысли, что я создаю историю, как демиург. Генерация виртуальных историй и наблюдение отклонений (дисперсии) между различными результатами может быть очень волнующим. Такая дисперсия показывает степень сопротивления случайности. Здесь я убеждаюсь, что был чрезвычайно удачлив в своем выборе карьеры: один из привлекательных аспектов моей профессии количественного опционного трейдера в том, что 95 % моего дня остаются свободными, чтобы думать, читать и исследовать (или заниматься в тренажерном зале, на лыжных спусках, или, более эффективно, на скамье в парке). У меня есть также хорошо оборудованный чердак для работы.
Достижения компьютерной революции для нас заключались не в наводнении нескончаемыми сообщениями электронной почты и не в доступе к комнатам для дискуссий; Для нас, эти достижения заключались во внезапном появлении быстрых процессоров, способных к генерации миллиона выборочных траекторий в минуту. Вспомните, что я никогда не рассматривал себя иначе, чем не восторженным решателем уравнений и редко проявлял мастерство в этом вопросе, будучи более приспособленным к составлению уравнений, чем к их решению. Внезапно, мой инструмент позволил мне решать наиболее тяжелые из уравнений с минимальными усилиями. Лишь немногие решения остались вне досягаемости.
Толпа Зорглубсов на чердаке
Мой генератор Монте-Карло привел меня к нескольким интересным приключениям. В то время как мои коллеги были погружены в новости, объявления центрального банка, сообщения о доходах, экономические прогнозы, спортивные результаты и, не в последнюю очередь, офисные интриги, я начал играть с генератором в областях, пограничных с финансовой вероятностью. Естественной областью исследований такого рода для любителя будет эволюционная биология - в этом случае, привлекательны универсальность ее выводов и ее применения на финансовых рынках. Я начал моделировать популяции быстро мутирующих животных по имени зорглубсы в зависимости от климатических изменений и пришел к самым неожиданным заключениям -некоторые из этих результатов будут обсуждаться в Главе 5. Моя цель, как чистого любителя, убегающего от скуки деловой жизни, была в том, чтобы просто развить интуицию для таких событий -вид любительской интуиции, которая далеко отстоит от чрезмерно детальной искушенности профессионального исследователя. Я также играл с молекулярной биологией, генерируя случайные появления раковых клеток, и стал свидетелем некоторых удивительных аспектов их развития. Естественно, аналогом популяций зорглубсов должны были стать модели популяций "идиотичных быков", "стремительных медведей" и "осторожных" трейдеров при различных рыночных режимах, скажем так, при бумах и крахах и исследование их краткосрочных и долгосрочных перспектив. При таких исходных данных, трейдеры "идиотичных быков", которые богатеют от повышения, использовали бы доходы, чтобы покупать большее количество активов, поднимая цены выше, до их разгрома, в конце концов. Медвежьи трейдеры, тем не менее, редко переживали крах при буме на рынке. Мои модели показывали, что почти никто, в действительности, в конечном счете не делает деньги; медведей прихлопывают словно мух при повышении, а быков, в конечном счете, вырезают с исчезновением бумажной прибыли, когда музыка останавливается. Но было одно исключение; некоторые из тех, кто торговал опционами (я назвал их, покупатели опциона) имели замечательную остающуюся мощь, и я хотел быть одним из них. Как им это удалось? Потому что они могли покупать страховку от "взрыва"; они могли спокойно спать по ночам, благодаря знанию, что если их карьере что-то и угрожает, то это не было бы следствием результата отдельного дня.
Если тон этой книги кажется склонным к культуре дарвинизма и эволюционного мышления, то это происходит не от формального обучения естествознанию, но от эволюционного способа мышления, преподаваемого моими симуляторами Монте-Карло.
Должен сказать, что я перерос желание производить случайные выборочные траектории, каждый раз, когда я хочу исследовать какую-либо идею - но благодаря игре с генератором Монте-Карло в течение ряда лет, я больше не могу визуализировать реализованный результат без ссылок на нереализованный. Я называю это "подводить итог под историями", позаимствовав выражение у колоритного физика Ричарда Фейнмана, который применил такие методы в исследовании динамики частиц.
Использование метода Монте-Карло для создания и переделывания истории, напомнило мне об экспериментальных новеллах (так называемые новые новеллы) таких авторов как Алаин Роббе-Гриллет, популярный в 1960-ых и 1970-ые. Там, одна и та же глава была написана и переписана автором, который каждый раз изменял какие-то места, подобно новой выборочной траектории. Так или иначе, автор становился освобожденным от прошлой ситуации, которую он сам же помогал создавать и позволял себе изменять линию повествования задним числом.
Отрицание истории
Еще одна мысль об истории, замеченная с высоты метода Монте-Карло. Мудрость таких классических историй, как ис.тория Солона, подталкивает меня к тому, чтобы провести даже большее количество времени в компании классических историков, даже если история, подобно предупреждению Солона, извлекла выгоду из налета времени. Однако, это идет против природы: изучение истории, натурально, ничему нас, людей, не учит - факт, который виден невооруженным глазом в бесконечных повторениях одинаково развивающихся бумов и крахов на современных финансовых рынках. Под историями я понимаю события, анекдоты, если угодно, но не историческое теоретизирование, с историзмом большого масштаба, который стремится интерпретировать события в соответствии с теориями, основанными при раскрытии некоторых законов развития Истории - типа гегельянства или псевдонаучного историзма, ведущих к таким заключениям, как Конец Истории (псевдонаучного, потому что он вытягивает теории из прошлых событий без того, чтобы учесть факт, что такие комбинации событий могли бы явиться результатом случайности; псевдонаучного, главным образом, потому, что нет никакого способа проверить требования теории в управляемом эксперименте). Это просто уровень моей желательной чувствительности, воздействующей на способ, которым я желал бы думать в отношении прошлых событий, будучи способным лучше заимствовать идеи других и усиливать их, исправить умственный дефект, который, кажется, блокирует мою способность учиться у других. Это - уважение к старшим, которое я хотел бы развивать, укрепляя благоговение, которое я инстинктивно чувствую при виде людей с седыми волосами, но которое разрушилось в моей жизни трейдера, где возраст и успех несколько разведены. На самом деле, у меня есть два пути изучения уроков истории: из прошлого, читая старших, и из будущего, благодаря моей игрушке Монте-Карло.
Горячая печь
Как я упомянул выше, учиться у истории - неестественно для нас. Мы имеем достаточно предпосылок, чтобы полагать, что наше генетическое наследие, как человека прямоходящего не одобряет передачи опыта. Банально, но дети учатся только на своих собственных ошибках - они прекратят дотрагиваться до горячей печи только, когда самостоятельно обожгутся; никакие возможные предупреждения других не ведут к развитию самой маленькой формы осторожности. Взрослые также страдают от такого состояния. Этот пункт был исследован пионерами поведенческой экономики, Дэниелом Канеманом и Амосом Тверски относительно выбора людей, который те делают при определении рискованных курсов лечения - я сам видел это в моей чрезвычайной небрежности в области обнаружения и предотвращения (то есть я отказываюсь извлекать свои риски из вероятностей, вычисленных для других, чувствуя, что я являюсь несколько особенным) чрезвычайной агрессивности в выборе медицинских условий, что не соответствует рациональному поведению при неуверенности. Это врожденное отрицание опыта других не ограничено детьми или людьми, подобными мне; это затрагивает в широком масштабе, инвесторов и людей, принимающих деловые решения.
Все мои коллеги, кого я знал, как отрицающих историю, эффектно "взорвались" - и я должен еще поискать такого человека, кто не "взорвался". Но истинно интересный аспект находится в замечательном сходстве их подходов. Я заметил множество аналогий между теми, кто "взорвались" в крушении рынка акций в 1987, и теми, кто "взорвались" в плавильном котле Японии в 1990, и теми, кто "взорвались" в разгроме рынка облигаций в 1994, и теми, кто "взорвались" в России в 1998, и теми, кто "взорвался" покупая Макашовские акции в 2000. Они все говорили в том смысле, что "времена различались" или, что "их рынок был отличен" и предлагали, по-видимому, хорошо построенные интеллектуальные аргументы (экономической природы), чтобы доказать свои постулаты; они были неспособны принять, что существовал опыт других, в открытом, свободном доступе, для всех, в виде детализирующих крахи книг, в каждом книжном магазине. Кроме этих, обобщенных системных "взрывов", я видел сотни опционных трейдеров, вынужденных оставить бизнес после "взрыва" самым глупым образом, несмотря на предупреждения ветеранов, подобно ребенку, трогающему печь. Это, опять напоминает мое собственное личное отношение к обнаружению и предотвращению разнообразных болезней, которыми я могу заболеть. Каждый человек верит в собственную исключительность - вопрос, который усиливает шок "почему я?" после установки диагноза.
Мы можем обсуждать эту проблему под различными углами. Эксперты называют проявление такого отрицания истории историческим детерминизмом. В двух словах - мы думаем, что мы бы знали, когда делается история; мы полагаем, что люди, которые, скажем, были свидетелями крушения рынка акций в 1929-ом знали тогда, что они переживают острое историческое событие и что, если бы такие события повторились, они знали бы о таких фактах. Жизнь для нас, напоминает приключенческий кинофильм, когда мы заранее знаем, что кое-что большое собирается случиться. Трудно представить, что люди, будучи свидетелями истории, не понимают в то время, важности происходящего момента. Так или иначе, все уважение, которое мы можем испытывать к истории, не транслируется в способ нашей обработки настоящего.
Мой Солон
У меня есть другая причина серьезно воспринимать предупреждение Солона. Я возвращаюсь назад, к той же самой полосе земли в Восточном Средиземноморье, где имела место история. Мои предки испытали моменты чрезвычайного богатства и смущающей бедности в течение одного поколения, с резкими переменами, которые людям вокруг меня, имеющим в памяти лишь устойчивое и линейное улучшение, кажется невозможным (по крайней мере, во время писания книги). Окружающие меня либо (пока) не испытывали проблем в семье (за исключением Великой Депрессии), либо, скорее всего, не имеют достаточной исторической памяти. Но для людей моего сорта, Восточно-средиземноморских православных греков и завоеванных граждан Восточного Рима , все обстоит так, как будто наша душа была сшита с воспоминанием о том грустно апрельском дне приблизительно 500 лет назад, когда Константинополь, завоеванный турками, выпал из истории, оставив нас, разбросанные частицы мертвой империи, преуспевающим меньшинством в исламском мире - но с чрезвычайно хрупким богатством. Более того, я ярко помню образ моего собственного достойного деда, бывшего представителя премьер-министра и сына представителя премьер-министра, (кого я никогда не видел без костюма), живущим в неописуемой квартире в Афинах, потерявшим свое состояние в течение Ливанской гражданской войны. Кстати, испытав разрушительные последствия войны, я нахожу недостойное обнищание гораздо более нежелательным, чем физическую опасность (так или иначе, смерть в полном достоинстве кажется мне более предпочтительной, чем жизнь дворника, что является одной из причин, по которой я не люблю финансовые риски гораздо больше, чем физические). Я уверен, что Крез больше волновался о потере своего королевства, чем об опасности для его жизни.
Существует важный и нетривиальный аспект исторического мышления, возможно более применимый к финансовым рынкам, чем что-либо еще: в отличие от многих "твердых" наук, история не может экспериментировать. Но, так или иначе, в целом, история достаточно сильна, чтобы предоставить, со временем, в средне- или долгосрочной перспективе, большинство возможных сценариев, хоронящих плохого парня. Как часто говорят на рынке, плохие сделки догоняют вас. Вероятностные математики дают этому причудливое название эргодичность. Это означает, в грубом приближении, что (при некоторых условиях), очень долгие выборочные траектории становятся похожими друг на друга. Свойства очень, очень длинной выборочной траектории были бы подобны усредненным характеристикам Монте-Карло более коротких траекторий. Если бы дворник из Главы 1, который выиграл лотерею, жил бы 1000 лет, то не следует ожидать, что он выиграет большее количество лотерей. Те, кто был неудачлив в жизни, несмотря на свои навыки и умения, в конечном счете, поднимутся. Удачливый дурак мог бы извлечь выгоду из некоторой удачи в жизни, но при более длинном пробеге он медленно сходился бы к состоянию менее удачливого идиота. Каждый возвратился бы к своим долгосрочным характеристикам.