Деформационная теория при сложном нагружении

Из постулата симметрии следует, что при простом нагружении происходит и простое деформирование с тем же направляющим девиатором

, . (2.1)

Поскольку любые траектории любых двух простых нагружений всегда подобны, то и траектории соответствующих деформаций в L₅ также подобны. Следовательно, зависимости при всех простых нагружениях (растяжение, сжатие, сдвиг, растяжение со сдвигом) с одинаковой историей или одинаковы. Эти соображения с учетом ряда других лежат в основе деформационной теории.

Для склерономного материала с оговоркой на монотонность нагружения, можно утверждать, что при простом нагружении зависимость одинакова и не зависит от направления направляющего девиатора. Если снять требование простоты нагружения и, таким образом, исключить из выражения (2.1) требование постоянства направляющих девиаторов, то получим деформационную теорию (теорию малых упругопластических деформаций), включающей в себя три основных соотношения:

, , . (2.2)

Здесь в первом соотношении постулируется линейная связь шаровых частей тензоров напряжений и деформаций, что подтверждается экспериментами. В третьем соотношении постулируется равенство направляющих девиаторов, наблюдаемое в изотропных средах, строго говоря, лишь при простых нагружениях. Второе соотношение является основным допущением, превращающим деформационную теорию в теорию нелинейной упругости, согласно которой свойства изотропных неупругих материалов, которые обнаруживаются при монотонном простом нагружении, абсолютизируются и предполагаются справедливыми при всех обстоятельствах. Все это позволяет получить весьма простую модель, сыгравшую, поэтому, важную роль в реологии.

Функцию, выражающую связь интенсивностей напряжений и деформаций при заданной температуре T

,

называют обобщенной диаграммой деформирования (единой кривой деформирования в интенсивностях). Для ее построения можно использовать аппроксимацию (2.9), где модуль упрочнения m₀ определяют из выражения (2.7). При пропорциональном нагружении изотропных материалов такая аппроксимация хорошо подтверждается экспериментами. Для удобства также можно использовать более простую зависимость (2.1).

Девиатор деформации представляет собой сумму двух слагаемых: упругого и неупругого

.

С учетом этого выражения, а также принципа симметрии, следующего из постулата изотропии Ильюшина, траектория деформаций в девиаторном пространстве L₅ подобна не только траектории напряжений, но и траектории ее неупругой составляющей

,

что означает равенство направляющих девиаторов

и обусловливает связь соответствующих интенсивностей (рис.2.3б)

.

Требование устойчивости материала в деформационной теории сводится к ограничениям на значения упругих характеристик, наследуемым из теории упругости, и к требованию положительности производной функции . Иногда диаграмма деформирования принимается в виде диаграммы идеально пластического материала (например, при одноосном растяжении участок упругого деформирования сменяется участком предельного состояния , на котором производная равна нулю). Это предельный случай границы между устойчивым и неустойчивым материалом, при котором возможно лишь кинематическое нагружение.

При деформировании пластичных материалов пластические деформации, как правило, существенно больше упругих, поэтому принимается, что при пластическом деформировании изменение объема пренебрежительно мало. На основании этого по­ложения вводится гипотеза о несжимаемости материала.

Пластическая деформация

Получив кривую деформирования при начальном нагружении образцов материала, нельзя обнаружить, является ли материал упругим или нет. Свойство пластичности обнаруживается только после разгрузки на основе наличия остаточной деформации (рис.4.3). Процесс разгрузки, практически отвечает линейной функции

, (3.1)

Рис.3.1

где модуль E почти тот же, что и модуль Юнга в пределах упругости, когда напряжения достаточно малы. Поэтому разность, стоящую в скобках выражения (3.1), стали называть упругой деформацией

. (3.2)

Далее мы будем использовать это выражение независимо от экспериментальных наблюдений (в частности, разгрузку образца можно выполнить не всегда). Заметим, что название «упругая деформация» чисто условно, так как применено к неупругому телу; правильнее было бы назвать его «линейной» деформацией, поскольку это величина, линейно связанная с напряжением (подобно деформации линейно упругого тела). Модуль упругости – это константа материала, поэтому величина (s_z /E) может рассматриваться как безразмерное напряжение, масштабированное с помощью постоянной величины E.

Разность называют пластической, или неупругой деформацией; в неизотермическом случае

. (3.3)

Это тоже условное название; правильнее было бы назвать эту величину нелинейной деформацией, отличающей полную деформацию от линейной. Заметим, что выражение или

(3.4)

(в неизотермическом случае) иногда называют физическим уравнением, заменяющим закон Гука. В действительности это просто следствие двух введенных определений для упругой и неупругой деформации, не имеющих отношения к свойствам материала. Несмотря на такую «нефизичность», разделение полной деформации на слагаемые оказывается удобным. В частности, для ситуации на рис.3.1 можно констатировать, что при нагружении пластическая деформация растет, а в процессе разгрузки не изменяется.

При исследовании деформационных свойств материалов задают напряжение (или деформацию) и следят за изменением деформации (или напряжения); свойства материала при этом не зависят от того, какое производится нагружение: мягкое или жесткое. В любом случае, опираясь на линеаризованное физическое уравнение (3.4), мы следим в действительности за эволюцией пластической деформации. Все модели неупругих материала, так или иначе, определяют закон для величины . Более того, и упругое тело можно определить таким законом: например, физическое уравнение отвечает закону Гука. Закон или отвечает нелинейно упругому телу, поскольку означает однозначную связь между напряжениями и деформациями.

При сложном напряженно-деформированном состоянии мерой упругой деформации является двухвалентный тензор

, (3.5)

неупругая деформация определяется следующим образом

, (3.6)

а физическое уравнение имеет вид

. (3.7)