Лекция 8.определение перемещений в арках и фермах

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В АРКАХ

Пример. Найти прогиб ключевого сечения арки, изображенной на рис.8.1 при:

лекция 8.определение перемещений в арках и фермах - student2.ru

лекция 8.определение перемещений в арках и фермах - student2.ru Рис.8.1. К определению перемещений в арке

Очертание оси арки — окружность. Радиус R окружности,по которой очерчена арка определяется по формуле:

лекция 8.определение перемещений в арках и фермах - student2.ru ,

Уравнение оси:

лекция 8.определение перемещений в арках и фермах - student2.ru ;

Функции угла наклона касательной:

лекция 8.определение перемещений в арках и фермах - student2.ru .

Решение. Прогиб найдем по формуле Мора с учетом только изгибающих моментов. Эта формула в данном случае принимает вид:

лекция 8.определение перемещений в арках и фермах - student2.ru

гдеds - элемент дуги арки. Остальные величины в формуле Мора имеют прежний смысл. При постоянной изгибной жесткости формула Мора приводится к виду:

лекция 8.определение перемещений в арках и фермах - student2.ru

Если учесть, что лекция 8.определение перемещений в арках и фермах - student2.ru (см.рис.8.1), формула принимает вид:

лекция 8.определение перемещений в арках и фермах - student2.ru

Особенность расчета арок заключается в том, что обе эпюры моментов — и грузовая, и единичная, — являются криволинейными. Поэтому способ Верещагина вычисления интеграла лекция 8.определение перемещений в арках и фермах - student2.ru оказывается неприемлемым, а из численных способов предпочтительнее использовать способ трапеций. Способ трапеций заключается в том, что интервал интегрирования разбивается на участки, желательно одинаковой длины, и на каждом участке площадь подынтегральной кривой находится как площадь трапеции. Желательно, чтобы на каждом участке подынтегральная кривая была гладкой.

Разобьем пролет арки на восемь равных частей длиной лекция 8.определение перемещений в арках и фермах - student2.ru Ввиду того, что на участках 2-4 и 6-8 характер нагрузки меняется, каждый из этих участков разобьем на две части, как показано на рис.8.1. Границы участков пронумеруем цифрами от 0 до 10. Номера участков будем определять по номеру правого на данном участке сечения. При использовании способа трапеций вычисления нужно вести по формуле:

лекция 8.определение перемещений в арках и фермах - student2.ru

Изгибающие моменты от нагрузкибудем искать по формуле:

лекция 8.определение перемещений в арках и фермах - student2.ru (см. лекцию №3),

где лекция 8.определение перемещений в арках и фермах - student2.ru балочные изгибающие моменты и распор арки от нагрузки. Аналогичным образом могут быть найдены изгибающие моменты от единичной силы, т.е.:

лекция 8.определение перемещений в арках и фермах - student2.ru

где лекция 8.определение перемещений в арках и фермах - student2.ru балочные моменты и распор арки от единичной силы.

В свою очередь, для определения балочных значений необходимо предварительно найти вертикальные опорные реакции. Для рассматриваемой арки вертикальные реакции от нагрузки были найдены в примере 1 из лекции 3. Они равны лекция 8.определение перемещений в арках и фермах - student2.ru , лекция 8.определение перемещений в арках и фермах - student2.ru лекция 8.определение перемещений в арках и фермах - student2.ru

Чтобы найти реакции от единичной силы, нагрузим арку, как показано на рис.8.2.

лекция 8.определение перемещений в арках и фермах - student2.ru

Рис.8.2. Нагружение арки единичной силой

Очевидно, что лекция 8.определение перемещений в арках и фермах - student2.ru = лекция 8.определение перемещений в арках и фермах - student2.ru =0,5 (сила Р - безразмерная). Горизонтальную реакцию от единичной силы найдем из уравнения:

лекция 8.определение перемещений в арках и фермах - student2.ru

Дальнейшие расчеты проводим в табличной форме (см. табл.1).

Значение суммы элементов последнего столбца дает значение выражения лекция 8.определение перемещений в арках и фермах - student2.ru из формулы (*).

Значение прогиба найдем, разделив это значение на изгибную жесткость. Получаем:

лекция 8.определение перемещений в арках и фермах - student2.ru

Таблица 1. Вычисление прогиба центральной точки

Номер сечения Номер участка X, м У,м лекция 8.определение перемещений в арках и фермах - student2.ru Δx, м МР, КНм лекция 8.определение перемещений в арках и фермах - student2.ru (м) лекция 8.определение перемещений в арках и фермах - student2.ru лекция 8.определение перемещений в арках и фермах - student2.ru
- 0,3425 -
6,25 0,7096 -44,1 -2,46 152,9 305,8
9,2 0,8828 -42,5 -2,57 123,7 553,2
11,2 10,5 0,9595 3,2 -56,6 -1,9 112,1 352,5
10,7 0,9720 0,8 -21,3 -1,64 35,9 59,1
11,2 71,8
10,7 0,9720 37,5 -1,64 -63,3 -126,6
22,4 9,95 0,9267 2,4 66,13 -2,3 -164 -272,8
9,2 0,8828 1,6 80,67 -2,57 -234,8 -319
6,25 0,7096 65,5 -2,46 -227,1 -923,8
0,3425 -454,2

Σ=-754 кНм3

Наши рекомендации