Тема 6 Определенный интеграл
Задача 1.Вычислить,площадь фигуры, ограниченной линиями у=х2+4x, у=х+4 (рис. 1).
Решение. Площадь S фигуры, ограниченной сверху н снизу непрерывными линиями у=f(х) и у= 
(х), пересекающимися вточках с абсциссами x=а и х=b, определяется по формуле
(1)
Рис. 1
Для нахождения точек пересечения данных линий решаем систему уравнений
y= х2+4х,
у = х+4.
х2+4х=х+4, х2+3х-4=0, откуда x1=- 4, х2=1.
Применяя формулу (1), получим:
(кв.ед.)
Вопросы для самопроверки
1. Назовите задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.
2. Напишите интегральную сумму для функции у=f(х) на отрезке [а; b]
3. Что называется определенным интегралом от функциями y=f(х) на отрезке [а; b]?
4. Каков геометрический смысл определенного интеграла?
5. Перечислите основные свойства определенного интеграла.
6. Чему равна производная от определенного интеграла с переменным верхним пределом интегрирования?
7. Напишите формулу Ньютона — Лейбница.
8. Напишите формулу интегрирования по частям в определенном интеграле.
9. Как вычислить объем тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси Ох? оси Оу?
10. Дайте определение несобственного интеграла с бесконечными пределами интегрирования.
11. Сформулируйте понятие несобственного интеграла от разрывной функции.
Задания для контрольной работы
Задание 1
В задачах 1 – 20 найти указанные пределы.
1. а) 
б) 
в) 
г) 
.
2. а) 
б) 
в) 
г) 
3. а) 
б) 
в) 
г) 
4. а) 
б) 
в) 
г) 
5. а) 
б) 
в) 
г) 
6. а) 
б) 
в) 
г) 
.
7. а) 
б) 
в) 
г) 
8. а) 
б) 
в) 
г) 
9. a) 
б) 
в) 
г) 
10. а) 
б) 
в) 
г) 
11. а) 
б) 
в) 
г) 
12. а) 
б) 
в) 
г) 
13. а) 
б) 
в) 
г) 
14. а) 
б) 
в) 
г) 
15. а) 
б) 
в) 
г) 
16. а) 
б) 
в) 
г) 
17. а) 
б) 
в) 
; г) 
18. а) 
б) 
в) 
г) 
19. а) 
б) 
в) 
г) 
20. а) 
б) 
в) 
г) 
Задание 2
В задачах 1 – 20 найти производные заданных функций:
1. а) 
б) 
в) 
.
2. а) 
б) 
в) 
.
3. а) 
б) 
в) 
4. а) 
б) 
в) 
.
5. а) 
б) 
в) 
6. а) 
б) 
в) 
.
7. а) 
б) 
в) 
8. а) 
б) 
в) 
9. а) 
б) 
в) 
10. а) 
б) 
в) 
11. а) 
б) 
в) 
12. а) 
б) 
в) 
.
13. а) 
б) 
в) 
14. а) 
б) 
в) 
15. а) 
б) 
в) 
16. а) 
б) 
в) 
17. а) 
б) 
в) 
18. а) 
б) 
в) 
19. а) 
б) 
в) 
20. а) 
б) 
в) 
Задание 3
В задачах 1-20 исследовать функции методами дифференциального исчисления и построить их графики. Исследование функции рекомендуется проверить по следующей схеме: 1) найти область определения функции; 2) исследовать функцию на непрерывность; 3) определить, является ли данная функция четной, нечетной; 4) найти интервалы возрастания и убывания функции и ее точки экстремума; 5) найдите интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба; 6) найти асимптоты графика функции.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
Задание 4
Данную функцию z=f(x, y) исследовать на экстремум.
1. z= 
.
2. z= 
.
3. z= 
.
4. z= 
5. z= 
.
6. z= 
.
7. z= 
.
8. z= 
.
9. z= 
.
10. z= 
.
11. z= 
.
12. z= 
.
13. z= 
.
14. z= 
.
15. z= 
.
16. z= 
.
17. z= 
.
18. z= 
19. z= 
.
20. z= 
.
Задание 5
В задачах 1 – 20 найти указанные неопределенные интегралы и результаты интегрирования проверить дифференцированием.
1. а) 
б) 
в) 
2. а) 
б) 
в) 
3. а) 
б) 
в) 
4. а) 
б) 
в) 
5. а) 
б) 
; в) 
6. а) 
б) 
в) 
.
7. а) 
б) 
в) 
8. а) 
б) 
в) 
9. а) 
б) 
в) 
10. а) 
б) 
в) 
11. а) 
б) 
в) 
12.а) 
б) 
в) 
13. а) 
б) 
в) 
14. а) 
б) 
в) 
15. а) 
б) 
в) 
16. а) 
б) 
в) 
17. а) 
б) 
в) 
18. а) 
б) 
в) 
19. а) 
б) 
в) 
20. а) 
б) 
в) 
Задание 6
В задачах 1 – 10 вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями. Сделать чертеж.
1. у = х3; у = 
2. у = 
у = 6 – х .
3. у = 
у = 4 – х . 4. у = х2+2; у = 4 – х2.
5. у = - х2+1; у = х – 1. 6. у = x2 – 4x+4; y=x.
7. y = 
y = 4x. 8. y = 
y = 7 – x.
9. y = 3x2+1; y = 3x+7. 10. y = 2x – x2; y = - x.
В задачах 11 – 15 вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной указанными линиями. Сделать чертеж.
11. y2 = x; y = x2. 12. xy = 4; x = 1; x = 4; y = 0.
13.y = sin x (одна полуволна); y = 0. 14. y = x2+1; y = 3x – 1.
15. 
В задачах 16 – 20 вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной указанными линиями. Сделать чертеж.
16. y2 =4 – x ; x=0. 17. 
18. x + y – 2 =0; x=0; y=0. 19. xy =2; x=0; y=1; y=4.
20. y =-x2+4; x=0; y=0; y=3.
Литература
1 Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике (ч. 1,2)./Письменный Д.Т.-М.:«Айрис-пресс»,2007.-282с., 253с.
2 Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике.(ч.1,2) -М.: «Айрис - пресс», 2008-574с.
Дополнительная литература
1 Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: учеб. пособие / Н.С. Пискунов. –М.: Интеграл-Пресс. -2007.Ч.1. -415с.
2 Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: учеб. пособие / Н.С. Пискунов. –М.: Интеграл-Пресс. -2006. Ч.2.-544с.
3 Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математики в упражнениях и задачах. / Данко П.Е. Попов А.Г. и др. - М.: Высшая школа, т.1,2, 2006-304с, 416с.
4 Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов.-М.: «Юнити», 1999.-471с.