Синтез нечетких алгоритмов управления на основе метода векторных функций Ляпунова
Цель работы
- Изучение метода синтеза систем управления типа Такаги-Сугено с формированием нечеткого логического регулятора с применением метода векторных функций.
- Рассмотреть системы управления общего вида, линейные и нелинейные системы.
- Исследование системы автоматического регулирования с нечетким регулятором.
Теоретические сведения
Предлагается метод синтеза нелинейных систем управления с запаздыванием типа Такаги-Сугено [3-5] с формированием нечеткого логического регулятора. В отличие от других работ рассматриваемый подход эффективно использует метод векторных функций Ляпунова (ВФЛ) [1,2]. Метод векторных функций Ляпунова (ВФЛ) [1] является точным и эффективным методом исследования систем управления. Нечеткая логическая система состоит из динамического процесса и нечеткого логического регулятора. Пусть 
. Система управления характеризуется как нелинейная система с несколькими входами, моделируемой системой
, 
, (4.1)
, 
- вектор состояния;
- нелинейный вектор, 
- матрица с нелинейными элементами, описывающие динамику системы управления; 
- управление, полученное дефазификацией методом центров тяжести для 
систем. 
состоит из 
нечетких 
правил. Правило в системе записывается в виде
… 
, 
; 
, (4.2)
где 
, 
нечеткие множества, -управление, определяемое 
м правилом.
Каждое нечеткое правило генерирует 
, , согласно
- функции принадлежности.
Управление , которое должно быть применено в процессе, является функцией 
и 
. Выход задается 
.
Пример 1. Системы управления общего вида.
Рассматривается система
, 
, 
. (4.3)
Согласно идеям метода ВФЛ строятся системы сравнения [1]. Здесь используются линейные системы сравнения (СС) [1] вида
, (4.4)
- постоянная матрица с известными свойствами [1] . Запишем ВФЛ 
.
В данной работе полагаем 
. Возможны другие варианты. Компоненты ВФЛ выбираем в виде квадратичных форм 
, 
, 
- симметричная положительно определенная матрица. Производная компонент ВФЛ в силу СУ имеет вид
Или 
, где 
, 
.
Определим множества по всем компонентам ВФЛ 
, 
, 
, . Аналогичные выражения будем использовать и в других случаях, имеющих подобный смысл.
Из дифференциального неравенства [1] 
следует (см.[6]) 
; или
, 
, 
.
Преобразуем: 
, 
,…, 
.
Дифференциальное неравенство запишется в следующем виде
,
где 
, 
= 
, 
= 
,…, 
= 
, 
-вектор-строка 
, 
.
= 
, 
; 
- 
; … ;
- 
.
Если 
, управление выбирается из соотношения 
при 
, где 
- фиксированное малое число. Вводится 
, - вспомогательное управление, согласованное с нечетким регулятором, чтобы не возникало особенностей. Если 
, в СУ необходимо дополнительно ввести такой линейный регулятор. Обозначим 
- строку матрицы 
. Тогда при обозначении 
запишется
( )+ 
( 
- )
+…+ 
( 
- );
( 
)+ 
( - )
+…+ 
( - )
…
= 
( 
)+ 
( 
- )
+…+ 
( 
- )
Воспользуемся частным случаем матрицы - диагональной матрицей 
, 
, .
Тогда получим соотношение для синтеза регулятора
( 
); ( 
- ); … ;
= ( 
- ).
Пример 2. Линейные системы.
Воспользуемся вспомогательной леммой [7]
Лемма [7 ]. Пусть 
любая 
матрица. Для 
постоянной и симметричной матрицы 
выполняется ( , 
)
Пусть система имеет вид
, 
(4.4)
- -, 
- 
-постоянные матрицы.; я компонента ВФЛ определяется выражением . Тогда с линейной СС можно записать дифференциальное неравенство
,
где 
, 
, , 
. Отсюда определяется система неравенств
, 
, …,
Перепишем неравенства в следующем виде
- 
, 
- 
, … , 
- 
.
И используя лемму, преобразуем неравенства
- - 
, - - 
, …, - 
симметричная матрица, 
постоянная.
Еще раз перепишем с обозначениями , 
, = 
, = 
,…, = 
, = , 
- - ; 
- - ;…; 
- - .
В общем случае матрица 
должна удовлетворять специальным свойствам [1]. Применим частный случай диагональной матрицы , , получим
-
; 
-;…; 
.
Теперь, аналогично, управление находится из 
, .
Замечание. Если матрица 
не является Гурвицевой, то возможен второй подход: алгоритм начинается с задания ВФЛ. Первый эффективно алгоритмизируется. При втором необходимо детально рассматривать особенности системы управления.
Пример 3. Случай нелинейной системыс 
.
Введем систему с запаздыванием вида 
, , 
, (10)
, 
, 
, 
;
По теореме Разумихина
, 
,
Вычисляем производную в силу системы
, 
Рассмотрим множества 
, 
, 
.
Теорема 2. Нечеткая система будет асимптотически устойчивой при выполнении следующих условий: 1) 
, 
; 2) при 
для 
, при 
для 
; 3) множество 
: 
не будет содержать целых траекторий.
Доказательство, Полагаем . 
.
Случай 1. 
Тогда 
строго положительна.
Из условия теоремы следует
Случай 2. 
строго отрицательная.
Из условия теоремы следует
Случай 3. 
. Из условия теоремы 
Из трех условий следует 
, откуда следует асимптотическая устойчивость.
Если нет области 
, то если 
, тогда система будет асимптотически устойчивой в целом.
Задание.
1. Изучить создание системы управления общего вида, линейной системы, нелинейной системы.
2. Разработать собственную систему управления линейную и нелинейную.
Содержание отчета
1.Титульный лист; 2. Постановка задачи, исходные данные для задания (самостоятельно составить исходные данные для объекта); 3. Введение (краткое описание предметной области и задачи); 4. Разработанная собственная система управления линейная и нелинейная. Screenshots программной реализации в MATLAB; 5. Анализ качества переходных процессов. 6. Screenshots программной реализации в MATLAB. 3 Выводы по работе.
Практическое занятие №5
Нечеткое системное проектирование разработки нефтяных месторождений ( 
)
Цель работы:
- Идентификация нечетких целей функционирования системы
- Влияние факторов в формулировании нечетких целей .
Теоретические сведения
В системном подходе к разработке нефтяных месторождений () одним из основных является понятие цели. Под нечеткой целью понимают будущий результат деятельности системы разработки (
), желательный для одного или нескольких участников разработки, который может быть достигнут за конечный срок . Под нечеткой целью понимают цель , которую можно описать как нечеткое множество в соответствующем пространстве параметров. Нечеткая цель, таким образом, тесно связана с общими характеристиками функционирования как сложной системы - неопределенностью, «размытостью» и неразличимостью. Основные заинтересованные участники (компания, банк, потребитель, государство, местная власть) на стадии постановки задачи и целей имеют дело с более «размытой» информацией о залежи, чем интегрированная команда специалистов на стадии проектирования. Так как на стадии составления технологического эксплуатационного объекта (
), технологической схемы или проекта анализируется, сопоставляется информация о залежи, поступающая из различных источников, и формируется непротиворечивая, менее «размытая» информационная основа для проектирования. Средством достижения поставленных нечетких целей служат механизмы и способы функционирования сложной системы разработки нефтяных месторождение (
). Рациональной соответствует некоторая «размытая» область 
, в которой полностью достигаются поставленные нечеткие цели . Эта область полного достижения одной или нескольких целей окружена областью частичного достижения одной или нескольких целей - 
. Существует также область полного недостижения нечетких целей - 
. Таким образом, 
. Наиболее простой путь формализации таких областей - использование аппарата нечетких множеств.
Идентификация нечетких целей функционирования системы РНМ Пример 1.На рисунке 5.1. представлены области для одной 
, 
и 
. Области на оси абсцисс - 
соответствует интервал 
, а области - интервал 
. Следовательно, с точки зрения теории нечетких множеств (
) это можно интерпретировать следующим образом: степень принадлежности 
нечеткому множеству цели РНМ на отрезке 
равна единице, а в интервалах 
и 
принимает значения от 0 до 1. Аналогично степень принадлежности по критерию 
- 
нечеткому множеству цели на отрезке 
равна единице, а в интервалах 
и 
изменяется в пределах (0,1).
На рисунке 5.1. представлена также парето-оптимальная область размытых целей в пространстве критериев 
и построены функции принадлежности 
и 
парето-оптимальному множеству нечеткой цели - 
. При этом 
. Нечеткое множество всех целей есть объединение множеств , 
где 
- количество целей: 
где 
. Парето-оптимальное множество нечетких целей задается аналогично: 
где 
.
Рисунок 5.1. – Парето-оптимальная область размытой цели в двухмерном критериальном пространстве параметров 
и соответствующие нечеткие функции принадлежности 
и 
парето-оптимальному множеству нечеткой цели (дуга 
)