Прелюдия к теории относительности

Здравый смысл — это толща предрассудков, успевших отложиться в нашем сознании к восемнадцати годам.

Альберт Эйнштейн

Аксиома — это предрассудок, освященный тысячелетиями.

Эрик Т. Белл

Как и «чистые» математики, физики-теоретики на рубеже XX в. были преисполнены гордости за достигнутые успехи, и состояние физических теорий не вызывало у них беспокойства. Разве не они открыли совершенно новый мир — мир электромагнитных явлений, сулящий ускорить и расширить культурный и технический прогресс человечества, существенно усовершенствовать средства связи? Возможно, что такому безмятежному, не омрачаемому критикой состоянию теоретической физики в какой-то мере способствовала гипотеза эфира, который на протяжении двух веков считался средой, где якобы распространяется свет и электромагнитное излучение других видов.

Но безмятежное спокойствие, царившее в физике на рубеже нашего века, было затишьем перед бурей. Когда восторги, вызванные замечательными достижениями, начали утихать, физики-теоретики поняли, что далеко не все фундаментальные проблемы решены. Одно из решений таких проблем — создание теории относительности — ознаменовало подлинный переворот в научной концепции реального физического мира. И хотя этот переворот не оказал столь сильного влияния на нашу повседневную жизнь, как радио и телевидение, ставшие со временем достоянием миллионов, для нашего понимания природы физического мира его последствия были необычайно важны.

Какие проблемы заставляли математиков и физиков в конце XIX в. углубленно размышлять и искать принципиально новые подходы к объяснению фундаментальных явлений окружающего мира? Первая из таких проблем — геометрия физического пространства. Чтобы понять суть этой проблемы, нам придется вернуться к прошлому.

На протяжении двух тысячелетий не один математик высказывал сомнение в физической истинности аксиомы Евклида о параллельных, которая гласит:

И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти две прямые неограниченно встречаются с той стороны, где углы меньше двух прямых.

([17], с. 15.)

Это означает (рис. 32), что если углы 1 и 2 в сумме меньше 180°, то прямые a и b , будучи продолженными достаточно далеко, пересекутся (на рисунке — справа).

Рис. 32.

Евклид имел достаточно веские основания, чтобы сформулировать свою аксиому именно так. Он мог бы утверждать, что если сумма углов 1 и 2 равна 180°, то прямые a и b никогда не пересекутся, сколько бы их ни продолжали, т.е. что прямые a и b в этом случае параллельны. Однако Евклид явно опасался предположить, что могут существовать две бесконечные прямые, которые никогда не пересекаются. Существование таких прямых не подкреплялось опытом и отнюдь не было самоочевидным. Но на основе аксиомы о параллельных и других аксиом своей геометрии Евклид доказал существование бесконечно протяженных параллельных прямых.

Считалось, что аксиома о параллельных в том виде, в каком ее сформулировал Евклид, излишне сложна и ей недостает простоты других аксиом. Самого Евклида придуманный им вариант аксиомы о параллельных также не устраивал: недаром он обращался к этой аксиоме, лишь доказав все теоремы, какие только можно было доказать без нее.

Даже в античную эпоху математики неоднократно пытались решить проблему, связанную с аксиомой о параллельных Евклида. Эти попытки были двух типов. Одни пробовали заменить аксиому о параллельных какой-нибудь другой аксиомой, казавшейся им более очевидной. Другие старались, вывести аксиому Евклида из девяти других аксиом его геометрии. Если бы это удалось, то аксиома о параллельных превратилась бы в одну из теорем и всякие сомнения в ее истинности разом отпали бы. На протяжении двух тысячелетий не один десяток самых выдающихся математиков, не говоря уже о менее известных, пытались и заменить аксиому о параллельных и вывести ее из других аксиом. История аксиомы Евклида о параллельных длительна, изобилует техническими деталями, и мы не будем пересказывать ее здесь подробно, тем более что она не имеет прямого отношения к главной теме нашего повествования и неоднократно излагалась в других работах.{10}

Из аксиом, предлагавшихся взамен аксиомы Евклида о параллельных, нельзя не упомянуть по крайней мере одну. Мы остановили свой выбор на ней потому, что именно с такой редакцией аксиомы о параллельных мы обычно знакомимся в школьном курсе геометрии. Автором этого варианта аксиомы принято считать Джона Плейфера (1748-1819), который предложил его в 1795 г. Аксиома Плейфера гласит:

Существует одна и только одна прямая, проходящая через данную точку P , лежащую вне прямой l (рис. 33), в плоскости, задаваемой точкой P и прямой l , которая не пересекается с прямой l .

([13], с. 95.)

Все остальные аксиомы, предлагавшиеся взамен аксиомы Евклида о параллельных и казавшиеся на первый взгляд более простыми, чем первоначальный вариант, при более тщательном рассмотрении признавались менее удовлетворительными. Нельзя не заметить, что аксиома Плейфера утверждает именно то, чего стремился избежать Евклид: существование двух бесконечных прямых, которые никогда не пересекаются.

Среди попыток второго типа, которые выражались в намерении вывести аксиому о параллельных из девяти других аксиом Евклида, наиболее преуспел член ордена иезуитов, профессор университета в Павии Джероламо Саккери (1667-1733). Он рассуждал так. Если принять аксиому, существенно отличающуюся от аксиомы Евклида о параллельных, то можно было бы прийти к какой-нибудь теореме, которая противоречила бы другой теореме. Такое противоречие означало бы, что аксиома, отрицающая аксиому Евклида о параллельных — единственную сомнительную аксиому евклидовой геометрии, — ложна. Но тогда аксиома Евклида о параллельных должна была бы быть истинной, т.е. следствием, вытекающим из девяти других аксиом.

Как впоследствии Плейфер, предложивший аксиому, эквивалентную аксиоме Евклида, Саккери сначала предположил, что не существует прямых, параллельных прямой l , которые проходили бы через точку P , лежащую вне прямой l (рис. 33). Из этой аксиомы и девяти других аксиом Евклида Саккери действительно удалось вывести противоречие. Тогда Саккери испробовал вторую единственно возможную альтернативу, предположив, что существуют по крайней мере две прямые p и q , проходящие через точку P и не пересекающиеся с прямой l , сколько бы их ни продолжали.

Рис. 33.

Саккери доказал довольно много интересных теорем прежде, чем ему удалось обнаружить теорему, столь необычную и так резко выпадавшую из всего ранее известного, что он усмотрел было в ней противоречие с ранее доказанными утверждениями. Исходя из этого, Саккери счел доказанным, что аксиома Евклида о параллельных следует из девяти остальных аксиом евклидовой геометрии, и в 1773 г. опубликовал книгу под названием «Евклид, избавленный от всяких пятен» (Euclides ab omnia naevo vindicatus). Но как позднее установили математики, Саккери во втором случае не удалось прийти к противоречию, поэтому проблема, связанная с аксиомой о параллельных, по-прежнему оставалась открытой.

Попытки найти приемлемую замену евклидовой аксиомы о параллельных или доказать, что она должна следовать из девяти остальных аксиом Евклида, были столь многочисленны и столь безуспешны, что в 1759 г. выдающийся математик Жан Лерон Д'Аламбер (1717-1783) назвал проблему, связанную с аксиомой о параллельных, «скандалом оснований геометрии».

Постепенно у математиков начало складываться правильное понимание истинного статуса аксиомы Евклида о параллельных. В своей докторской диссертации (1763) Георг С. Клюгель (1739-1812), впоследствии профессор университета в Хальмстаде, высказал весьма глубокое замечание о том, что восприятие аксиомы Евклида о параллельных как чего-то достоверного основано на человеческом опыте. В этом замечании Клюгеля впервые прозвучала мысль о том, что аксиомы опираются не столько на очевидность, сколько на опыт. Клюгель выразил сомнение в том, что аксиома Евклида о параллельных доказуема, и понял, что Саккери пришел не к противоречию, а всего лишь к необычному результату.

Диссертация Клюгеля привлекла внимание Иогана Генриха Ламберта (1728-1777), побудив его также заняться аксиомой о параллельных. В своей книге «Теория параллельных прямых», написанной в 1766 г., а изданной в 1786 г., Ламберт, в какой-то мере следуя Саккери, рассмотрел две альтернативные возможности. Предположив, что через точку P , расположенную вне прямой l (см. рис. 33), не проходит ни одной прямой, параллельной l , он также пришел к противоречию. Но в отличие от Саккери Ламберт не считал, что предположение о существовании по крайней мере двух параллельных, проходящих через точку P , приводит к противоречию. Кроме того, Ламберт понял, что любая система аксиом, которая не приводит к противоречию, порождает свою геометрию. Любая такая геометрия логически ничему не противоречит, хотя и имеет весьма косвенное отношение к реальным физическим фигурам!

Работы Ламберта и других математиков, в частности Абрахама Г. Кестнера (1719-1800), профессора Гёттингенского университета, у которого учился Гаусс, заслуживают того, чтобы упомянуть о них особо. Эти ученые были убеждены, что аксиому Евклида о параллельных нельзя доказать на основе девяти остальных аксиом евклидовой геометрии, т.е. что она независима от остальных аксиом Евклида. Все трое названных нами математиков признавали возможность неевклидовой геометрии, т.е. геометрии, в которой аксиома о параллельных существенно отличается от евклидовой.

Наиболее выдающимся среди математиков, работавших над проблемой аксиомы Евклида о параллельных, был Карл Фридрих Гаусс (1777-1855). Гаусс прекрасно знал о тщетных попытках вывести аксиому о параллельных из остальных аксиом евклидовой геометрии, ибо в Гёттингене об этом были наслышаны все. Но до 1799 г. Гаусс все же не прекращал попытки вывести аксиому Евклида о параллельных из других, более правдоподобных предположений; он был убежден, что евклидова геометрия отражает геометрию физического пространства, хотя допускал возможность существования логически непротиворечивых неевклидовых геометрий. Но в письме своему другу и собрату по математике Фаркашу Бойаи (Больяй) от 16 декабря 1799 г. Гаусс сообщал:

Я лично далеко продвинулся в моих работах (хотя другие, совершенно не связанные с этим занятия оставляют мне для этого мало времени); однако дорога, которую я выбрал, ведет скорее не к желательной цели, а к тому, чтобы сделать сомнительной истинность геометрии. Правда, я достиг многого, что для большинства могло бы сойти за доказательство, но это не доказывает в моих глазах ровно ничего.

([23], с. 101.)

Начиная с 1813 г. Гаусс разрабатывал свой вариант неевклидовой геометрии, которую он назвал сначала антиевклидовой, затем астральной и наконец неевклидовой геометрией. Убедившись в ее логической непротиворечивости, Гаусс не сомневался в ее применимости к реальному миру.

В письме к своему другу Францу Адольфу Тауринусу (1794-1874) от 8 декабря 1824 г. Гаусс писал:

Допущение, что сумма углов треугольника меньше 180°, приводит к своеобразной, совершенно отличной от нашей [евклидовой] геометрии; эта геометрия совершенно последовательна, и я развил ее для себя совершенно удовлетворительно… Предложения этой геометрии отчасти кажутся парадоксальными и непривычному человеку, даже несуразными; но при строгом и спокойном размышлении они не содержат ничего невозможного.

([23], с. 105-106.)

Мы не будем вдаваться в подробности того варианта неевклидовой геометрии, который был создан Гауссом. Он начал даже, хотя не довел до конца, полное дедуктивное изложение своей геометрии. Доказанные им теоремы во многом напоминают теоремы, с которыми нам еще предстоит встретиться в неевклидовой геометрии Лобачевского — Бойаи. В письме к математику и астроному Фридриху Вильгельму Бесселю (1784-1846) от 27 января 1829 г. Гаусс признавался, что вряд ли когда-нибудь опубликует свои открытия в области неевклидовой геометрии из опасения насмешек, или, как выразился Гаусс, криков беотийцев (в переносном смысле — невежд). Опасения Гаусса были не лишены оснований: не следует забывать о том, что, хотя небольшую группу математиков, упорно работавших над созданием неевклидовой геометрии, отделял от их цели всего лишь шаг, интеллектуальный мир в целом по-прежнему был убежден, что евклидова геометрия единственно возможная. Поэтому все, что мы знаем о работе Гаусса по неевклидовой геометрии, почерпнуто из его писем к друзьям, двух коротких сообщений, опубликованных в 1816 и 1822 гг. в журнале Göttingenische gelehrte Anzeigen , и нескольких заметок, датированных 1831 г., которые были обнаружены среди его бумаг после смерти.

Слава создателей неевклидовой геометрии по праву принадлежит двум другим математикам: Лобачевскому и Бойаи. В действительности их труды явились своего рода эпилогом в развитии идей, высказанных ранее другими учеными, но поскольку они опубликовали первые систематические изложения неевклидовой геометрии, именно они и признаны ее создателями. Русский математик Николай Иванович Лобачевский (1793-1856) закончил Казанский университет, профессором и ректором которого стал впоследствии (1827-1846). Начиная с 1825 г. он представил свои соображения по основаниям геометрии в многочисленных статьях и двух книгах. Янош Бойаи (1802-1860), сын известного венгерского математика Фаркаша Бойаи, был офицером австро-венгерской армии. Свою работу (объемом в 26 страниц) по неевклидовой геометрии под названием «Приложение, содержащее науку о пространстве, абсолютно истинную, не зависящую от истинности или ложности XI аксиомы Евклида, что a priori никогда решено быть не может, с прибавлением к случаю ложности геометрической квадратуры круга» Бойаи опубликовал в качестве приложения к первому тому сочинения своего отца «Опыт введения учащегося юношества в начала чистой математики» (Tentamen juventutem studiosam in elementa Matheoseos). Хотя эта книга вышла в 1832-1833 гг., т.е. после первых публикаций Лобачевского, Бойаи, по-видимому, разработал свои идеи по неевклидовой геометрии еще в 1825 г. и убедился в ее непротиворечивости.

Гаусс, Лобачевский и Бойаи поняли, что аксиома Евклида о параллельных не может быть доказана на основе девяти остальных аксиом евклидовой геометрии и что для обоснования последней необходима какая-то дополнительная аксиома. Так как аксиома о параллельных независима от остальных аксиом, представляется возможным (по крайней мере чисто логически) заменить ее противоположной аксиомой и попытаться вывести следствия из новой системы аксиом.

С чисто математической точки зрения содержание работ Гаусса, Лобачевского и Бойаи очень просто. Суть дела удобнее всего пояснить на примере геометрии Лобачевского, ибо все трое по существу сделали одно и то же. Отвергнув аксиому Евклида о параллельных, Лобачевский фактически принял такое же допущение, каким некогда воспользовался Саккери. Если дана прямая AB и точка P вне ее (рис. 34), то все прямые, проходящие через точку P , распадаются относительно прямой AB на два класса, а именно на класс прямых, пересекающихся с прямой AB и класс прямых, не пересекающихся с прямой AB . Точнее если точка P лежит на перпендикуляре к прямой AB на расстоянии a от нее, то существует острый угол A, такой, что все прямые, образующие с перпендикуляром PD угол меньшеA , пересекаются с прямой AB , а прямые, образующие с PD угол большеA , не пересекаются с прямой AB. Две прямые p и q , образующие с перпендикуляром PD угол A, называются параллельными, а сам угол Aназывается углом параллельности. Прямые, проходящие через точку P и не пересекающиеся с прямой AB , но отличные от параллельных p и q , называются расходящимися с прямой AB или сверхпараллельными ей (с точки зрения Евклида это прямые, параллельные прямой AB ). В этом смысле в геометрии Лобачевского существует бесконечно много параллельных, проходящих через точку P .

Рис. 34.

Далее Лобачевский доказывает несколько ключевых теорем. Если A = π/2 , то получается аксиома Евклида о параллельных. Если угол A — острый, то при a , стремящемся к нулю, A возрастает до π/2 , а при неограниченном возрастании a убывает до нуля. Сумма углов треугольника в геометрии Лобачевского всегда меньше 180° и стремится к 180° с уменьшением площади треугольника. Два подобных треугольника в геометрии Лобачевского непременно конгруэнтны.

Но, пожалуй, самое главное состоит в том, что неевклидова геометрия пригодна для описания свойств физического пространства ничуть не в меньшей мере, чем евклидова геометрия. Необходимость евклидовой геометрии как геометрии физического пространства ниоткуда не следует, ее физическая истинность не может быть гарантирована на основе априорных соображений. К пониманию этого немаловажного обстоятельства, не требующему никаких чисто математических доказательств, ибо все уже было сделано раньше, первым пришел Гаусс.

Но не так-то легко расстаться с накопленным ранее богатством. По-новому взглянув на природу истинного в математике, Гаусс увидел ту опору, за которую можно ухватиться. В письме Генриху В.М. Ольберсу (1758-1840) от 28 апреля 1817 г. Гаусс сообщал:

Я прихожу все более к убеждению, что необходимость нашей геометрии не может быть доказана, по крайней мере человеческим рассудком и для человеческого рассудка. Может быть, в другой жизни мы придем к другим взглядам на природу пространства, которые нам теперь недоступны. До тех пор геометрию приходится ставить не в один ранг с арифметикой, существующей чисто и a priori , а скорее с механикой.

([23], с. 103.)

Гаусс в отличие от Канта не считал законы механики априорными истинами. Он, как и многие другие, разделял взгляды Галилея, считавшего, что законы механики выводятся из опыта. Гаусс утверждал, что истина лежит в арифметике и, следовательно, в алгебре и анализе, построенных на арифметике, ибо арифметические истины интуитивно ясны нашему разуму.

Лобачевский также размышлял над применимостью своей геометрии к физическому пространству и доказал, что она применима к очень большим геометрическим фигурам. Таким образом, к 30-м годам XIX в. неевклидова геометрия не только получила признание, но и ее применимость к реальному физическому пространству была обоснована.

На протяжении примерно тридцати лет после публикации работ Лобачевского и Бойаи математики игнорировали неевклидову геометрию, видя в ней своего рода логический курьез. Некоторые из них даже не отрицали логической непротиворечивости новой геометрии. Другие были убеждены, что в неевклидовой геометрии непременно должны быть скрыты какие-то противоречия, и на этом основании считали ее бессмысленной. И почти все математики выражали уверенность, что геометрия реального пространства, настоящая геометрия (не то что всякие выдумки), — это геометрия Евклида. Уильям Р. Гамильтон (1805-1865), несомненно, один из самых выдающихся математиков своего времени, в 1837 г. так выразил свое неприятие неевклидовой геометрии:

Ни один честный и здравомыслящий человек не может усомниться в истинности главных свойств параллельных в том виде, как они были изложены в «Началах» Евклида две тысячи лет назад, хотя вполне мог бы желать увидеть их изложенными более просто и ясно. Геометрия Евклида — не содержит неясностей, не приводит мысли в замешательство и не оставляет разуму сколько-нибудь веских оснований для сомнения, хотя острый ум извлечет для себя пользу, пытаясь улучшить общий план доказательства.

([13], с. 113.)

Выступая в 1883 г. перед Британской ассоциацией содействия развитию наук, ее президент Артур Кэли (1821-1895) по существу поддержал точку зрения Гамильтона:

По моему мнению, двенадцатая аксиома Евклида [называемая также пятым постулатом, или аксиомой о параллельности] в форме Плейфера не требует доказательства, но является составной частью нашего представления о пространстве, физическом пространстве нашего опыта, с которым каждый знакомится на своем опыте, — представления, лежащего в основе всего нашего опыта… Утверждения геометрии не являются лишь приближенно истинными. Они остаются абсолютно истинными в отношении той евклидовой геометрии, которая так долго считалась физическим пространством нашего опыта.

([13], с. 113.)

Примерно тех же взглядов придерживался крупнейший математик второй половины XIX — начала XX вв. Феликс Клейн (1849-1925). Хотя Кэли и Клейн сами работали над неевклидовыми геометриями (как мы увидим далее, существуют несколько неевклидовых геометрий), они рассматривали предмет своих исследований как некие новации, возникающие при введении в евклидову геометрию новых искусственных метрик — функций, задающих расстояние между двумя точками. Ни Кэли, ни Клейн не признавали за неевклидовой геометрией той фундаментальности и применимости к реальному миру, какая приписывалась евклидовой геометрии. Впрочем, до создания теории относительности их позиция была вполне объяснима.

Математики, как это ни печально, «отвернулись от бога», и всемогущий геометр не захотел открывать им, какую из геометрий он избрал за основу при сотворении мира. При выяснении этого вопроса математикам пришлось полагаться только на собственные силы. Существование нескольких альтернативных геометрий само по себе явилось для математиков сильнейшим потрясением, но еще большее недоумение охватило их, когда они осознали, что невозможно с абсолютной уверенностью отрицать применимость неевклидовой геометрии к физическому пространству.

Проблема выбора геометрии, наиболее соответствующей реальному физическому пространству, первоначально поставленная в работах Гаусса, способствовала рождению еще одного творения человеческой мысли, убедившего математический мир, что геометрия физического пространства может быть неевклидовой. Автором новых идей был Георг Бернхард Риман (1826-1866), ученик Гаусса, ставший впоследствии профессором Гёттингенского университета. Хотя работы Лобачевского и Бойаи не были известны Риману в деталях, о них был великолепно осведомлен Гаусс, и Риман, несомненно, знал о сомнениях Гаусса относительно того, в какой мере истинна и насколько применима к физическому пространству евклидова геометрия.

Гаусс проложил дорогу поразительным идеям Римана, высказав еще одну революционную мысль. Обычно мы изучаем геометрию на поверхности сферы, считая последнюю частью трехмерного евклидова пространства и тем самым заранее исключая любые радикально новые идеи. Но предположим, что мы рассматриваем поверхность сферы как пространство само по себе и строим геометрию такого пространства. Прямоугольные координаты здесь не очень подходят, так как для их построения необходимы прямые, которые отсутствуют на сфере. В качестве координат какой-либо точки на сфере можно было бы взять, например, широту и долготу. Еще одна проблема возникает при попытке определить кратчайшие пути из одной точки в другую. Наш повседневный опыт, интерпретированный всеведущими математиками, подсказывает, что кратчайшими путями на поверхности сферы являются дуги больших кругов (например, меридианы), т.е. кругов, центр которых совпадает с центром Земли. Эти дуги и есть «прямые» в сферической геометрии. Продолжая изучать геометрию поверхности сферы, мы обнаружили бы немало странных теорем. Например, сумма углов треугольника, образованного дугами больших кругов, т.е. отрезками «прямых» сферической геометрии, больше 180°.

В своей знаменитой работе, опубликованной в 1827 г., Гаусс исподволь проводил следующую мысль: если мы изучаем поверхности как независимые пространства, то соответствующие этим пространствам двумерные геометрии могут оказаться весьма причудливыми в зависимости от формы поверхностей. Например, эллипсоидальная поверхность, имеющая форму мяча для регби, имеет иную геометрию, нежели сферическая поверхность.

А как обстоит дело на сфере с «параллельными»? Поскольку любые два больших круга пересекаются не один раз, а дважды, в сферической геометрии нам не обойтись без аксиомы, гласящей, что любые две «прямые» пересекаются в двух точках. Совершенно ясно, что геометрия поверхности сферы будет неевклидовой; впоследствии она получила название удвоенной эллиптической геометрии . Такая геометрия вполне естественна для поверхности Земли. Она достаточно «удобна в обращении» и по крайней мере ничуть не уступает той, которая возникает при рассмотрении сферы как двумерной поверхности в трехмерной евклидовой геометрии.

Идеи Гаусса были хорошо знакомы Риману. Гаусс предложил Риману несколько тем для публичной лекции, с которой тому предстояло выступить для получения звания приват-доцента, дававшего право на преподавание в Гёттингенском университете. Риман остановил свой выбор на основаниях геометрии и в 1854 г. в присутствии Гаусса прочел свою лекцию на философском факультете. Лекция Римана была опубликована в 1868 г. под названием «О гипотезах, лежащих в основании геометрии».

Проведенное Риманом исследование геометрии физического пространства потребовало пересмотра всей проблемы, касающейся структуры пространства. Риман первым поставил вопрос: что же нам достоверно известно о физическом пространстве? Какие условия, или факты, заложены в самом понятии пространства еще до того, как мы, опираясь на опыт , выделяем конкретные аксиомы, которые выполняются в физическом пространстве? Из этих исходных условий, или фактов, Риман намеревался вывести остальные свойства пространства. Такие аксиомы и логические следствия из них и необходимо априори признать истинными. Любые другие свойства пространства надлежало изучать эмпирически. Одна из целей Римана состояла в доказательстве того, что аксиомы Евклида являются эмпирическими, а отнюдь не самоочевидными истинами. Риман избрал аналитический подход (опирающийся на алгебру и анализ), поскольку геометрические доказательства не свободны от влияния нашего чувственного опыта и в них возможны допущения, не входящие явно в число посылок.

Поиск априорного (предшествующего нашему знанию) пространства привел Римана к исследованию локального поведения пространства, ибо свойства последнего могут изменяться от точки к точке. Такой подход получил название дифференциальной геометрии в отличие от геометрии пространства в целом, которой занимался Евклид, а в неевклидовой геометрии — Гаусс, Бойаи и Лобачевский.

Следуя локальному подходу к геометрии, Риман столкнулся с необходимостью определить расстояния между двумя типичными, или характерными, точками, координаты которых отличаются на бесконечно малые величины. Расстояние между такими бесконечно близкими точками Риман обозначил ds . Он предположил, что квадрат этого расстояния в трехмерном пространстве (в действительности Риман рассматривал общий случай n- мерного пространства) можно представить в виде

ds ² = g ₁₁dx ₁² + g ₁₂dx ₁dx ₂ + g ₁₃dx ₁dx ₃ + g ₂₁dx ₁dx ₂ + g ₂₂dx ₂² + g ₂₃dx ₂dx ₃ + g ₃₁dx ₁dx ₃ + g ₃₂dx ₂dx ₃ + g ₃₃dx ₃²,

где g_ij — функции координат x₁, x₂ и x₃ ; g_ij = g_ji и правая часть положительна при всех значениях g_ij . Выражение для ds представляет собой обобщение формулы Евклида

ds ² = dx ₁² + dx ₂² + dx ₃²,

которую в свою очередь можно рассматривать как один из вариантов теоремы Пифагора. Допуская зависимость коэффициентов g_ij от координат, Риман тем самым учитывал, что природа пространства может изменяться от точки к точке. Из формулы для ds² стандартными методами математического анализа можно извлечь множество фактов о длинах, площадях, объемах и других характеристиках геометрических фигур и тел.

В той же лекции Риман сделал немало важных замечаний. В частности, он сказал: «Остается еще выяснить, обеспечиваются ли опытной проверкой эти простые соотношения [которыми определяется метрика пространства] и если обеспечиваются, то в какой степени и в каком объеме?» ([23], с. 322). Свойства физического пространства по Риману надлежало определять только опытным путем. Например, он считал, что аксиомы евклидовой геометрии лишь приближенно истинны применительно к физическому пространству. Свою лекцию Риман закончил следующими пророческими словами:

Или то реальное, что создает идею пространства, образует дискретное многообразие, или же нужно пытаться объяснить возникновение метрических отношений чем-то внешним — силами связи, действующими на это реальное… Здесь мы стоим на пороге области, принадлежащей другой науке — физике, и переступать его нам не дает повода сегодняшний день.

([23], с. 324.)

Здесь Риман высказал предположение, что природа физического пространства должна каким-то образом отражать происходящие в нем физические явления. Риман, несомненно, развил бы эту глубокую идею, если бы не его преждевременная кончина (он умер в возрасте сорока лет).

Идею Римана удалось несколько развить математику Уильяму Кингдону Клиффорду (1854-1879). По мнению Клиффорда, некоторые физические явления обусловлены изменениями кривизны пространства. Кривизна пространства меняется не только от точки к точке, но и (вследствие движения материи) со временем. Физическое пространство в какой-то мере подобно холмистой поверхности, и законы евклидовой геометрии перестают действовать в таком пространстве. Более точное исследование физических законов не позволяет игнорировать существование «неровностей» в пространстве.

Вот что писал Клиффорд в 1870 г.:

Я считаю несомненным следующее. (1). Малые части пространства по своей природе аналогичны небольшим неровностям иа поверхности, в среднем плоской. (2) Свойство быть искривленным или деформированным непрерывно переходит от одной части пространства к другой наподобие волны. (3) Эта вариация кривизны пространства отражает то, что действительно происходит при явлении, которое мы называем движением материи, эфирной или телесной. (4) В реальном физическом мире не происходит ничего, кроме этих вариаций, вероятно, удовлетворяющих закону непрерывности.

Клиффорд высказал также предположение, что гравитационные эффекты, возможно, обусловлены кривизной пространства, но низкая точность пространственных измерений в то время не позволила подтвердить его догадку. Сколь ни блестящей была гипотеза Клиффорда, ей оставалось дожидаться своего часа — появления работ Эйнштейна по общей теории относительности.

Суть соображений, высказанных Риманом и Клиффордом, станет понятней, если рассмотреть, скажем, естественную геометрию земной поверхности в горной местности. На столь сильно пересеченной местности прямых может не быть. Какая бы кривая ни была здесь кратчайшим путем между двумя точками, она почти всегда отлична от прямой. Кроме того, кратчайшие пути, или геодезические, не обязательно имеют одинаковую форму. Представим себе, что обитателям такой горной местности понадобилось изучить треугольники. Итак, даны три точки и соединяющие их дуги — геодезические. Какими свойствами обладают такие треугольники? Ясно, что их свойства зависят от формы того участка местности, который заключен внутри геодезических, служащих сторонами треугольников. Сумма внутренних углов одних треугольников гораздо больше 180°, сумма углов других — гораздо меньше 180°. Обитатели нашей горной местности, несомненно, пришли бы к неевклидовой геометрии. Такая геометрия обладала бы одной важной отличительной особенностью: она была бы неоднородна. Свойства фигур в такой геометрии изменялись бы от точки к точке, как меняется рельеф горной местности.

Содержание заметок Гаусса, ставшее известным после его смерти (1855), когда научная репутация великого математика была на недосягаемой высоте, и опубликованная в 1868 г. лекция Римана (прочитанная в 1854 г.) убедили некоторых математиков в том, что неевклидова геометрия вполне может отражать геометрию физического пространства и что нельзя более с уверенностью говорить, какая из геометрий правильная.

Постепенно неевклидова геометрия и вытекающее из нее следствие относительно физической истинности этой геометрии были признаны всеми математиками, но отнюдь не потому, что ее применимость была подтверждена какими-либо новыми данными. Настоящую причину признаний такого рода указал в своей «Научной автобиографии» один из основоположников квантовой механики Макс Планк:

Обычно новые научные истины побеждают не так, что их противников убеждают и они признают свою неправоту, а большей частью так, что противники эти постепенно вымирают, а подрастающее поколение усваивает истину сразу.

([24], с. 22.)

Мы уже говорили о том, что математики начали задумываться о геометрии физического пространства. Физики-теоретики конца XIX в. все более стали интересоваться другой проблемой. Одним из неявных допущений, глубоко укоренившихся в научном мышлении XVIII-XIX вв., была гипотеза о существовании силы тяготения, или гравитации. Согласно первому закону Ньютона, «всякое тело продолжает удерживаться в своем состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменять это состояние» ([19], с. 39). Следовательно, если тело отпустить, то в отсутствие тяготения оно оставалось бы висеть в воздухе. Аналогичным образом, не будь гравитации, планеты разлетелись бы по прямым в космическое пространство. Но ничего такого не происходит. Все объекты во Вселенной ведут себя так, как если бы гравитация существовала.

Хотя Ньютон показал, что один и тот же количественный закон охватывает все земные и небесные проявления гравитационного взаимодействия, физическая природа гравитации оставалась непонятной. Каким образом Солнце, находясь на расстоянии около 150 млн. км от Земли, притягивает ее и каким образом Земля притягивает множество различных предметов вблизи ее поверхности? Эти вопросы не находили ответа, тем не менее загадка гравитации не вызывала особого беспокойства у физиков. Понятие гравитации само по себе оказалось полезным, и физики с готовностью приняли ее за реальную физическую силу. Если бы не другие, более насущные проблемы, возникшие в 80-х годах XIX в., то благодушная самоуспокоенность физиков по поводу гравитации вряд ли была бы серьезно поколеблена.

Физики обходили еще одну проблему, возникшую в связи с введением силы тяготения. Каждый физический объект обладает двумя явно различными свойствами: весом и массой. Масса характеризует сопротивление, оказываемое телом любому изменению его скорости как по величине, так и по направлению. Вес — это сила, с которой Земля притягивает тело. По теории Ньютона масса тела постоянна, тогда как вес тела зависит от того, на каком расстоянии оно находится от центра Земли. В центре Земли масса тела была бы такой же, как на поверхности, а вес обратился бы в нуль. На поверхности Луны масса тела остается такой же, как на поверхности Земли, но лунное тяготение в 80 раз слабее земного, а расстояние от центра тяжести (центра Луны) до поверхности в 4 раза меньше радиуса Земли. Следовательно, по закону всемирного тяготения (см. гл. VI) вес тела на Луне составляет лишь (1/80)×16, т.е. 1/5 веса того же тела на Земле. Астронавты на борту космического корабля имеют такие же массы, как на Земле, но в полете становятся невесомыми.

Хотя эти два свойства материи — масса и вес — различны, отношение веса к массе в данн