Смешанное соединение элементов

На практике приходится работать со схемами, в которых одни элементы соединены последовательно, другие – параллельно. Такое соединение называется смешанным.

 
  Смешанное соединение элементов - student2.ru

Рассмотрим простейшую схему смешанного соединения (рис. 2.4).

Ветви с сопротивлениями R2 и R3 подсоединены к одним и тем же узлам и находятся под одним напряжением U2 , то есть, соединены параллельно. Параллельный участок соединен последовательно с сопротивлением R1, которое находится под напряжением U1. Тогда по второму закону Кирхгофа для данной цепи можно записать

Смешанное соединение элементов - student2.ru .

По первому закону Кирхгофа

Смешанное соединение элементов - student2.ru .

Эквивалентное сопротивление цепи найдем, используя правила преобразования последовательных и параллельных участков,

Смешанное соединение элементов - student2.ru .

В многоэлементных электрических цепях со смешанным соединением иногда бывает невозможно сразу выделить участки с последовательным или параллельным соединением. В этом случае эквивалентное сопротивление всей цепи находят поэтапно, рассчитывая эквивалентные сопротивления отдельных участков, последовательно упрощая схему, свертывая ее.

Рассмотрим метод свертывания на примере схемы (рис. 2.5).

Смешанное соединение элементов - student2.ru Найдем эквивалентное сопротивление этой цепи методом свертывания.

Свертывание цепи всегда начинают с ветвей, наиболее удаленных от источника. Действительно, если мы рассмотрим участки с сопротивлениями Смешанное соединение элементов - student2.ru ,R4, R5, то не сможем выделить ни последовательного, ни параллельного соединений, тогда как ясно видно, что Смешанное соединение элементов - student2.ru соединены последовательно. Находим их эквивалентное сопротивление

Смешанное соединение элементов - student2.ru .

Смешанное соединение элементов - student2.ru После такой замены схема примет вид (рис. 2.6).

В этой схеме сопротивления Смешанное соединение элементов - student2.ru соединены параллельно, находим

Смешанное соединение элементов - student2.ru .

Схема принимает вид (рис. 2.7).

Далее последовательно находим сопротивления:

Смешанное соединение элементов - student2.ru ; Смешанное соединение элементов - student2.ru ; Смешанное соединение элементов - student2.ru ;

Смешанное соединение элементов - student2.ru .

Определив эквивалентное сопротивление, можно выполнять расчет токов и напряжений электрической цепи.

2.4. Преобразование треугольника сопротивлений

В эквивалентную звезду

В некоторых случаях в электрических цепях существуют такие соединения элементов, которые не поддаются расчетам по методу свертывания, так как не содержат ни последовательно, ни параллельно соединенных элементов. Примером такой схемы может служить мостовая схема (рис. 2.8).

Смешанное соединение элементов - student2.ru Для того чтобы найти эквивалентное сопротивление такой схемы, применяют преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду.

Треугольником сопротивлений называют такое соединение трех элементов, при котором они образуют замкнутый контур, причем между каждой парой элементов имеется узел (рис. 2.9).

Трехлучевой звездой сопротивлений называют такое соединение элементов, при котором одним концом они подсоединены к одному узлу, а другие концы соединяются с остальной цепью (рис. 2.10).

 
  Смешанное соединение элементов - student2.ru

Заменим схему треугольника сопротивлений схемой трехлучевой звезды (рис. 2.11). Обозначим сопротивления звезды Смешанное соединение элементов - student2.ru , а сопротивления треугольника Смешанное соединение элементов - student2.ru . Замена треугольника сопротивлений на трехлучевую звезду будет эквивалентной при условии, что такая замена не изменяет потенциалов узловых точек 1, 2, 3, являющихся вершинами треугольника и концами лучей звезды. Кроме того, такая замена не должна влиять на режим работы остальной части цепи, то есть токи, напряжения и мощности в остальной цепи остаются неизменными.

Докажем возможность такого перехода. Приведенные на рис. 2.11 схемы должны оставаться эквивалентными для любого режима работы цепи. Одним из таких режимов может быть равенство нулю тока I1, что соответствует обрыву общего провода, ведущего к точке 1. Тогда между точками 2 и 3 в схеме треугольника окажутся две параллельные ветви с сопротивлениями R23 и R31 + R12.

Смешанное соединение элементов - student2.ru Общее сопротивление между этими точками определится как

Смешанное соединение элементов - student2.ru .

В схеме звезды между этими точками включено сопротивление R3 + R2.

По условию эквивалентности токи I2 и I3 в обеих схемах равны, напряжения между точками 2 и 3 равны, следовательно, должны быть равны и сопротивления, то есть выполняться равенство

Смешанное соединение элементов - student2.ru .

Положим теперь I2 = 0, получим

Смешанное соединение элементов - student2.ru .

При I3 = 0, получим

Смешанное соединение элементов - student2.ru .

Решая совместно эти три уравнения, получим выражения, связывающие сопротивления трехлучевой звезды с сопротивлениями треугольника

Смешанное соединение элементов - student2.ru ; Смешанное соединение элементов - student2.ru ; Смешанное соединение элементов - student2.ru . (2.1)

Следовательно, треугольник сопротивлений Смешанное соединение элементов - student2.ru можно заменить трехлучевой звездой с сопротивлениями Смешанное соединение элементов - student2.ru .

В некоторых случаях удобнее для расчетов выполнить преобразование звезды в треугольник. Чтобы рассчитать сопротивления сторон треугольника, зная сопротивления лучей звезды, будем исходить из формул (2.1).

Разделим третье уравнение на первое, получим

Смешанное соединение элементов - student2.ru .

Теперь разделим третье уравнение на второе, получим

Смешанное соединение элементов - student2.ru .

Из этих выражение выразим сопротивления R23 и R31 через R12:

Смешанное соединение элементов - student2.ru ; Смешанное соединение элементов - student2.ru .

Подставим эти выражения в первое уравнение:

Смешанное соединение элементов - student2.ru .

Отсюда найдем R12:

Смешанное соединение элементов - student2.ru .

Аналогично можно получить выражения для R23 и R31:

Смешанное соединение элементов - student2.ru ; Смешанное соединение элементов - student2.ru .

Чаще при преобразовании звезды в треугольник пересчитывают не сопротивления, а проводимости ветвей, пользуясь формулами:

Смешанное соединение элементов - student2.ru ; Смешанное соединение элементов - student2.ru ; Смешанное соединение элементов - student2.ru ,

где g1, g2, g3 – проводимости лучей звезды, g12, g23, g31 – проводимости сторон треугольника.

Контрольные вопросы и задания

1. Какое соединение элементов называется последовательным?

2. Каким правилам подчиняются ток и напряжение при последовательном соединении элементов?

3. Как определить эквивалентное сопротивление при последовательном соединении?

4. Какое соединение элементов называется параллельным?

5. Каким правилам подчиняются ток и напряжение при параллельном соединении элементов?

6. Как определить эквивалентное сопротивление и эквивалентную проводимость при параллельном соединении?

7. Какое соединение элементов называется смешанным?

8. Каким правилам подчиняется цепь при смешанном соединении?

9. В чем состоит метод свертывания цепи?

10. Опишите порядок свертывания цепи.

11. Дайте определение треугольника сопротивлений и трехлучевой звезды сопротивлений.

12. При каких условиях замена одного участка электрической цепи другим будет эквивалентной?

Наши рекомендации