Геометрический смысл основных понятий
Дифференциальное уравнение первого порядка геометрически представляет собой поле направлений касательных к интегральным кривым.
Общее решение − однопараметрическое семейство интегральных кривых , где C − параметр.
Решения, получающиеся из общего решения при определенном значении произвольной постоянной C, называется частными.
График всякого решения данного дифференциального уравнения, построенный на плоскости , называется интегральной кривой этого уравнения.
Частное решение уравнения − интегральная кривая , угловые коэффициенты касательных к которой определяются данным дифференциальным уравнением. Задача нахождения частного решения, удовлетворяющего начальным условиям (другая запись или ), называется задачей Коши.
Пример. Пусть дано дифференциальное уравнение .
Что есть что?
1) Дифференциальное 2) Общее решение 3) Частное решение
уравнение
у y у
Интегральная кривая,
соответствующая начальному
условию .
Рис. 10.
2. Рассмотрим методы нахождения решений дифференциальных уравнений 1-го порядка. Отметим, что общего метода нахождения решений не существует. Обычно рассматривают типы уравнений, и для каждого из них находят свой способ нахождения решения.
Уравнения с разделяющимися переменными. Уравнение вида
, (6.1)
где, − непрерывные функции, называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.
Для отыскания решения уравнения (6.1) нужно, как говорят, разделить в нем переменные. Для этого
1. заменим в (6.1) ,
2. умножим обе части уравнения ,
3. разделим обе части уравнения .
Тогда уравнение принимает вид
Тогда уравнение принимает вид
. (6.2)
В этом уравнении переменная x входит только в правую часть уравнения, а переменная y − только в левую часть. Следовательно, переменные разделены. Далее необходимо проинтегрировать уравнение (6.2) и записать общий интеграл (решение).
Однородные дифференциальные уравнения. Функция называется однородной функцией измерения k относительно аргументов x и y если равенство справедливо для любого числа , при котором функция определена, .
Например, функция является однородной четвертого измерения , так как
.
Если , то функция будет однородной нулевого измерения, т.е.
.
Дифференциальное уравнение в нормальной форме
(6.3)
называется однородным относительно переменных x и y, если - однородная функция нулевого измерения относительно своих аргументов.
Так как однородное дифференциальное уравнение (6.1) в нормальной форме всегда можно записать в виде , то, положив , получим . Следовательно, уравнение (6.3) с помощью замены сводится к уравнению с разделяющимися переменными относительно x и новой функции .