Классическое определение вероятности, нахождение числа элементов в множествах комбинаторными методами. геометрические вероятности

Пусть множество элементарных исходов W конечно и наступление всех исходов при испытании равновозможно (или равновероятно). Тогда вероятность наступления любого события может быть найдена по формуле

, (2.1)
где Р(А) - вероятность А,

- число элементов во множестве X (или мощность X).

Равенство (2.1) часто называется «классическим» определением вероятности.

Рассмотрим другой случай – множество W может быть представлено в виде некоторой области в n-мерном пространстве (Rⁿ), а
элементарные исходы w – в виде точек Rⁿ. Пусть m – мера в Rⁿ (длина в
случае, когда W часть прямой R¹, площадь, когда W часть плоскости R² и
т.д.).

Пусть при проведении испытания вероятность того, что наступит элементарный исход из множества А, зависит только от меры ,но не зависит от местоположения А в W . Тогда вероятность каждого события А может быть найдена по формуле

(2.2)

Для вычисления вероятности по классическому определению (2.1) не обязательно непосредственно выписывать W и А, а достаточно только определить число элементов в этих подмножествах. Для этого часто используются методы комбинаторики. Один из них – метод или принцип умножения.

Пусть имеется k групп элементов, причем в первой содержится n₁ различных элементов, во второй – n₂,..., в k-ой n_k. Из каждой группы извлекают по одному элементу и получают некоторую последовательность. Общее число различных последовательностей N дается равенством

(2.3)
Рассмотрим теперь некоторое множество Z, состоящее из n
элементов. Выборка без возвращения объема k из множества Z
образуется следующим образом: сначала извлекается некоторый элемент
Z₁ из Z, затем из оставшихся - некоторый Z₂ и т.д., до Zn. Общее число
различных выборок (Z₁ , Z₂, ...,Z_n) обозначается и дается формулой

(2.4)

Подчеркнем, что две выборки, считаются различными, если они отличаются составом или порядком элементов.

Число всевозможных выборок объема k из множества, состоящего из n элементов и отличающихся только составом, обозначается через и дается равенством

(2.5)

Величина называется числом размещений из n элементов по k, – числом сочетаний из n по k.

ЗАДАЧИ

1. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры. Помня лишь, что эти две цифры различны, набрал их наугад. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

2. В урне 15 шаров: 5 белых и 10 черных. Какова вероятность вынуть из урны синий шар?

3. В урне находится 15 шаров, из них 9 красных и 6 синих. Найти вероятность того, что два наугад вынутых шара окажутся красными?

4. Какова вероятность выпадения герба по крайней мере один раз при двукратном бросании монеты?

5. В кошельке лежит 3 монеты достоинством 20 коп. и 7 монет достоинством 3 коп. Наугад берется одна монета, затем другая. Первая оказалась 20 коп. Определить вероятность того, что вторая тоже 20 коп.

6. Брошены три монеты. Найти вероятность того, что герб выпадет два раза.

7. Вероятность соединения при вызове 0,8. Найти вероятность того, что соединение будет только при третьем вызове.

8. На шахматную доску ставятся две ладьи разного цвета. С какой вероятностью они будут «бить» друг друга.

9. Имеются карточки с буквами Б, Р, К, А. Найти вероятность того, что при случайном раскладывании карточек получится осмысленное слово, т.е. БРАК, КРАБ, БАРК.

10. Из урны, содержащей 10 белых и 5 черных шаров одновременно извлекаются три шара. Событие А состоит в том, что все шары белые, событие В - шары одного цвета. Проверить, совместны ли события А и В и найти их вероятность.

11. У четырех случайно выбранных студентов спрашивают день рождения. Событие А - у всех день рождения приходится на один день недели. Событие В - дни рождения в разные дни недели. Выяснить, совместны ли эти события и найти вероятности А и В.

12. Некто носит в кармане 3 трехкопеечные монеты и 4 монеты 20-ти копеечные. У киоска он достает три монеты из кармана. Найти вероятность того, что у него окажется не меньше 40 копеек.

13. В урне 20 белых, 20 черных и 20 красных шаров. Последовательно извлекают три шара. Событие А- все шары одного цвета, событие В - все разного цвета. Проверить совместны ли события А и В и найти их вероятность.

14. В лотерее 2000 билетов. На один билет выпадает выигрыш 100 руб., на 4 билета – выигрыш по 50 руб., на 10 билетов – выигрыш по 20 руб., на 20 билетов - выигрыш по 10 руб., на 165 билетов - выигрыш по 5 руб., на 400 билетов выигрыш по 1 руб. Остальные билеты невыигрышные. Какова вероятность выиграть по билету не менее 10 руб.?

15. В комплекте из 10 резисторов 4 бракованных. Найти вероятность: а) взять бракованный резистор, б) взять исправный резистор,

в) того, что два наугад выбранных резистора окажутся исправными,

г) того, что из двух выбранных резисторов, один бракованный, один исправный.

16. Каждая из букв слова «интеграл» написана на одной из восьми карточек. Карточки перемешиваются. Какова вероятность того, что: а) при вытягивании трех карточек в порядке их выхода появится слово «три», б) из первых четырех можно составить слово «трал».

17. На десяти одинаковых карточках написаны все цифры от 0 до 9. Наудачу выбираются одна за другой две карточки. Определить вероятность того, что получится число, делящееся на 18. Какова вероятность того, что при выборе трех карточек в порядке выхода полученное число делится на 123?

18. Случайно выбранная кость домино не была дублем. Найти вероятность того, что вторую так же наудачу взятую кость можно приставить к первой.

19. Из 33 карточек с буквами русского алфавита наудачу выбирается пять. Какова вероятность того, что из них можно составить слово «буква»?

20. Из колоды, в которой 52 карты, наугад извлекают три. Какова вероятность того, что это будут тройка, семерка, туз ? (Порядок извлечения не учитывается).

21. Буквенный замок содержит на общей оси 4 диска, каждый из которых разделен на 6 секторов, отличающихся буквами. Замок открывается только в случае, когда образована определенная буквенная комбинация из четырех букв. Какова вероятность открыть замок, установив произвольную комбинацию ?

22. Среди 16 деталей 4 нестандартных. Какова вероятность, что из четырех наугад взятых деталей две нестандартные ?

23. В партии 100 деталей, среди которых 30 нестандартных. Выбираются три детали. Какова вероятность того, что среди них одна нестандартная ?

24. Устройство состоит из пяти элементов, из которых два изношены. При включении устройства включаются случайным образом два элемента. Найти вероятность того, что включенными окажутся неизношенные элементы.

25. В коробке пять одинаковых изделий, три из которых окрашены. Найти вероятность того, что среди 2 извлеченных окажутся: а) одно окрашенное; б) два окрашенных; в) хотя бы одно окрашенное.

26. В группе 15 студенток и 10 студентов. На дежурство в столовой по жребию отобрали 3 человека. Найти вероятность того, что там окажутся студенты разного пола.

27. Из ящика, содержащего шары с номерами 1, 2, 3, 4, 5 поочередно извлекают три шара. Рассматриваются событие А, состоящее в том, что их номера образуют число, меньшее 300, и событие В - номера образуют число, кратное 5. Проверить, совместные ли события А и В. Найти их вероятность.

28. Двум близнецам купили две пары одинаковых спортивных туфель. Собираясь на тренировку каждый из них взял не глядя две туфли. Найти вероятность того, что у каждого окажется пара туфель, т.е. одна правая и одна левая.

29. Рассматриваются три последние цифры случайно выбранного телефонного номера. Событие А - первая цифра больше четырех, события В - все цифры нечетные, событие С - сумма всех цифр меньше двух. Проверить, совместны ли события А и В и события А и С. Найти вероятность событий А, В, С.

30. Из колоды в 36 карт случайно извлекли четыре. Найти вероятность того, что среди них не меньше трех тузов.

31. В шахматном турнире участвует 10 человек, которые будут распределены по жребию для игры в двух группах по 5 человек. Какова вероятность того, что четыре наиболее сильных игрока попадут в разные группы (по два в каждую) ?

32. Телефонная линия, соединяющая два пункта, отстоящих друг от друга на расстоянии 2 км, порвалась в неизвестном месте. Чему равна вероятность того, что линия порвалась не далее, чем на 450 м. от первого пункта ?

33. Два лица договорились о встрече в условленном месте между 12 и 13 часами. Пришедший первым ждет товарища 20 мин, а затем уходит. Какова вероятность того, что встреча произойдет, если приход каждого из них в течение указанного часа произволен и моменты прихода независимы?

34. Корабль длиной 200 м, шириной 20 м имеет четыре круглые башни диаметром 4,3 м каждая. Форма палубы корабля эллиптическая. Найти вероятность поражения хотя бы одной из башен авиабомбой, попавшей в корабль, если попадание в любую точку корабля равновозможно. Высота башен не учитывается.

35. Сигнал воздушного оповещения от радиолокационного поста может появиться с одинаковой вероятностью в любой момент времени между t₁ и t₂ Найти вероятность того, что он появится в интервале (t₁, t₂), полагая t₁<t₁<t₂<t₂ Сигнал считать точечным.

36. В некоторый круг вписан квадрат. Зная, что попадание точки в круг достоверно, найти вероятность попадания точки в квадрат.

З7. Найти вероятность того, что сумма двух наугад взятых положительных

правильных дробей не больше единицы, а их произведение не больше ?

38. На экране локатора квадратной формы появились два объекта. Найти вероятность того, что расстояние между ними превышает 1 см (в этом случае столкновение невозможно). Каждая сторона экрана равна 20 см.