Привести постановку транспортной задачи.

Классическая постановка транспортной задачи общего вида такова.

Имеется m пунктов отправления («поставщиков») и n пунктов потребления («потребителей») некоторого одинакового товара. Для каждого пункта определены: ai – объемы производства i -го поставщика, i = 1, …, m; вj – спрос j-го потребителя, j= 1,…,n; сij – стоимость перевозки одной единицы продукции из пункта Ai– i-го поставщика, в пункт Вj – j-го потребителя.

Для наглядности данные удобно представлять в виде таблицы, которую называют таблицей стоимостей перевозок.

Требуется найти план перевозок, при котором бы полностью удовлетворялся спрос всех потребителей, при этом хватало бы запасов поставщиков и суммарные транспортные расходы были бы минимальными. Под планом перевозок понимают объем перевозок, т.е. количество товара, которое необходимо перевезти от i-го поставщика к j-му потребителю. Для построения математической модели задачи необходимо ввести m·n штук переменных хij, i= 1,…, n, j= 1, …, m, каждая переменная хij обозначает объем перевозок из пункта Ai в пункт Вj. Набор переменных X = {xij} и будет планом, который необходимо найти, исходя из постановки задачи. Ограничения задачи примут вид

Это условие для решения закрытых и открытых транспортных задач (ЗТЗ). Очевидно, что для разрешимости задачи 1 необходимо, чтобы суммарный спрос не превышал объема производства у поставщиков:

Если это неравенство выполняется строго, то задача называется «открытой» или «несбалансированной», если же , то задача называется «закрытой» транспортной задачей, и будет иметь вид (2):

– условие сбалансированности. Это условие для решения закрытых транспортных задач В силу ограничений (2) нетрудно увидеть, что ЗТЗ является задачей ЛП и может быть решена симплекс-методом после приведения ее к специальному виду. Но структура системы ограничений имеет некоторою специфику, а именно: каждая переменная х ij входит ровно два раза в неравенства системы, и все переменные входят в неравенства системы с коэффициентом 1. В силу этой специфики существует более простой метод решения, называемый методом потенциалов, который, по сути, является некоторой модификацией симплекс-метода. По-прежнему идеей является переход от одного опорного плана к другому, обязательно «лучшему» с точки зрения значения целевой функции. Каждому опорному плану также соответствует своя распределительная таблица. Переход осуществляется от одного плана к другому, пока полученный план не будет удовлетворять условию оптимальности. Необходимо научиться строить первоначальный опорный план. В качестве первоначального плана годится любое решение системы уравнений (2). Заметим, что это система линейных уравнений, состоящая из m + n уравнений с m*n неизвестными. Можно доказать, что линейно независимых уравнений в системе (2) m + n – 1, ввиду условия сбалансированности, т.е. базисных переменных должно быть m + n– 1. Итак, в качестве плана будем представлять себе таблицу размера m ∙ n, в которой должно быть занято m + n – 1 клеток, отвечающих базисным переменным xij. (ЗТЗ).

3)Решить задачу методом Рунге – Кутта ,

классическим методом Рунге–Кутта на отрезке [0; 0,4]. Найти решение на равномерной сетке с шагом 0,1 в четырёх узловых точках. Решение. Так как , то согласно формулам (8.8) получаем

для значений Полагая последовательно находим · при

Далее получаем при

Погрешность полученного решения не превышает величины