Комбинированные взаимноортогональные квадраты

Этот метод является одним из способов планирования однофакторных экспериментов с ограничением на рандомизацию.

Исторические истоки метода восходят к числовым комбинаторным задачам. Так, Л. Эйлером в 1779 году рассматривалась задача о возможности построения 36 офицеров в каре так, чтобы в каждом ряду и в каждой шеренге было бы по одному офицеру каждого полка и каждого чина. Эйлер предположил невозможность такого строя.

Исходной для построения плана является квадратная таблица, содер-жащая «N» строк и «n» элементов, в которой любой из элементов встречается в каждой строчке и в каждом столбце один и только один раз. Латинским квадрат называют в связи с тем, что комби-нации элементов внутри него обозначают буквами латинского алфа-вита (рис. 2.2).

Два латинских квадрата (рис.2.3,а,б) ортогональны, если при наложении одного квадрата на другой каждая пара элементов встречается в таблице только один раз (рис.2.3,в).

а) б) в)

Рис. 2.3. Ортогональные латинские квадраты 4´4

Перестановка строк, столбцов или буквенных символов преобразует любой латинский квадрат в новый. Для квадрата 2´2 возможны два варианта (рис.2.4), 3´3 – 12 вариантов, 4´4 – 576, 5´5 – 161280.

Для некоторых (не всех) латинских квадратов можно построить второй квадрат, ортогональный первому. То есть каждая буква этого нового квадрата встречается не только один раз в каждой строке и один раз в каждом столбце, но также один раз с каждой буквой латинского квадрата. Это ортогональные квадраты более высокого порядка, греко-латинские (рис. 2.5). Пример их использования понятен из следующего примера. Пусть I–V – варианты технологического процесса, 1–5 – тип детали, А–Д – способ контроля, а а–d – чувствительность прибора. Здесь одновременно будут исследованы два множества: способ контроля и чувствитель-ность прибора.

Всю массу различных экспериментов Ф. Анскомб (1948 г.) условно разделил на две группы:

- оценивание величин констант;

- сравнительные эксперименты.

Комбинаторика латинских квадратов используется чаще всего для экспериментов сравнительного типа.

Описанный метод планирования экспериментов при исследовании влияния данного фактора на изучаемый объект обеспечивает гарантированное усреднение влияния всех остальных факторов. Кроме того, этот метод позволяет сократить общее количество опытов в n^m–2 раз. Здесь m – число переменных факторов, а n – количество уровней каждого фактора.

Как и в предыдущем случае, существенна роль рандомизации. В.Кохрен и Ж. Кокс счи-тают рандомизацию аналогом страхования. Зло возникает редко, но если оно возникло, его нужно компенсировать.Говоря при рассмотрении клас-сического эксперимента о рандомизации, мы уже сводили эксперименты в блоки – комбинации строк и столбцов.

Латинский квадрат является расположением элементов, позволяю-щим учитывать два множества блоковых ограничений (строки и столбцы), которые должны быть использованы одновременно. Например, квадрат 4´4 на рис.2.3,а.

Достоинствами планирования экспериментов по латинским квадратам в сравнении с классическим являются:

- сокращение количества экспериментов;

- возможность исследования некоторых многофакторных систем.

К недостаткам метода можно отнести:

- отсутствие статистически обоснованных результатов (выход зависит от неконтролируемых факторов);

- ограниченная область применимости (невозможность построить ортогональные квадраты 6´6);

- несовершенство методов построения эмпирических моделей.

Рассмотрим подробно формализованную рабочую методику планирования рационального эксперимента по ортогональным латинским квадратам.

1. Задаёмся параметром выхода исследуемого объекта.

у – параметр выхода.

2. Выбираем количество переменных факторов, влияющих на выход.

m = 4 (a, b, c, d).

3. Задаём число уровней каждого фактора.

n = 3.

4. Строим вспомогательную таблицу – большой комбинационный квадрат с количеством всех возможных комбинаций опытов 3⁴ = 81, т.е. имеется 81 клетка – потенциальный опыт.

Это число можно сократить в 3^4–2 = 9 раз, и количество опытов будет равно 9 (рис.2.6).

Рис.2.6.Большой комбинационный квадрат

. Строим план эксперимента.

Используем способ, заключающийся в размещении диагональных клеток отдельного среднего квадрата в столбцах и строках большого комбинационного квадрата.

.1. Строим средний квадрат и нумеруем его клетки слева направо, сверху вниз.

2. Достраиваем его наддиагональным рядом сверху (2; 4) и поддиагональным рядом снизу (6; 8).

3. Считываем последовательно диагональные ряды, как показано на схеме:

1-й ряд – средняя диагональ сверху вниз, слева направо – 1, 5, 9;

2-й ряд – средняя диагональ снизу вверх – 7, 5, 3;

3-й ряд – под диагональю сверху вниз – 2, 7, 6;

4-й ряд – над диагональю сверху вниз – 4, 3, 8.

4. Заносим ряды цифр в большой комбинационный квадрат (рис.5.7) в следующем порядке:

1-й ряд – в средний (второй) столбец сверху вниз;

2-й ряд – в среднюю (вторую) строку слева направо;

3-й ряд – в левый (крайний) столбец снизу вверх;

4-й ряд –в правый (крайний) столбец снизу вверх.

	a
c	d	b

Рис. 2.7. Вариант заполнения комбинационного квадрата

Причём, каждая цифра ставится в ту клетку одного среднего квадрата, номер которой соответствует этой цифре (нумерация клеток в подпункте 1). При этом в каждом столбце и в каждой строке большого квадрата должна быть только одна занятая клетка.

5 Выполняем проверку на независимость изменения факторов.

	а = 1	а = 2	а = 3		с = 1	с = 2	с = 3
b	3, 1, 2	1, 2, 3	2, 3, 1	a	1, 2, 3	1, 2, 3	1, 2, 3
с	1, 2, 3	1, 2, 3	1, 2, 3	b	3, 1, 2	1, 2, 3	2, 3, 1
d	2, 3, 1	1, 2, 3	3, 1, 2	d	2, 1, 3	3, 2, 1	1, 3, 2

Недостатком построенного комбинационного квадрата является монотонное изменение уровней нескольких факторов (для ряда частей квадрата), приводящее к утрате независимости изменения факторов.

6 Преобразуем комбинационный квадрат.

6.1. Переставим 1-ю и 3-ю строки (по с), рис 2.8,а.

.6.2. Переставим 1-й и 3-й столбцы (по а), рис. 2.8,б.

	a
c	d	b

а)

	a
c	d	b

б)

Рис.2.8. Преобразованный комбинационный квадрат

6.3. Выполним проверку.

	а = 1	а = 2	а = 3		с = 1	с = 2	с = 3
b	1, 3, 2	3, 2, 1	2, 1, 3	a	1, 2, 3	1, 2, 3	1, 2, 3
с	1, 2, 3	1, 2, 3	1, 2, 3	b	1, 3, 2	3, 2, 1	2, 3, 1
d	2, 1, 3	3, 2, 1	1, 3, 2	d	2, 3, 1	1, 2, 3	3, 1, 2

Получим удовлетворительный план в виде заштрихованных клеток комбинационного квадрата, рис.2.9.

	a
c	d	b

Рис2.9. План эксперимента

При этом для каждого значения одного фактора значения других встречаются одинаково часто.

Например:

для для

Поэтому при определении зависимости выхода от фактора «а» в виде влияние факторов «b», «с», «d» усредняется.

7 Строим матрицу планирования, выписывая условия эксперимента (уровни всех факторов) из большого квадрата по строкам или столбцам, и реализуем эксперимент (табл.2.2).

Таблица 2.2

Матрица плана эксперимента

№ п/п	Уровни факторов	Выход
а	b	с	d	yi
					y1
					y2
					y3
					y4
					y5
					y6
					y7
					y8
					y9