Реологические модели фильтрующихся жидкостей и нелинейные законы фильтрации

Течение ньютоновской жидкости описывается законом Ньютона:

, (17.1)

где m – динамический коэффициент, t – касательное напряжение; du/dy – градиент скорости в направлении х, перпендикулярном направлениютечения жидкости.

Зависимость между t и du/dy является в этом случае прямой линией, проходящей через начало координат (рисунок 17.1, кривая 2).

Жидкости, не подчиняющиеся закону трения (17.1), называются аномальными или неньютоновскими. Их можно подразделить на три класса.

1. Неньютоновские вязкие жидкости, для которых касательное напряжение зависит только от градиента скорости (стационарно реологические жидкости):

. (17.2)

Рисунок 17.1 – Зависимость касательного напряжения от градиента скорости: 1 – дилатантная жидкость, 2 – ньютоновская жидкость, 3 – псевдопластичная жидкость, 4 – вязкопластичная жидкость

2. Жидкости, для которых связь между t и du/dy зависит от времени действия напряжений (нестационарно реологические жидкости), т. е. :

. (17.3)

3. Вязкоупругие жидкости, т. е. среды, обладающие свойствами как твердого тела, так и жидкости, а также способные к частичному восстановлению формы после снятия напряжений. Для таких сред зависимость между касательными напряжениями и градиентом скорости включает производные по времени напряжений и градиента скорости.

Среди неньютоновских жидкостей первого класса, описываемых уравнением (17.2), можно выделить три типа.

1. Вязкопластичные жидкости (ВПЖ), для которых уравнение (17.2) имеет вид:

при t > t₀ , (17.4)

при t £ t₀.

Графическое представление этой зависимости, называемое реологической кривой (или «кривой течения»), приведено на рисунке 17.1 (кривая 4). В равенство (17.4), кроме коэффициента вязкости m, входит также постоянная t₀,называемая начальным (или предельным) напряжением сдвига. Считается, что при t £ t₀ жидкость ведет себя как твердое тело и течение отсутствует. Это объясняется наличием у покоящейся вязкопластичной жидкости пространственной жесткой структуры, сопротивляющейся любому напряжению t, меньшему t₀. Когда t становится больше t₀, структура разрушается.

2. Псевдопластичные жидкости. Эксперименты показали, что для ряда сред связь между напряжением сдвига и градиентом скорости в логарифмических координатах оказывается на некотором участке линейной. Угловой коэффициент, соответствующей прямой, заключен между 0 и 1. Поэтому для описания таких сред используется степенная зависимость:

, (n < 1), (17.5)

где k и n постоянны для данной жидкости; коэффициент k – мера консистенции жидкости; отличие показателя n от единицы характеризует степень отклонения данной жидкости от ньютоновской.

Типичная реологическая кривая псевдопластичной жидкости приведена на рисунке 17.1 (кривая 3). Модель псевдопластичной жидкости применяется, в частности, для описания движения растворов и расплавов полимеров.

Введем понятие кажущейся вязкости m_* как отношения касательного напряжения к градиенту скорости:

.

Для псевдопластичной жидкости, как следует из (17.5), эта величина и так как n < 1, то m_* убывает с возрастанием градиента скорости.

3. Дилатантные жидкости описываются степенным уравнением (17.5), но при n > 1. Кривая течения представлена на рисунке 17.1 (кривая 1). У этих жидкостей кажущаяся вязкость m_* увеличивается с возрастанием градиента скорости. Модель дилатантной жидкости хорошо описывает свойства суспензий с большим содержанием твердой фазы.

В зависимости от вида неньютоновской жидкости по разному записывается и закон фильтрации. Так закон фильтрации вязкопластичной жидкости в пористой среде записывается в виде:

u > 0; (17.6)

, u = 0,

где – предельный (начальный) градиент.

В соответствии с (17.6) скорость фильтрации u отлична от нуля только в тех областях, где ½gradp½>g (рисунок 17.2, кривая 1). Модель фильтрации с предельным градиентом следует рассматривать как некоторую идеализацию реальных течений аномальных нефтей в пластовых условиях, для которых реологическая кривая имеет вид кривой 2 на рисунке 17.2. Для сравнения на рисунке 17.2 показана линия 3 для течения по закону Дарси.

Рисунок 17.2 – Индикаторные линии: 1 – линейная аппроксимация ньютоновской жидкости; 2 – реальная ньютоновская жидкость, 3 – течение по закону Дарси

В пористой среде, состоящей из множества микрокапилляров различных диаметров, при снижении перепада давления начинается постепенное «закупоривание» капилляров. Вначале движение прекращается в наиболее мелких капиллярах (порах), а по мере снижения давления происходит закупоривание все больших и больших капилляров. Чем сильнее разброс размеров пор, тем больше растянут переход к полному прекращению движения и тем сильнее отличается истинный закон фильтрации от соотношения (17.6).

В основе проявления неньютоновских свойств пластовых систем лежат различные физические механизмы. Важно, однако, что неньютоновские эффекты проявляются при малых скоростях фильтрации и в средах с малым размером пор, т. е. с малой проницаемостью. Это определяет особенности неньютоновской фильтрации в неоднородных пластах. Области малой проницаемости оказываются областями наибольшего проявления неньютоновских эффектов.

Так в пластах со слоистой неоднородностью предельные градиенты различны для разных пропластков – чем больше проницаемость, тем меньше предельный градиент g, и наоборот. В связи с этим пропластки будут включаться в работу последовательно. Если g₁ >½grad р½, то движение отсутствует во всем пласте. Если g₁<½grad р½<g ₂, то фильтрация будет только в первом пропластке и т. д.

Наряду с рассмотренным законом фильтрации (17.6), описывающим течение вязкопластичной жидкости в пористой среде, рассматривают степенной закон фильтрации:

, (17.7)

где С – экспериментальная константа; n > 0.

Этот степенной закон, соответствующий псевдопластичному флюиду (17.5), хорошо описывает движение растворов полимеров в пористой среде и используется при расчете «полимерного» заводнения пластов с целью повышения их нефтеотдачи.