Вывод основного уравнения упругого режима

Считаем пласт упругим, горизонтальным и большой протяженности (неограниченных размеров). При этом движение жидкости в пласте к единственной скважине будет плоскорадиальным к точечному стоку (эксплуатационная скважина) или от точечного источника (нагнетательная скважина).

Рассмотрим процесс перераспределения давления при неустановившемся плоском радиальном движении жидкости. Запишем уравнение пьезопроводности в цилиндрической системе координат:

. (12.12)

Если возмущение вызвано мгновенным стоком, существовавшим в момент t = t^/ , то решение уравнения (12.12) имеет вид:

, (12.13)

где А и С– некоторые постоянные.

Найдём значения постоянных. Для этого будем считать, что в момент времени t = t^/ давление в пласте было р = р_к = const. Тогда при r > 0 , а также и при t = t^/ второй член правой части обращается в неопределённость типа ¥ / ¥ и определяется по правилу Лопиталя, что даёт С = р_к.Таким образом:

. (12.14)

Для определения коэффициента А воспользуемся соотношением (12.4), определяющим объём высвобождающейся жидкости из кольцевого элемента пласта с внутренним радиусом r, толщиной hи шириной dr, а также учтем падение давления Dр = p_{к –} p по (12.14):

dt_з=b^*Dрdt₀= . (12.15)

После интегрирования (12.15) в пределах от 0 до ¥ получим объём

жидкости t₂, выделившейся из всего пласта и, следовательно, определим коэффициент А:

. (12.16)

Итак, в случае скважины, введенной в неограниченный пласт в некоторый (начальный) момент времени и действующей мгновенно, изменение давления во времени определяется соотношением:

. (12.17)

Если скважина была введена в некоторый момент времени и действовала непрерывно с постоянным дебитом Q = Q₀ в течении времени dt^/, то за этот промежуток времени через сток выделяется из пласта объём dt₂ = Q dt^/ и, следовательно, из (12.17) получаем:

. (12.18)

Интеграл правой части носит название интегральной показательной функции:

(12.19)

С учетом последнего обозначения решение для изменения давления запишется в виде:

. (12.20)

Формула (12.20) является основной формулой теории упругого режима пласта.

Интегральная показательная функция имеет вид (рисунок 12.1) и обладает следующими свойствами:

-Ei(-u) увеличивается от 0 до ¥ при уменьшении аргумента uот ¥ до 0 ;

функция -Ei(-u) представляется в виде сходящегося ряда:

(12.21)

Рисунок 12.1 – График интегральной показательной функции

Для малых значений u < 0,1 можно принять:

(12.22)

Погрешность применения (12.22) не превышает 0,25 % при u < 0,01; 5,7 % при u < 0,1. Кроме того:

. (12.23)

С учетом соотношения (12.21) основное уравнение (12.20) перепишется в виде:

. (12.24)

Полученную зависимость можно использовать при числе Фурье с погрешностью не превышающей 0,6 %. Это означает, что уже через 1 с после пуска скважины расчеты забойного давления, выполненные по формуле (12.24), будут иметь погрешность не превышающую 0,6 %. Формулу (12.24) можно использовать и для расчета падения давления в конечном пласте. Погрешность расчета давления при этом не превышает 1 % , если r_к > 1000 r_c и fo < 3,5^.10⁵ или Fo < 0,35.

Рассмотрим пьезометрические кривые для бесконечного пласта, который эксплуатируется скважиной радиуса r_cc постоянным дебитом Q₀ (рисунок 12.2). Для точек вблизи забоя можно пользоваться формулой (12.24). Дифференцируя её по координате r, найдём градиент давления:

. (12.25)

Из этой формулы следует, что градиент давления для значений r, удовлетворяющих неравенству r² << 0,03^.4k t, практически не зависит от времени и определяется по той же формуле, что для установившейся плоскорадиальной фильтрации несжимаемой жидкости. Для указанных значений rпьезометрические кривые представляют собой логарифмические линии (рисунок 12.2). Углы наклона касательных на забое скважины одинаковы для всех кривых.

Рисунок 12.2 – Пьезометрические кривые при пуске скважины в бесконечном пласте с постоянным дебитом