Решение системы ОДУ в одной точке
Зачастую при решении дифференциальных уравнений требуется определить значения искомой функции не на всем интервале (t0,t1), а только в одной его последней точке. Известно, что для широкого класса ОДУ одна и та же система при разных начальных условиях при tg∞ приходит в одну и ту же точку (аттрактор). Поэтому часто нужно определить именно эту точку.
Такая задача требует меньше ресурсов компьютера, чем решение системы ОДУ на всем интервале, поэтому MathCAD имеет модификации встроенных функций Rkadapt и Bulstoer. Они имеют несколько другой набор параметров и работают быстрее своих аналогов:
- rkadapt(y0,t0,t1,acc,D,k,s) –метод Рунге-Кутты с переменным шагом;
- bulstoer(y0,t0,t1,acc,D,k,s) –метод Булирша-Штера.
Здесь y0 – вектор начальных значений в точке t0; t0,t1 – начальная и конечная точки расчета; acc – погрешность вычисления (чем она меньше, тем с лучший точностью будет найдено решение; рекомендуется выбирать значения погрешности в районе 0.001); D – векторная функция, задающая систему ОДУ;k - максимальное число шагов, на которых численный метод будет находить решение; s– минимально допустимая величина шага.
Вместо числа шагов на интервале интегрирования ОДУ в этих функциях необходимо задать точность расчета численных методов значения функции в этой точке. Количество шагов и их расположение определяются численным методом автоматически, чтобы обеспечить эту точность. Два последних параметра нужны для того, чтобы пользователь мог искусственно повлиять на разбиение интервала на шаги. Параметр k служит для того, чтобы шагов не было чрезвычайно много, причем нельзя сделать k>1000. Параметрs – для того, чтобы ни один шаг не был слишком малым для появления больших погрешностей при разностной аппроксимации дифференциальных уравнений внутри алгоритма. Эти параметры следует задавать явно, исходя из свойств конкретной системы ОДУ. Как правило, проведя ряд тестовых расчетов, можно подобрать их оптимальный набор для каждого конкретного случая.
Задание 6. Реализуйте следующий пример и проанализируйте полученные результаты.
Самостоятельно попробуйте использовать альтернативный метод, заменив функцию bulstoerнаrkadapt.Постройте фазовые портреты системы.
Приложения
Приложение 1. Встроенные функции и операторы
Таблица 1. Арифметические операторы
| Оператор | Клавиши | Скаляр | Вектор | Матрица |
| := | : | Присваивание | ||
| ≡ | ~ | Глобальное присваивание | ||
| = | = | Численный вывод | ||
| g | Ctrl = | Символьный вывод | ||
| + | + | Сложение | ||
| - | - | Вычитание | ||
| · | * | Умножение | Матричное умножение, умножение на скаляр | |
| Скалярное произведение | ||||
| × либо / | Ctrl 8 Либо / | Деление | ||
| ! | ! | Факториал | ||
| \ | Квадратный корень | |||
| Ctrl \ | Корень n-й степени | |||
| xn | [ | Нижний индекс | ||
| MT | Ctrl 1 | Транспонирование | ||
| |x| | Shift \ | Модуль | Модуль вектора | Определитель |
| Ctrl 4 | Сумма элементов | |||
| x-1 | Обратная величина | Обратная матрица | ||
| xy | ^ n | Возведение в степень n | ||
| g F(M) | Ctrl - | Векторизация (Задать вектор) | ||
| M<> | Ctrl 6 | Выделение столбца |
Таблица 2. Вычислительные операторы
| Оператор | Клавиши | Описание |
| Ctrl I | Неопределенный интеграл | |
| Shift 7 | Определенный интеграл | |
| ? | Дифференцирование | |
| Ctrl ? | Вычисление n-й производной | |
| Ctrl Shift 4 | Суммирование | |
| Ctrl 4 | Сумма ранжированной переменной | |
| Ctrl Shift 3 | Произведение | |
| Ctrl 3 | Произведение ранжированной переменной | |
| lim ga | Ctrl L | Предел |
| lim ga+ | Ctrl A | Левый предел |
| lim ga- | Ctrl B | Правый предел |
Встроенные функции
Таблица 3. Встроенные математические функции
| Функции | Аргументы | Описание |
| Тригонометрические функции: sin(x) cos(x) tan(x) cot(x) sec(x) csc(x) | x - аргумент | Синус Косинус Тангенс Котангенс Секанс Косеканс |
| Обратные тригонометрические функции: asin(x) acos(x) atan(x) | x - аргумент | Арксинус Арккосинус Арктангенс |
| Показательная функция: exp(x) | x - аргумент | Экспонента в степени х |
| Логарифмические функции: ln(x) log(x) | x - аргумент | Натуральный логарифм по основанию e Десятичный логарифм (по основанию 10) |
| Гиперболические функции: sinh(x) cosh(x) tanh(x) coth(x) sech(x) csch(x) | x - аргумент | Гиперболический синус Гиперболический косинус Гиперболический тангенс Гиперболический котангенс Гиперболический секанс Гиперболический косеканс |
| Обратные гиперболические функции: asinh(x) acosh(x) atanh(x) | x - аргумент | Обратный гиперболический синус Обратный гиперболический косинус Обратный гиперболический тангенс |
| Функции комплексного аргумента: re(x) im(x) arg(x) | x – аргумент функции | Действительная часть комплексного числа Мнимая часть комплексного числа Аргумент комплексного числа |
| Функции Бесселя: J0(x) J1(x) Jn(n,x) I0(x) I1(x) In(n,x) K0(x) K1(x) Kn(n,x) Y0(x) Y1(x) Yn(n,x) | x - аргумент | Функции Бесселя первого рода нулевого, первого и n-го порядка Модифицированные функции Бесселя первого рода нулевого, первого и n-го порядка Модифицированные функции Бесселя второго рода нулевого, первого и n-го порядка Функции Бесселя второго рода нулевого, первого и n-го порядка |
| Гамма-функция: Gamma(x) Gamma(a,m) | x - аргумент | Гамма-функция комплексного аргумента Неполная Гамма-функция порядка а |
| Функция ошибок: erf(x) erfc(x) | x - аргумент | Интеграл вероятностей (функция Крампа) Обратная функция ошибок |
Таблица 4. Функции для решения уравнений, систем уравнений и поиска экстремума
| Функции | Аргументы | Описание |
| Given | Ключевое слово для систем уравнений, неравенств и т.п. | |
| Find(x1,x2,…) | x1, x2,… - переменные | Возвращает корень алгебраического уравнения (скаляр) или системы (вектор), определенных в блоке с Given |
| polyroots(v) | v – вектор, составленный из коэффициентов полинома | Возвращает вектор всех корней полинома |
| root(f(x,…),x,[a,b]) | f(x,...) – функция x - переменная (a,b) - интервал поиска корня | Возвращает корень функции |
| Minerr(x1,x2,…) | x1,x2,…- переменные | Возвращает вектор приближенного решения системы уравнений и неравенств, определенных в блока Given |
| Maximize(f,x1,…) | f(x1,...) – функция x1,… - аргументы, по которым производится максимизация | Вектор значений аргументов, при которых функция f достигает максимума (возможно задание дополнительных условий в блоке Given) |
| Minimize(f,x1,…) | f(x1,...) – функция x1,… - аргументы, по которым производится минимизация | Вектор значений аргументов, при которых функция f достигает минимума (возможно задание дополнительных условий в блоке Given) |
Таблица 5. Функции с условиями сравнения
| Функции | Аргументы | Описание |
| Функции округления: ceil(x) floor(x) | x - аргумент | Возвращает значение, округленное до ближайшего целого, большего или равного x Возвращает значение, округленное до ближайшего целого, меньшего или равного x |
| Функция остатка: mod(x,y) | x, y – аргументы | Возвращает остаток от деления x на y со знаком делимого x |
| Угол между точкой о осью OX: angle(x,y) | x, y – координаты точки | Положительный угол с осью OX для точки с координатами (x,y) |
| Функция единичного скачка: | ||
| Символ Кронекера: |
Таблица 6. Функции для решения задач линейной алгебры
| Функции | Аргументы | Описание |
| Функции для формирования матрицы с заданными свойствами: matrix(m,n,f) diag(v) identity(n) augment(A,B,C,…) stack(A,B,C,…) submatrix(A,ir,jr,ic,jc) Re(A) m(A) CreateSpace(F(t),t0,t1,tgrid, fmap) CreatMesh(F(s,t),s0,s1,t0,t1,sgrid, tgrid,fmap) | m – количество строк, n – количество столбцов f – функция v – вектор n – размер матрицы A,B,C –векторы или матрицы A,B,C –векторы или матрицы A – матрица, ir, jr – номера строк ic, jc – номера столбцов A – матрица A – матрица F(t) – векторная функция из трех элементов t0,t1 – пределы t tgrid – число точек сетки по t fmap – функция преобразования координат F(s,t) – векторная функция из трех элементов t0,t1 – пределы t s0,s1 – пределы по s tgrid, sgrid – число точек сетки по t и s fmap – функция преобразования координат | Заполнения матрицы A размерности (m, n) элементами ai,j, которые равны значению функции f(i,j) Заполнение матрицы, на главной диагонали которой стоят элементы, соответственно равные элементам вектора v, а остальные элементы нулевые Создание единичной матрицы Из нескольких матриц, имеющих одинаковое число строк, создается новая матрица, в первых столбцах которой расположены элементы матрицы A, а в последних столбцах – элементы последней матрицы Из нескольких матриц, имеющих одинаковое число столбцов, создается новая матрица, в первых строках которой расположены элементы матрицы A, а в последних строках – элементы последней матрицы Возвращает часть элементов матрицы A, расположенных на пересечении строк с номерами с ir по jr и столбцов с номерами с ic по jc, причем ir <= jr и ic <= jc Формирование матрицы, содержащей действительные части соответствующих комплексных элементов матрицы A Формирование матрицы, содержащей мнимые части соответствующих комплексных элементов матрицы A Создание вложенного массива, представляющего x-, y- и z – координаты параметрической пространственной кривой, заданной функцией F Создание вложенного массива, представляющего x-, y- и z – координаты параметрической пространственной кривой, заданной функцией F |
| Функции, реализующие алгоритмы мультипликативного разложения матриц: lu(A) qr(A) rref(A) svd(A) geninv(A) | A – квадратная матрица A – вектор или матрица А – матрица A – прямоугольная матрица порядка m×n A – прямоугольная матрица порядка m×n | Представление матрицы A в виде A=L×U, где L – нижняя, а U – верхняя треугольная матрицы Представление прямоугольной матрицы A в виде A=Q×R, где Q – ортогональная матрица, а R – верхняя треугольная матрица Приведение матрицы А к ступенчатому виду с единичным базисным минором: Сингулярное разложение матрицы A в виде A=U×S×VT, где U – ортогональная матрица порядка n×n, V – ортогональная матрица порядка m×m, S – диагональная матрица, на главной диагонали которой расположены сингулярные числа матрицы А Для матрицы А вычисляется левая обратная матрица L порядка n×m, удовлетворяющая соотношению L×A=E, где E – единичная матрица порядка n×n |
| Функции для вычисления характеристик матрицы: last(v) length(v) max(A) min(A) rows(A) cols(A) mean(A) median(A) tr(A) rank(A) norm1(A) – L1 norm2(A) – L2 norme(A) - евклидова normi(A) - ∞ cond1(A) – L1 cond2(A) – L2 conde(A) – евклидова condi(A) - ∞ | v – вектор v – вектор (одномерный массив) A - массив A – массив А – матрица или вектор А – матрица или вектор А - матрица или вектор А- массив А – квадратная матрица А – матрица A – квадратная матрица A – квадратная матрица | Возвращает индекс последнего элемента вектора v Вычисляет количество элементов в одномерном массиве v Вычисление максимального по величине элемента массива Вычисление минимального по величине элемента массива Возвращает количество строк в А Возвращает количество столбцов в А Вычисление среднего значения элементов в А Вычисление медианы (величины, меньше или больше которой в массиве содержится одинаковое количество элементов) Вычисление следа квадратной матрицы А Вычисление ранга матрицы А (суммы диагональных элементов) Вычисление норм матрицы А в соответствии со следующими определениями: здесь используются обозначения: λmax(AAT) – максимальное собственное значение матрицы AAT Вычисление чисел обусловленности матрицы А с использованием норм, описанных в предыдущем пункте |
| Функции для перестановки элементов массива: sort(v) reverse(v) rsort(A,n) csort(A,n) | v- вектор v- вектор A- матрица, n – номер строки A- матрица, n – номер строки | Сортировка элементов вектора v в порядке возрастания их значений Сортировка элементов вектора v в порядке убывания их значений Перестановка столбцов матрицы А так, чтобы ее n-я строка оказалась отсортированной по возрастанию элементов Перестановка столбцов матрицы А так, чтобы ее n-й столбец оказался отсортированным по возрастанию элементов |
| Функция, реализующие алгоритмы решения системы алгебраических уравнений: lsolve(A,b) | A – матрица системы линейных алгебраический уравнений, b- вектор правой части | Возвращает вектор X, соответствующий численному решению сиcтемы n линейных уравнений вида A×X=b; матрица коэффициентов A имеет порядок n×n, векторы b и X – размерность n |
| Функции, реализующие алгоритмы решения проблемы собственных значений: eigenvals(A) eigenvec(A,f) eigenvecs(A) genvals(A,B) genvecs(A,B) | A- квадратная матрица A- квадратная матрица, f- собственное значение A- квадратная матрица A,B квадратные матрицы A,B квадратные матрицы | Возвращает вектор, содержащий собственные значения квадратной матрицы A Для заданной матрицы A и ее собственного значения f вычисляет принадлежащий этому собственному значению собственный вектор Для заданной матрицы A возвращает матрицу, столбцами которой являются собственные векторы матрицы A, причем, порядок их расположения соответствует порядку следования собственных значений, возвращаемых функцией eigenvals(A) Расчет обобщенных собственных значений Расчет обобщенных собственных векторов |
Таблица 7. Функции для численного решения дифференциальных уравнений
| Функции | Аргументы | Описание |
| Функции для численного решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ): odesolve(t,t1,step) rkfixed(y,x0,xend,npoints,D) Rkadapt(y,x0,xend,npoints,D) rkadapt(y,x0,xend,acc,D,k,s) Bulstoer(y,x0,xend,npoints,D) bulstoer (y,x0,xend,acc,D,k,s) | t - переменная интегрирования ОДУ t1 – конечная точка интервала интегрирования step – число шагов интегрирования ОДУ y- вектор начальных условий (x0,x1) – интервал интегрирования, npoints – число шагов интегрирования, D векторная функция, задающая систему ОДУ См. rkfixed y- вектор начальных условий (x0,x1) – интервал интегрирования, D векторная функция, задающая систему ОДУ, acc – погрешность вычисления, k- максимальное число шагов интегрирования, s – минимальный шаг интегрирования См. rkfixed См. rkadapt | Возвращает матрицу с решением задачи Коши для одного ОДУ, определенного в блоке с Given и начальными условиями в точке t0 Возвращает матрицу с решением задачи Коши для системы ОДУ методом Рунге-Кутта четвертого порядка с постоянным шагом на отрезке [x0,xend] Возвращает матрицу с решением задачи Коши для системы ОДУ методом Рунге-Кутта четвертого порядка с переменным шагом. Возвращает матрицу с решением задачи Коши для системы ОДУ методом Рунге-Кутта четвертого порядка с переменным шагом и заданной точностью (для определения только последней точки интервала) Возвращает матрицу с решениями задачи Коши для системы ОДУ методом Булирша-Штера Возвращает матрицу с решениями задачи Коши для системы ОДУ методом Булирша-Штера (для определения только последней точки интервала) |
Приложение 2. Сообщения об ошибках
| Ошибка | Перевод | Вероятная причина | Возможные пути устранения |
| Сообщения об ошибках в численных вычислениях | |||
| A “Find” or “Minerr” must be preceded by a matching “Given” | Find или Minerr должны предваряться ключевым словом Given | Эта ошибка выделяет функцию Find или Minerr при их несогласованности с Given | Каждый вычислительный блок, который заканчивается функцией Find или Minerr, должен начинаться с ключевого слова Given |
| All evaluations resulted in either an error or a complex result | Вычисления приводят к ошибке или комплексному результату | MathCAD не может начертить некоторые точки, потому что не существует действительных значений для их нанесения на график | Это сообщение может появиться, если имеется ошибка или все значения комплексные |
| Arguments in function definitions must be names | Аргументы в определениях функции должны быть именами | Выделенное определение функции содержит неправильный перечень аргументов | В списке аргументов должны быть правильно поименованы переменные, или список имен необходимо отделить запятыми |
| At least one limit be infinity | По крайней мере, один предел должен быть бесконечным | Когда при интегрировании выбран алгоритм бесконечного предела, то, по крайней мере, один из пределов интеграла должен быть бесконечным | Тип бесконечности вводится нажатием сочетания клавиш Ctrl Shift Z Для изменения алгоритма, использующего бесконечный предел или для вычисления какого-либо другого интервала, щелкните на интеграле правой кнопкой мыши и измените алгоритм с помощью контекстного меню |
| Can only evaluate an nth order derivative when n=0,1..5 | Можно вычислить n-й порядок производной, только когда n=0,1..5 | Порядок производной должен быть одним из следующих чисел: 0,1,2,…5 | Если вы хотите посчитать производную более высокого порядка, то делайте это с помощью символьного дифференцирования |
| Can’t evaluate this function when its argument less than or equal to zero | Невозможно вычислить эту функцию, когда ее аргумент меньше или равен нулю | Такое сообщение может касаться XY-или полярных графиков, имеющих логарифмические оси, на которых или пределы, или некоторые из значений, не положительны | Отрицательные числа и ноль не могут быть расположены нигде на логарифмических осях. Смените тип осей графика или постройте его для других значений |
| Can’t converge to a solution | Не сходится к решению | Численный метод расходится (не может найти решение) | Убедитесь, что операция не применяется к функции в области непосредственной близости точки ее сингулярности (деления на ноль). Попробуйте поменять параметры численного метода (например, начальное приближение). Попробуйте увеличить константу TOL, т.е. осуществить поиск решения с большей погрешностью. Попробуйте поменять численный алгоритм, если это возможно (вызвав контекстное меню) |
| Can’t define the same variable more than once in the same expression | Невозможно определить ту же самую переменную более одного раза в одном и том же выражении | Вы пытаетесь вычислить одну и ту же переменную дважды в одном выражении | Пример подобной ошибки: если вы создаете вектор с левой стороной a:= и используете это же имя справа, то получите ошибку |
| Can’t determine what units the result of this operation should have | Невозможно определить, в каких единицах следует быть результату этой операции | Вы возвели выражение, содержащее единицы измерения в, степень, являющуюся переменной в неких пределах или вектором. В результате невозможно определить размерность результата | Если выражение включает в себя единицы измерения, то можно возводить его только в действительную фиксированную степень |
| Can’t divide by zero | Деление на ноль невозможно | Где-то в программе или внутри численного метода возникло деление на ноль | Найдите место деления на ноль и устраните его. Попробуйте поменять параметры численного метода, константы точности или сам численный алгоритм |
| Could not find a solution | Невозможно найти решение | Численный метод расходится (не может найти решение) | См. «Can’t converge to a solution» |
| Can’t find the data file you’re trying to use | Невозможно найти файл, который вы пытаетесь использовать | Невозможно найти файл данных или другой тип файла, к которому вы обращаетесь | Удостоверьтесь, что токай файл существует в указанном месте |
| Can’t have anything with units or dimensions here | Здесь нет ничего в единицах измерений или размерностях | Это выражение использует единицы измерений где-то, где не разрешено | Единицы измерений не разрешены: - в аргументах большинства функций, - в экспонентах, - в верхних и нижних индексах. Для того чтобы использовать выражения с единицами измерений, вначале переведите это выражение в UnitsOf ( выражение) |
| Can’t have more than one array in a contour plot | Нельзя иметь более одного массива в контурном графике | Вы вводите более одного массива в местозаполнитель контурного или поверхностного графика | Можно иметь только один массив в данном местозаполнителе, т.к. графики могут выдавать лишь одну поверхность в один момент времени |
| Can’t perform this operation on the entire array at once. Try using “vectorize” to perform it element by element | Невозможно представить эту операцию в целом массиве сразу. Попытайтесь использовать векторизацию, чтобы представить элемент за элементом | Например, можно увидеть это сообщение при попытке разделить один вектор на другой | Для того чтобы применять функцию или оператор к каждому элементу вектора или матрицы, используйте оператор векторизации |
| Can’t plot this many points | Невозможно начертить график с таким большим количеством точек | Попытка построения графика с числом точек, превосходящим возможное | Попробуйте сделать число точек меньше, чем 150000 |
| Can’t put a:= inside a solve block | Нельзя помещать := внутрь вычислительного блока | Внутри вычислительного блока не должно быть операторов присваивания. Он должен содержать только булевы выражения | Используйте панель с булевыми операторами |
| Can’t raise an expression having units to a complex power | Нельзя возводить в комплексную степень выражение, имеющее единицы измерения | Это выражение содержит единицы измерений, а вы возводите его в комплексную степень | Выражение с единицами измерения можно возводить только в действительную степень. Для того чтобы возводить в комплексную степень выражение с единицами измерений, вначале переведите это выражение в UnitsOf – единицы измерений будут отменены |
| Can’t solve a system having this many equations | Невозможно решить систему, имеющую так много решений | MathCAD не способен решить систему | См. термин «вычислительный блок» (Лаб. зан. 4, раздел 2.3.) |
| Can’t understand something in this data file | Невозможно что-то понять в файле данных | Файл, к которому вы пытаетесь получить доступ при помощи REAL или READ*, имеет дефект | 1. Файл должен быть ASCII-текстом 2. Все строки файла должны иметь тот же номер значений, что используется в READ* 3. Если файл имеет требуемый формат, а это сообщение продолжает появляться, попробуйте удалить любую часть текста из файла |
| Can’t understand the name of this function | Невозможно понять имя этой функции | Такое сообщение может появиться, если в качестве имени функции используется, например, число 6(x) | Выражение должно соответствовать требованиям, предъявляемым в MathCAD к написанию имен функций |
| Can’t understand the way this range variable is defined | Невозможно понять определение ранжированной переменной | Определение ранжированной переменной неверно | - Вводя область определения ранжированной переменной, необходимо использовать один из следующих видов: - Rvar:=n1..n2 - Rvar:=n1..n2..n3 |
| Can’t | Невозможно понять это число | Это выражение содержит символ или десятичную точку там, где это непозволительно | Вы увидите эту ошибку, например, если случайно запишите число так: .452 |
| Can’t use a range variable in a solve block | Невозможно использовать ранжированную переменную в вычислительном блоке | Эта ошибка появляется, если использовать область определения переменной в неподходящем месте | Придумайте алгоритм, не допускающий применения ранжированной переменной в вычислительном блоке |
| Cannot evaluate this accurately at one or more of the values you specified | Невозможно точно вычислить одно или более значений | Эта ошибка появляется, если попытаться вычислить функцию для аргумента, находящегося за пределами точной области | Проверьте область определения функции |
| Cross product is defined only for vectors having exactly three elements | Векторное произведение определяется только для векторов, имеющих точно три элемента | Число элементов в векторе не равно трем | См. определение векторного произведения (Лабораторное занятие 5. пункт 1.7) |
| Can’t evaluate this expression. It may have resulted in an overflow or an infinite loop | Невозможно вычислить это выражение. Это может быть результатом переполнения или бесконечных циклов | Это функциональное определение может содержать слишком много функций. Функция может быть константой в бесконечных циклах | Проверьте несколько итераций цикла |
| Degree of the polynomial must be between 1 and 99 | Степень полинома должна находиться в пределах между 1 и 99 | Вектор, пропущенный через функцию поиска корней полином, должен содержать, по крайней мере, 2 и не более 99 элементов | |
| Dimensions must be > 4 | Размерность должна быть > 4 | Эта матрица должна иметь, по крайней мере, 4 ряда и 4 столбца | |
| End of file | Конец файла | Вы пытаетесь прочитать больше значений в файле данных, чем там имеется | Например, если файл данных имеет 10 значений, а записано выражение i:=1..100 Xi:=READ*(file), то появится это сообщение |
| End points cannot be the same | Конечные точки не могут быть одинаковыми | Это сообщение появляется при некорректном решении дифференциальных уравнений | Конечные точки интервала, на котором будет вычисляться решение, должны быть различными |
| Equation too large | Уравнение слишком большое | Это выражение слишком сложное для решения | Разбейте выражение на два или более простых |
| Floating point error | Ошибка вычислений с плавающей точкой | Функция вычисляется в точке, в которой это не разрешено | |
| Found a singularity while evaluation this expression. You may be dividing by zero | Найдена сингулярность при вычислении этого выражения. Возможно, вы делите на ноль | Вычисляется функция или выполняется операция с недопустимыми значениями | Например, это сообщение возникает при попытке деления на ноль или обращения сингулярной матрицы; разберитесь, где это происходит |
| Found a number with a magnitude greater than 10^307 | Найдено число, превышающее значение 10307 | Попробуйте поменять параметры численного алгоритма или сам алгоритм | |
| Illegal context. Press <F1> for help | Недопустимый контекст. Нажмите клавишу F1, чтобы получить помощь | Часто встречается при синтаксических ошибках | Проверить синтаксис и порядок расположения формул в документе |
| Illegal dimension | Недопустимые размерности | Матрица, на которую вы ссылаетесь, не имеет достаточно строк или столбцов | Введите имя матрицы с клавиатуры и нажмите знак =, чтобы проверить число ее строк и столбцов |
| Integer too large/Integer too small | Целое число слишком большое/ слишком маленькое | Это число слишком велико/мало для работы с ним | Если вы работаете со встроенными функциями, то щелкните по имени функции и вызовите подсказку с помощью клавиши F1 |
| Invalid format | Недопустимый формат | Аргументы этой функции могут быть некорректными | Если вы работаете со встроенными функциями, то щелкните по имени функции и вызовите подсказку с помощью клавиши F1 |
| Live symbolics not available | Символьные вычисления неприменимы | См. лабораторное занятие 4 | |
| Must be <=10000 | Это значение должно быть <= 10000 | ||
| Must be >= 10^-16 | Это значение должно быть >=10-16 | ||
| Must be function | Этот аргумент должен быть функцией | ||
| Must be increasing | Значение вектора должно быть возрастающим | Введите с клавиатуры имя вектора и знак =, чтобы проверить его значение | |
| Must be less than the number of data points | Аргумент должен быть меньше, чем число точек данных | Этот аргумент должен быть меньше, чем число точек данных | |
| Must be positive | Должен быть положительным | Невозможно вычислить эту функцию, когда ее значение меньше или равно нулю | Это сообщение может касаться построения XY- или полярных графиков с логарифмическими осями. Отрицательные числа или ноль не могут располагаться на логарифмических осях |
| Must be real | Должно быть действительным | Это значение должно быть действительным. Его мнимая часть должна быть нулем | Примером такого выражения могут служить нижний и верхний индексы, решения дифференциальных уравнений, углы |
| Must be real scalar | Должно быть действительным скаляром. | Это значение не должно быть комплексным ил мнимым | |
| Must be real vector | Должно быть действительным вектором | Этот вектор не может иметь комплексные или мнимые элементы. Он должен также быть вектором-столбцом. А не строкой | |
| Must be square | Должен быть квадратным | Эта ошибка выделяет неквадратную матрицу в той операции или функции, в которой ей следовало быть квадратной | Например, матрица должна быть квадратной при обращении или в функциях eigenvals eigenvec , возведение ее в степень |
| No solution found | Не найдено решение | Если вы используете встроенные функции , то щелкните мышью над именем функции и нажмите клавишу F1 для того. Чтобы быть уверенным в корректности использования функции. Однако решение может просто не существовать | |
| Not enough memory for this operations | Для этого оператора недостаточно памяти | Не хватает памяти, чтобы завершить это вычисление | Попытайтесь освободить немного памяти путем уменьшения массива или матрицы, или удаления каких-либо больших побитовых отображений, массивов, матриц |
| Singular matrix | Сингулярная матрица | Эта матрица не может быть ни сингулярной, ни близкой к сингулярности | Матрица называется сингулярной, если ее определитель равен нулю. Матрица близка к сингулярной, если она имеет высокое число обусловленности |
| The expression to the left of the equal sign cannot be defined | Выражение слева от знака равенства не может быть определенным | В левой части находится что-то. Что не является допустимым определяемым выражением | В левой части можно разместить одно из следующих определений: - имя переменной - имя переменной с верхним или нижним индексом - явный вектор или матрицу - имя функции с аргументами f(x,y) Любые другие выражения не допустимы |
| The number of rows and/or columns in these arrays do not match | Число рядов и/или столбцов в этих массивах не согласовано | Попытка произвести матричные или векторные операции над массивами, размеры которых не совпадают | Например, сложение двух матриц разного размера недопустимо. Матричное умножение требует, чтобы число столбцов первой матрицы совпадало с числом строк второй |
| The units in this expression do not match | Размерности в этом выражении не согласованы | Это сообщение появляется, если складываются два элемента разной размерности, либо создана матрица, элементы которой имеют разную размерность, либо вы пытаетесь решать систему уравнений для неизвестных переменных разной размерности | Проверьте использование размерных переменных |
| There is an extra comma in this expression | В выражении лишняя запятая | Запятые должны использоваться для того, чтобы отделять: - аргументы в функции - первые два элемента области в определении интервала - выражения в графике - элементы во входной таблице Любые другие применения запятой приводят к ошибке. | |
| This expression is incomplete. You must fill in the placeholders | Это выражение не полное. Необходимо добавить содержимое в местозаполнители | Не заполнены местозаполнители | Необходимо дописать числа или выражения в указанные местозаполнители |
| This expression is incomplete. You must provide an operator | Это выражение не полное. Необходимо вставить оператор | Не заполнены местозаполнители оператора или пустое пространство между двумя операторами | Это могло произойти при удалении оператора, пров Наши рекомендации |