Символьное решение уравнений
Некоторые уравнения можно решить точно с помощью символьного процессора MathCAD. Делается это очень похоже на численное решение уравнений с помощью вычислительного блока. Присваивать неизвестным начальные значения нет необходимости. Например, символьное решение алгебраического уравнения с одним неизвестным имеет вид:
Символьное решение системы алгебраических уравнений можно получить следующим образом:
Задание 12. Найдите символьное решение системы алгебраических уравнений:
x4 +y2-4=0
x+2*y=0
Результаты решения запишите в свою папку.
Поиск экстремума функции
Задача поиска экстремума функции означает нахождение ее максимума или минимума в некоторой области определения ее аргументов. Ограничения значений аргументов, задающих эту область, как и прочие дополнительные условия, должны быть определены в виде системы неравенств и (или) уравнений. В этом случае говорят о задаче на условный экстремум. Для решения задач поиска максимуму и минимума в MathCAD имеются встроенные функции Minerr, Minimize и Maximize. Все они используют те же градиентные численные методы, что и функция Find для решения уравнений.
- Minimize (f,x1,…,xM) – вектор значений аргументов, при которых функция f достигает минимума;
- Maximize(f,x1,…,xM) - вектор значений аргументов, при которых функция f достигает максимума.
Экстремум функции одной переменной
Поиск экстремума функции включает в себя задачи нахождения локального или глобального экстремума. Такие задачи называют еще задачами оптимизации.
Задание 13. Постройте график функции f(x)=x4+5·x3-10·x на интервале (-5,2), и найдите глобальные и локальные экстремумы.
1. Откройте новый документ и построите график функции на заданном интервале (рис. 32). Она имеет глобальный максимум на левой границе интервала, глобальный минимум, локальный максимум, локальный минимум и локальный максимум (в порядке слева направо).
2. Анализ графика показывает, что первый локальный минимум находится в вблизи точки x=-3. Использование функции Minimize дает следующие результаты:
Рис. 33. График функции f(x)
3. Второй локальный минимум находится вблизи точки x=1:
4. Локальный максимум следует искать в районе точки x= -1:
5. Определите значение функции на границах диапазона и рассчитайте глобальные экстремумы.
6. Сохраните полученный документ в своей папке.
Условный экстремум
В задачах на условный экстремум функции минимизации и максимизации должны быть включены в вычислительный блок, т.е. им должно предшествовать ключевое слово Given. В промежутке между Given и функцией поиска экстремума с помощью булевых операторов записываются логические выражения (неравенства, уравнения), задающие ограничения на значения аргументов минимизируемых функций.
Задание 14. Проделайте следующие операции и сравните результаты с предыдущим заданием: