Статистическое определение вероятности.

Вероятность проявляет себя, когда один и то же случайный эксперимент проводится много раз, причем так, что результаты уже проведенных экспериментов никак не влияют на последующие. При этих условиях частота наступления события при неограниченном возрастании числа экспериментов стремится к вероятности события.

Рассмотрим случайный эксперимент, заключающийся в том, что подбрасывается игральная кость, сделанная из неоднородного материала. Ее центр тяжести не находится в геометрическом центре. В этом случае мы не можем считать исходы (выпадение единицы, двойки и т.д.) равновероятными. Из физики известно, что кость чаще будет падать на ту грань, которая ближе к центру тяжести. Как определить вероятность выпадения, например, трех очков? Единственное, что можно сделать, это подбросить эту кость n раз (где n-достаточно большое число, скажем n=1000 или n=5000), подсчитать число выпадений трех очков n₃ и считать вероятность исхода, заключающегося в выпадении трех очков, равной n₃/n - относительной частоте выпадения трех очков. Аналогичным образом можно определить вероятности остальных элементарных исходов — единицы, двойки, чет­верки и т.д.

Классическое определение вероятности предполагает, что все элементарные исходы равновозможны. О равновозможности исходов опыта заключают в силу соображений симметрии (как в случае монеты или игрального кубика). Задачи, в которых можно исходить из соображений симметрии, на практике встречаются редко. Во многих случаях трудно указать основания, позволяющие считать, что все элементарные исходы равновозможны. В связи с этим появилась необходимость введения еще одного определения вероятности, называемого статистическим. Чтобы дать это определение, предварительно вводят понятие относительной частоты события.

Определение 18.2.2. Относительной частотой события, или частотой, называется отношение

числа опытов, в которых появилось это событие, к числу всех произведенных опытов. Обозначим частоту события А через W(A), тогда по определению W(A)= m/n ,

где m - число опытов, в которых появилось событие А; n - число всех произведенных опытов.

Частота события обладает следующими свойствами.

1. Частота случайного события есть число, заключенное между нулем

и единицей:

0< W(A) < 1

2. Частота достоверного события Ω равна единице:

W(Ω) = 1

3. Частота невозможного события Ø равна:

W(Ø)=0.

4. Частота суммы двух несовместных событий А и В равна сумме

частот этих событий:

W(A + В) = W(A) + W(B)

Наблюдения позволили установить, что относительная частота обладает свойствами статистической устойчивости: в различных сериях многочленных испытаний (в каждом из которых может появиться или не появиться это событие) она принимает значения, достаточно близкие к некоторой постоянной. эту постоянную, являющуюся объективной числовой характеристикой явления, считают вероятностью данного события.

Определение 18.2.3.(Статистической) вероятностью события называется число, около которого группируются значения частоты данного события в различных сериях большого числа испытаний.

Более строго, статистическая вероятность P(w_i)определяется как предел относительной частоты появления исхода w_i в процессе неограниченного увеличения числа случайных экспериментов n, то есть

,

где m_n(w_i) – число случайных экспериментов (из общего числа n произведенных случайных экспериментов), в которых зарегистрировано появление элементарного исхода w_i.

В случае статистического определения вероятность обладает теми же свойствами, что и вероятность, определенная по классической схеме:

свойствами: 1) вероятность достоверного события равна единице;

2) вероятность невозможного события равна нулю; 3) вероятность

случайного события заключена между нулем и единицей; 4) вероятность

суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Пример. Из 500 взятых наудачу деталей оказалось 10 бракованных. Какова частота бракованных деталей?

W = 10/500 = 1/50 = 0,2

Геометрическая вероятность

Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов конечно. На практике встречаются опыты, для которых множество таких исходов бесконечно.

Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности – вероятности попадания точки в область.

Пусть эксперимент состоит в случайном выборе точки из некоторой области. Полагаем выбор любой точки равновозможным. Заданную в пространстве область обозначим W. В эксперименте, связанном со случайным выбором только одной точки из W, множество W является пространством элементарных событий. Случайными событиями в этом случае можно считать разные подмножества из W. Будем говорить, что случайное событие А наступило, если наугад выбранная точка x принадлежит подмножеству А, т.е.

Определение 18.2.4.

Пусть W – некоторый отрезок, L – его длина. А – отрезок длины l, принадлежащий W . Событие А состоит в попадании точки, брошенной в большой отрезок в А. Тогда

Аналогично, если множествомW элементарных исходов случайного эксперимента является фигура на плоскости площади S, а область А, ее подмножество, куда может попасть случайно брошенная на W точка, имеет площадь s, соответствующая вероятность события А – попадания в область А тогда

,

И, наконец, если речь идет об объемных фигурах, соответственно, W объема V и входящей в нее области А объема v

,

Замечание 18.2.3.. Строго говоря, рассматриваемый здесь подход требует введения более общей характеристики (функции) множества – его меры (mes(A)), частными случаями которой являются длина, площадь и объем, и тогда вероятность события А будет отношением меры множества А к мере множества W

Пример 1. В квадрат вписан круг. Точка случайным образом бросается в квадрат. Какова вероятность того, что она попадет в круг? Согласно приведенной формуле соответствующая вероятность будет отношением площади круга к площади квадрата.

Пример 2. Два человека обедают в кафе в обеденный перерыв, который начинается у них в одно время и продолжается 1 час, от 12 до 13 часов. Каждый из них приходит в произвольный момент времени и обедает в течение 10 минут. Какова вероятность их встречи?

Пусть x — время прихода в кафе первого, а y — время прихода второго . Встретиться они могут только тогда, когда оба находятся в кафе.

Рис.1

Можно установить взаимно-однозначное соответствие между всеми парами чисел (x;y) (или множеством исходов) и множеством точек квадрата со стороной, равной 1, на координатной плоскости, где начало координат соответствует числу 12 по оси X и по оси Y, как изображено на рисунке 1. Здесь, например, точка А соответствует исходу, заключающемуся в том, что первый пришел в 12.30, а второй - в 13.00. В этом случае, очевидно, встреча не состоялась.

Если первый пришел не позже второго (y ³ x), то встреча произойдет при условии 0 £ y - x £ 1/6 (10 мин.- это 1/6 часа).

Если второй пришел не позже первого (x ³ y), то встреча произойдет при условии 0 £ x - y £ 1/6..

Таким образом, в первом случае нас будет удовлетворять условие y £ x + 1/6 , а во втором

y ≥ x - 1/6 . Область, удовлетворяющая этим двум условиям заштрихована на рис. 2

Рис. 2

Иными словами, в терминах геометрической вероятности, вероятность встречи есть отношение площади заштрихованной «полосы» между прямыми y = x + 1/6 и y = x - 1/6 внутри квадрата к площади самого квадрата.

Искомая вероятность p равна отношению площади заштрихованной области к площади всего квадрата.. Площадь квадрата равна единице, а площадь заштрихованной области можно определить как разность единицы и суммарной площади двух треугольников, изображенных на рисунке 7. Отсюда следует: