Классическое определение вероятности

Вероятность события характеризует возможность (шанс) осуществления события в ходе случайного эксперимента. Смысл вероятности раскрывается в следующих требованиях, налагаемых на вероятности событий. Вероятность события выражается долей от целого, то есть является числом от нуля до единицы. При этом за единицу принимается вероятность наступления достоверного события , то есть события, которое обязательно происходит в ходе эксперимента. Вероятности невозможных событий считаются равными нулю. Если взять произвольный конечный или счетный набор событий, таких, что никакие два из них не могут произойти одновременно, то вероятность наступления хотя бы одного из этих событий должна быть равна сумме вероятностей этих событий. Иначе говоря,

Каждому элементарному исходу w_i пространства W соответствует некоторая неотрицательная числовая характеристика P_i шансов его появления, называемая вероятностью исхода w _i , причем

(здесь суммирование ведется по всем i, для которых выполняется условие: w _iÎW).

Отсюда следует, что 0 £ P_i £ 1для всех i.

Определение 18.2.1.Вероятность события А(классическое определение) определяется как сумма вероятностей всех элементарных исходов, благоприятствующих событию А. Обозначим ее Р(А).

(*)

Рассмотрим простейшую модель теории вероятностей, которую часто называют «классической схемой». Если каждый элементарный исход имеет одинаковую возможность осуществиться (то есть они равновозможны), то этим исходам логично было бы поставить в соответствие одинаковые вероятности. Если вероятности всех n исходов равны р, а в силу нормировки np=1, то p = 1/n (где n – число исходов эксперимента). Исходы (элементарные события), составляющие данное событие А, напомним, называются благоприятствующими событию А. и в случае, когда все исходы равновозможны, вероятность события А Р(А) есть отношение числа m благоприятствующих событию А (обозначается # А= m ) исходов из Ω к общему числу n исходов(множеству точек W, # Ω= n) , P(A) = m/n. Это и есть классическое определение вероятности

Примеры таких случайных экспериментов: подбрасывание симметричной монеты, бросание правильной игральной кости, случайное извлечение игральной карты из перетасованной колоды.

Из вышесказанного видно, что

1) 0 £ P(A) £ 1;

2) P(W)=1;

3) P(Æ)=0.

(Æ - невозможное событие, то есть событие, не имеющее в своем составе исходов, пустое множество)

Замечание 18.2.1.. Из того, что вероятность выпадения, скажем, герба при подбрасывании монеты равна ½ не следует, что из каждых двух бросков один будет заканчиваться выпадением герба. Это значит длишь, что если бросать монету достаточно долго, то в среднем гербы выпадут в половине случаев.

Примеры 18.2.1..

1)В урне 10 одинаковых по размерам и весу шаров, из которых 4 красных и 6 голубых. из урны извлекается один шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар окажется голубым?

Решение. Событие "извлеченный шар оказался голубым" обозначим буквой А. Данное испытание имеет 10 равновозможных элементарных исходов, из которых 6 благоприятствуют событию А. В соответствии с формулой классического определения

Р(А) = 6/10 = 0,6.

2) Все натуральные числа от 1 до 30 записаны на одинаковых карточках и помещены в урну. После тщательного перемешивания карточек из урны извлекается одна карточка. Какова вероятность того, что число на взятой карточке окажется кратным 5?

Решение. Обозначим через А событие «число на взятой карточке кратно 5». В данном испытании имеется 30 равновозможных элементарных исходов, из которых событию А благоприятствуют 6 исходов (числа 5, 10, 15, 20, 25, 30). Следовательно,

Р(А)= 6/30 = 1/5 = 0,2.

3). Подбрасываются два игральных кубика, подсчитывается сумма очков на верхних гранях. Найти вероятность события В, состоящего в том, что на верхних гранях кубиков в сумме будет 9 очков.

Решение. В этом испытании всего 6² = 36 равновозможных элементарных событий. Событию В благоприятствуют 4 исхода:

(3;6), (4;5), (5;4), (6;3), поэтому

Р(В) = 4/36 = 1/9

4). Подбрасываются две симметричные монеты. Чему равна вероятность того, что на верхних сторонах обеих монет оказались цифры?

Решение. Обозначим буквой D событие "на верхней стороне каждой монеты оказалась цифра". В этом испытании 4 равновозможных элементарных исходов: (Г, Г), (Г, Р), (Р, Г), (Р,Р). (Запись (Г, Р) означает,

что на первой монете герб, на второй – «решетка» (цифра ). Событию D благоприятствует один элементарный исход (Р, Р). Поскольку m= 1, n = 4 , то P(D)=1/4 =0,25.

5) Из набора, содержащего 10 одинаковых на вид электроламп, среди которых 4 бракованных, случайным образом выбирается 5 ламп. Какова вероятность, что среди выбранных ламп будут 2 бракованные (событие Е) ?

Здесь элементарным событием является выбор пяти ламп из 10 возможных. Выбор любой пятерки ламп имеет одну и ту же вероятность.

Очевидно, что порядок следования ламп в пятерке нам неважен, существенно лишь, сколько из них являются работающими, а сколько – бракованными. Поэтому для подсчета мы выбираем подсчет сочетаний, то есть неупорядоченных наборов. Всего существует способов составить такую пятерку, то есть случайный эксперимент в данном случае имеет N = равновероятных исходов.

Сколько из этих исходов удовлетворяют условию "в пятерке две бракованные лампы", то есть сколько исходов принадлежат интересующему нас событию?

Каждую интересующую нас пятерку можно составить так: выбрать две бракованные лампы, что можно сделать числом способов, равным . Каждая пара бракованных ламп может встретиться столько раз, сколькими способами ее можно дополнить тремя не бракованными лампами, то есть раз. Получается, что число пятерок, содержащих две бракованные лампы, согласно правилу произведения, равно × .

6). Кодовый замок содержит 10 цифр от 0 до 9. Замок открывается, если одна за другой последовательно нажимаются 3 разных цифры. Некто случайным образом набирает код. Какова вероятность того, что дверь откроется (событие F)?

Здесь элементарным событием будет набор некоторого трехзначного кода, порядок цифр в котором, естественно, важен, поэтому для подсчета мы будем использовать упорядоченные наборы – размещения. Всего различных трехзначных кодов из 10 цифр можно образовать вариантов и вероятность того, что код угадан (а есть только одна правильная комбинация) составляет

P (F) =

Ниже следует Приложение, описывающее один из самых известных эпизодов, связанных с историей развития Теории вероятностей. Тех, кто интересуется историей науки мы адресуем, например, к книгам А.Реньи «Письма о вероятности» (М.Мир, 1970) и Г.Секей «Парадоксы теории вероятностей и математической статистики».

Приложение.