Использование интерполяционных формул.
Предположим, что функ. задана с помощью таблицы, где x меняется с постоянным шагом h. Используем интерполяционный многочлен Ньютона, для приближения функции.
y≈P(x0+ht)=y0+t∆y0+(t(t–1)/2!)∆2y0+...+(t(t–1)...(t–n+1)/n!)∆ny0;t=(x–x0)/h;
Имеем:
dP/dx=(dP/dt)(dt/dx)=
(1/h)(dP/dt);
y’≈(1/h)(∆y0+((2t–1)/2!)∆2y0+
((3t2–6t+2)/3!)∆3y0+…);
С учётом быстрого убывания ∆ky0/k! можно ограничится несколькими первыми слагаемыми.
y’’≈(1/h2)(∆2y0+(t–1)∆3y0+…);
Внашем случае приходится использовать конечные разности и чаще используют интерполяционный многочлен Лагранжа, где нужны только значения функ. в узлах.
Пусть задана таблица, причём шаг h может быть непостоянным. Запишем многочлен Лагранжа для трёх узлов (n=2):
Ln(x)=∑i=0nyi( (x–x0)...(x–xi-1)(x–xi+1)...(x–xn) )/( (xi–x0)...(xi–xi-1)(xi–xi+1)...(xi–xn) );Для трёх узлов (шаг h постоянный):
L2(x)=(1/(2h2))( (x–x1)(x–x2)y0–2(x–x0)(x–x2)y1+(x–x1)(x–x0)y2 );Погрешность:
R(x)=(y’’’(ξ)/3!)(x–x0)(x–x1)(x–x2);
Найдём:
y’≈L’2(x)=(1/(2h2))( (2x–x1–x2)y0–2(2x–x0–x2)y1+(2x–x1–x0)y2 ); R’(x)=(y’’’(ξ)/3!)[(x–x1)(x–x2)+(x–x0)(x–x2)+(x–x1)(x–x0)];
Найдём y’0 при x=x0;
2x0–x1–x2=x0–x1+x0–x2;
y’≈(1/(2h2))(–3hy0+4hy1–hy2)=(1/(2h))(–3y0+4y1–y2);
Найдём R’(x) в точке x0:
R’(x0)=(y’’’(ξ)/3!)(–3h2)=–(y’’’(ξ)/2)h2;
т.е. ошибка O(h2).
Аналогично получаем:
y’1=y’(x1)=(1/(2h))(y2–y0)–(h2/6)y’’’(ξ);
y’2=y’(x2)=(1/(2h))(y0–4y1–3y2)+(h2/3)y’’’(ξ);
Для вторых производных:
y’’0=y’’2=(1/h2)(y0–2y1+y2)+O(h);
y’’1=(1/h2)(y0–2y1+y2)+O(h2);
Аппроксимация частных производных
28.Уравнения в частных производных. Построение разностных схем. ТУРЧАКЕсли функ. содержит более одной переменной и рассматривается диф. ур., то
возникает частная производная, и такие уравнения наз. ур. в частных производных или ур. мат. физ.
Наиболее известные уравнения:
1) Ур. тепло-массо переноса: Ut = a2 Uxx.
2) Ур. колебаний струны: Utt = a2 Uxx.
3) Распределение температуры в плоской пластине при заданной температуре на
границе: Uxx + Uyy = 0; U|г = φ(x, y).
Среди численных методов наиболее распространёнными явл. разностные методы, они
основаны на том, что производные заменяются разностными аналогами
(аппроксимируются конечными разностями) и получаем вместо исходного ур. систему
лин. алг. ур. За начальное значение производных, начальное и граничное условие
выражаются через значения функ. в узлах сетки, в рез. чего и получается система лин.
алг. ур. наз. разностной схемой.
Рассмотрим простейшую схему на плоскости, т.е. пусть область G – прямоугольник с границами: a ≤ x ≤ b; c ≤ y ≤ d.
Разделим область на элементарные отрезки:
xi = a + ih; 0 ≤ i ≤ I;
yj = a + jh; 0 ≤ j ≤ J;
Через эти точки проведём прямые: x = const; y = const.
Узлы сетки лежащие на границе Г области G, наз. граничными, не лежащими на границе – вн. узлами.т.к. кроме самого ур. задаются граничные начальные условия, то значения функ. в граничных узлах можно считать заданными. Производные в ур. мы заменяем их разностными аналогами, пользуясь тем или иным шаблоном.
Построение разностных схем.
Рассмотрим ур. теплопроводности и разностную схему:
(∂U/∂t) = a2 (∂2U/∂x2); (1) 0 ≤ x ≤ 1;
U(x; 0) = φ(x); (2)
U(0; t) = ψ1(t); (3)
U(l; t) = ψ2(t); (4)
φ(x)–начальное распределение температуры.
ψ1(t), ψ2(t)–распределение температуры на концах стержня в любой момент времени.
Должно выполняться условие согласования: φ(0) = ψ1(0); φ(1) = ψ2(0).
Введём сетку:xi = ih;
tj = jτ;
h, τ–шаги сетки.
Обозначим значения функции Uji = U(xi, tj).
Из аппроксимации в частных производных имеем:
(1) => (Uij+1 – Uji)/τ = a2 (Uji+1 – 2Uji + Uji-1)/h2;
i = 1,…, I – 1;
j = 0,…, J;