Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных

Построение эмпирической формулы.

Пусть в результате измерений в процессе опыта получена таблица некоторой зависимости y(x).

x x1 x2 xn
f(x) y1 y2 yn

Требуется подобрать формулу, которая выражает данную зависимость аналитически. Такая формула называется эмпирической.

Мы уже рассматривали один из подходов к решению данной задачи, он состоит в построении интерполяционного многочлена, значения которого будут совпадать в точках xi с соответствующими табличными значениями f(xi), где i=1,2..n. Но совпадения значений в узлах может вовсе не означать совпадение характеров исходной и интерполирующей функции. Требование совпадения значений тем более не оправдано, если значение функции f(x) известны с некоторой погрешностью. Поставим задачу так, чтобы с самого начала находить функцию заданного вида Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru , которая в точках x1, x2… xn принимает значения как можно более близкие к табличным значениям y1, y2… yn . Так как точную функциональную зависимость подобрать достаточно сложно, выбирают простые по виду аналитические функции, а затем устанавливают параметры этой функции. Самая простая линейная зависимость Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru , у неё два параметра а и b . Подберем их различными методами.

Метод выбранных точек (метод натянутой нити)

Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru

Рис 7.1.Метод выбранных точек

Выбираются точки наиболее удаленные друг от друга x1 xn, затем составляются уравнения прямых, проходящих через эти точки. Из полученной таким образом системы находятся неизвестные параметры прямой а и b

Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru

Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru , Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru , .

Метод средних

Отклонением точки (xi,yi )от кривой назовем εi -разность между значением кривой в точке xi и табличным значением yi Лучшим положением кривой Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru , считается такое, при котором отклонение точек от нее минимально. Количество точек делится на две части так, чтобы в каждой части, суммы ординат этих точек примерно совпадали. По каждой группе точек составляется сумма отклонений и приравнивается к нулю. Из системы находим a и b

Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru , Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru , Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru

.

Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru

Метод натянутой нити и метод средних не очень точны и используются обычно на предварительном этапе обработки данных для того чтобы прикинуть результаты. Рассмотрим более точный метод аппроксимации для линейной функции

Метод наименьших квадратов

Задача наименьших квадратов возникает в самых различных областях науки и техники, например, при статистической обработке данных.

Для линейной зависимости y=ax+b составляем функцию, которая представляет собой сумму квадратов отклонений от прямой: Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru , где Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru ( Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru -табличное значение, Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru - эмпирическая формула). Надо определить такие значения параметров a и b , при которых функция двух переменных достигает минимума. Необходимым условием для этого является равенство нулю частных производных по a и b.

Возьмем частные производные по переменным a и b, приравняем их к нулю:

Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru

Получим систему линейных уравнений относительно неизвестных

a и b. Система называется нормальной для метода наименьших квадратов. Решаем систему по правилу Крамера:

Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru

Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru

Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru

Если обозначить: Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru , Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru ,

Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru , Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru , то тогда можно записать

Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru и Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru .

Метод выравнивания

К линейной функции можно привести любую функцию вида ψ(y)=aּφ(x)+b, для этого достаточно сделать замену переменных, z=ψ(y), t=φ(x). Тогда мы получим z=aּt+b.

Рассмотрим показательную функцию Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru .

Прологарифмируем это равенство. Получим ln(y)=ln(a)+x ln(b). Сделаем замену переменных z= ln(y), t=x и обозначим А= ln(b) B= ln(a). После замены получим z=A t+b.

Аналогично делаются замены и для других функций из таблицы.

Таблица 7.1.

Таблица замен

Вид функции Замена переменных Характерные точки Отклонения
1. Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru     Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru  
2. Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru
3. Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru
4. Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru
5. Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru
6. Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru
7. Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru

Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru , Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru , Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru .

Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru , Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru , Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru .

Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru - табличное значение для xар;

Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru - табличное значение для хгеом;

Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru - табличное значение для хгарм.

В таблице может не оказаться точек Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru тогда точки Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru , Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru доопределяют по соседним точкам таблицы с помощью линейной интерполяции.

Для аналитических кривых существуют характерные точки, которые лежат на этих кривых. Например, если две точки принадлежат прямой, то и точка с координатами ( Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru , Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru ) принадлежит той же прямой, если две точки принадлежат гиперболе, то и точка (xар,yгарм) также принадлежат этой гиперболе. В таблице через Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru обозначено отклонение табличного значения Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru , соответствующего xар, от ординаты характерной точки Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru , через Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru - отклонение табличного Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru от ординаты характерной точки yгарм и т.д.

Остальные Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru находятся аналогично, в зависимости от характерных точек. Функция, для которой Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru примет наименьшее значение и будет наиболее подходящей. После соответствующей замены переменных применяют метод наименьших квадратов.

Пример 7.1

Бомба «Рейда» это техническое устройство для изучения легкоиспаряющихся жидкостей. В эксперименте на бомбе «Рейда» при постоянной температуре измеряется манометром избыточное давление паров нефти при различных соотношениях объёмов газовой и жидкой фаз. Определить эмпирическую зависимость давления паров нефти от соотношения объёмов газовой и жидкой фаз методом наименьших квадратов. Набор экспериментальных данных представлен в таблицах

Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru

Для того, чтобы выбрать наиболее подходящую зависимость построим график по табличным данным

Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru

Можно предположить, что это будет :

1. показательная функция (строка 2 таблицы 7.1),

2. степенная функция (строка 5 таблицы 7.1),

3. дробно–рациональная функция (строка 3 таблицы 7.1).

Выберем ту функцию, для которой Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru примет наименьшее значение.

Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru

В таблице данных нет значений Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru , Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru , Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru , подставляя Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru , Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru , Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru вместо v в формулу для линейной интерполяции, найдем соответствующие им значения функции Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru , Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru , Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru .

Формула для вычисления табличного значения для Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru , Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru , Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru , с помощью линейной интерполяции
Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru
Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru
Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru
Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru
Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru
Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru
Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru
Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru
Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru
Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru
Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru
Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru
Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru
Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru
Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru
Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru
Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru
Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru
Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru
Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru
Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru
Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru
Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru
Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru
Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru
Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru
Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru

Самые маленькие Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru . Найдем методом выравнивания параметры для выбранных видов зависимостей. Будем искать аппроксимирующую функцию в виде

Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru .

Делаем замену переменных

Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru
Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru
Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru
Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru

После замены точки ложатся близко к прямой. Параметры этой прямой A и B

Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru
Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru
Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru
Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru
Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru
Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru
Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru
Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru
Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru
Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru
Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru

После замены z = At + B нашли A и B по методу наименьших квадратов, используя встроенные функции Mathcadа.

Функция slope(x,y) возвращает значение углового коэффициента.

Функция intercept(x,y) возвращает значение свободного параметра.

Возвращаемся к исходной функции Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru , строим её график и находим сумму квадратов отклонений от исходной таблицы значений. Можно также найти и среднеквадратичное отклонение.

.

Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru

Из двух разных приближений одной и той же табличной функции лучшим считается то, для которого сумма квадратов отклонений меньше.

Для этой же таблицы данных рассмотрим приближение, заданное показательной функцией

Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru .

  Замена переменных
Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru
Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru
Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru
Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru
Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru
Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru
Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru
Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru
Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru
Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru
Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru
Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru
Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru
Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru
среднеквадратичное отклонение.
сумма квадратов отклонений
Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru

Для этой же таблицы данных рассмотрим приближение, заданное дробно-линейной функцией Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru .

Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru

Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru

Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru

Рис. 7.2. Решение примера 7.1 в Mathcad

Лучшим приближением для этих экспериментальных данных будет степенная функция. Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных - student2.ru

Наши рекомендации