Анализ систем массового обслуживания с приоритетами

Дисциплины обслуживания. Модель с приоритетами.

Дисциплина обслуживания – это способ определения того, какое требование в очереди должно обслуживаться следующим. Решение может основываться на одной из приведенных ниже характеристик или на их совокупности:

1) мера, определяемая относительным временем поступления рассматриваемого требования в очередь;

2) мера требуемого или полученного до сих пор времени обслуживания;

3) функция, определяющая принадлежность требования к той или иной группе.

Примерами дисциплин обслуживания являются постоянно используемая модель «первый пришел - первый обслужен» (FCFS-first came-first served) , называемая в русскоязычной литературе «дисциплина обслуживания в порядке поступления»-ОПП. Приведем здесь список некоторых типичных дисциплин обслуживания.

ОПП-обслуживание в порядке поступления (FCFS);

ООП – обслуживание в обратном порядке, т.е. последнее поступившее требование обслуживается первым (LCFS);

ПК – первоочередное обслуживание требований с кратчайшей длительностью обслуживания (SPT/SJE);

ПКД – первоочередное обслуживание требований с кратчайшей длительностью дообслуживания (SRPT);

ПКС – первоочередное обслуживание требований с кратчайшей средней длительностью обслуживания (SEPT);

ПКСД – первоочередное обслуживание требований с кратчайшей средней длительностью дообслуживания (SERPT);

ПКОВ – первоочередное обслуживание требований с кратчайшим обязательным временем (SIPT).

Если сравнивать эти дисциплины по среднему времени ожидания попарно, и обозначать тот факт, что среднее время ожидания для дисциплины D₁ ,больше или равно среднему времени ожидания для дисциплины D₂ следующим образом: D₁®D₂, то можно построить следующую диаграмму

ПО ® ОПП ® ПК ® ПКД

¯ ­

¯ ® ОП ®®®® ­

Итак, основным предметом анализа различных дисциплин обслуживания будем считать расчет среднего времени ожидания требования в очереди или среднего времени пребывания в системе.

Предположим, что требования принадлежат одному из P различных приоритетных классов, обозначаемых индексом p=1,2,3…P. Каждому требованию, находящемуся в системе в момент времени t ставится в соответствие значение некоторой приоритетной функции q_p(t). Чем больше значение этой функции, тем выше приоритет требования. Всякий раз, когда принимается решение для выбора требования на обслуживание, выбор делается в пользу требования с наибольшим значением приоритетной функции. В простейшем случае в качестве приоритетной функции выбирается просто значение p. В этом случае приоритет требования тем больше, чем больший номер класса принадлежности оно имеет. Рассмотрим достаточно общую модель, основанную на системе M/G/1. Предположим, что требования из приоритетного класса p образуют пуассоновский поток с интенсивностью l_p требований в секунду. Время обслуживания каждого требования из этого класса выбирается независимо в соответствие с распределением с плотностью вероятности b_p(x) со средним значением

.

Введем следующие определения

Здесь r интерпретируется как доля времени, в течение которого сервер занят (r<1), а каждый из парциальных коэффициентов r_p – как доля времени, в течение которого сервер занят обслуживанием заявок из приоритетного класса с номером p.

Если требование в процессе обслуживания может быть удалено из сервера и возвращено в очередь при поступлении требования с более высоким приоритетом, то говорят, что система работает с абсолютным приоритетом, если обслуживание любого требования, находящегося в сервере не может быть прервано, то говорят что СМО работает с относительным приоритетом.