Анализ и оптимизация коммутационных систем

Простейшая коммутационная система - это однофазная (однозвенная) схема, называемая коммутатором. Коммутатор имеет n входов и m выходов, каждый из которых может быть соединен с любым входом.

Рис. 2.1 Простейший коммутатор.

Выходы иногда объединяются в группы, которые определяют так называемые направления.

Коммутатор может быть неблокирующим, если выполнено соотношение n≤m , и блокирующим в противном случае. Блокируемость коммутатора определяется невозможностью части входов получить доступ ни к одному из выходов. Блокируемость может быть общей, когда все выходы рассматриваются равнозначными и блокируемость в определенном направлении, когда недоступными оказываются все выходы данного направления.

Важнейшей характеристикой коммутационной системы является число точек поля коммутации – управляемых точек соединения. Для коммутатора это число равно C= n x m .

Например для коммутатора 8x8 это число равно 64. Это означает, что реализующая этот коммутатор электрическая схема должна содержать 64 независимых контакта – электронных ключей. Для АТС на 10 000 абонентов реализация в виде простого коммутатора привела бы к необходимости построения схемы с 100.000.000 ключей.

В современной технике коммутационных систем применяются две основных технологии коммутации – пространственная и временная. Первая из них основана на реальных матрицах электронных ключей, а вторая использует временное мультиплексирование входных потоков и последующее перекрестное демультиплексирование. В любом случае число точек коммутации пространственных или временных ограничивается полупроводниковой технологией, возможностями теплоотвода и стоимостными факторами и требует снижения. В связи с этим для построения систем коммутации со многими входами и выходами применяют многозвенные схемы, которые позволяют обеспечить управляемое соединение входов и выходов используя меньшее чем в простом коммутаторе число точек коммутации.

Многозвенные системы кроме коммутаторов содержат фиксированные соединения между ними, называемые промежуточными линиями (ПЛ). Тем самым анализ многозвенных коммутационных схем относится к анализу сетей массового обслуживания и может проводиться описанными выше методами.

Здесь мы рассмотрим один специфический метод анализа, который применим при малом числе звеньев, но дает весьма точные результаты. Это комбинаторный метод Якобеуса. Покажем применение этого метода на примере двузвенной коммутационной системы с полнодоступным включением ПЛ.

Рис. 2.2 Пример двузвенной коммутационной системы с полнодоступным включением ПЛ.

Число выходов из каждого коммутатора звена в этой схемe для направления с номером j равно единице. Будем считать, что к рассматриваемому моменту вызов поступил на один из входов схемы. Например, на второй вход первого коммутатора. Установление соединения через схему заключается в использовании одной из свободных ПЛ и одного из свободных выходов требуемого направления, взаимно доступных друг - другу. Для обслуживания поступившего вызова могут быть использованы m ПЛ и m выходов требуемого направления, выделенных на рисунке жирными линиями. Блокировка наступит в трех случаях:

1) заняты все ПЛ. которые могут быть использованы для обслуживания,

2) заняты все выходы в требуемом направлении,

3) комбинация свободных ПЛ и свободных выходов требуемого направления невзаимнодоступна.

Если вероятность занятия любых i из m промежуточных линий, принадлежащих коммутатору первого звена обозначить W_i , а вероятность занятия определенных m-i выходов (соответствующих свободным ПЛ) обозначить через H_m-i , то в соответствии со сказанным вероятность блокировки схемы может быть записана как

.

Метод Якобеуса предполагает, что события, определяемые этими вероятностями, независимы и могут быть заданы распределениями Эрланга или Бернулли.

При распределении Эрланга вероятность занятия i серверов в пучке из m серверов при интенсивности нагрузки на пучок равной А принимается равной

Вероятность занятия m-i фиксированных серверов из m серверов в пучке, была нами рассчитана также ранее:

.

Если использовать распределение Бернулли для задания вероятности любых i серверов из пучка из m устройств, то соответствующие вероятности могут быть определены как

Здесь в качестве ρ используется средняя нагрузка на одну линию в пучке.

Использование в формуле для вероятности блокировки этих различных распределений требует дополнительных предположений.

Если коммутаторы первого уровня имеют равное число входов и выходов ( схема без сжатия и расширения), то для ПЛ можно принять распределение Бернулли. Если для выходов двухзвенной схемы также принять распределение Бернулли, считая что число коммутаторов первого звена небольшое, то можно подсчитать вероятность блокировки схемы по формуле

Здесь приняты обозначения: b – средняя интенсивность нагрузки обслуживаемой одной ПЛ, Эрл, c - средняя интенсивность нагрузки, обслуживаемой одним выходом рассматриваемого направления, Эрл.

Если число коммутаторов первого звена достаточно велико, тогда целесообразно для выходов данного направления принять распределение Эрланга, Тогда подстановка в формулу вероятности блокировки дает

.

Если для образования каждого направления в каждом коммутаторе второго звена отводится не один, а q выходов, то для модели Бернулли для выходов можно получить формулу

.

Для модели Эрланга для выходов .

При наличии сжатия в звене первого уровня можно считать пригодной модель Бернулли для первого звена и модель Эрланга для второго. Тогда вероятность блокировки может быть определена по формуле

.

В схемах с расширением, т.е. когда число выходов в коммутаторах первого звена превышает число входов, можно рассчитать вероятность блокировки по формуле

Здесь a обозначена средняя интенсивность нагрузки, обслуженной одним входом коммутатора первого звена.

Таким образом, мы получили ряд формул для расчета вероятности блокировки двухзвенной системы коммутации.

Теперь перейдем к анализу более сложных коммутационных схем. На практике в электронных системах часто используется трехзвенная схема коммутации, представленная на рис. 2.3.

Рис. 2.3 Трехзвенная схема коммутации.

Схема содержит N/n входных и N/n выходных коммутаторов, образующих соответственно первую и третью ступени коммутации. Вторая ступень коммутации состоит из k квадратных коммутаторов с N/n входами и выходами. С помощью ПЛ каждый выход коммутатора первой ступени соединяется с разными коммутаторами второй ступени, так что подключаемый вход соответствует месту коммутатора первой ступени. Иначе говоря, выходы первого коммутатора первой ступени подключаются к первым входам коммутаторов второй ступени, выходы второго коммутатора – ко вторым входам всех коммутаторов второй ступени и так далее. Аналогично соединяются через ПЛ выходы коммутаторов второй ступени со входами коммутаторов третьей.

Если подсчитать число точек коммутации для этой схемы, то его можно выразить формулой

.

При надлежащем выборе параметров n и k сложность коммутационной схемы может быть существенно ниже, чем при однозвенном построении, когда число точек коммутации в точности равно NxN.

Давая выигрыш в числе точек коммутации, многозвенная схема может, как было показано на примере двухзвенной структуры, привести к наличию блокировок. Для трехзвенной схемы условие неблокируемости было получено Ч.Клосом:

k=2n-1.

Вывод этого соотношения проводится из простых рассуждений в предположении занятости n-1 входов коммутаторов первой и третьей ступени. Поскольку при этом будут заняты n-1 коммутаторов второй ступени, то для установления n –го соединения необходим еще один коммутатор второй ступени. Отсюда

k = (n-1)+(n-1)+1=2n-1 .

Число точек коммутации для неблокирующей трехзвенной схемы будет равно

.

Число коммутаторов в первой и третьей ступени также можно выбрать. Попытаемся минимизировать число точек коммутации, варьируя число входов n. Дифференцируя по n и решая уравнение, получим:

Очевидно, что это существенно меньше, чем NxN для однозвенной схемы. Например, при N=100 000 для однозвенной схемы число точек коммутации составило бы фантастическое число 10¹⁰. Для трехзвенной неблокирующей схемы оно составит около 1.7 10⁸. Еще большей экономии в сложности схемы можно достигнуть, применяя многозвенные схемы с блокировкой, но на очень низком уровне.

Для анализа таких схем применяют метод Якобеуса и более простой метод вероятностных графов Ли. Рассмотрим пример такого анализа для рассмотренной выше трехзвенной схемы.

Рис. 2.4 Граф Ли для трехзвенной схемы коммутации.

На рис. 2.4 представлен вероятност­ный граф, который отражает две группы каналов, которые должны со­единяться друг с другом. Блокировка может возникнуть, если k<2n-1 . Кроме того, будем считать, что в системе не используется концентрация, т.е. k>n и блокировка входных или выходных коммутаторов исключена.

Предположим, что вероятность занятия входного канала равна значению параметра биноминального распределения, который, как показано было ранее, определяется через параметр входного потока и среднее время обслуживания

.

Предположим также, что нагрузка будет распределена равномерно между всеми коммутаторами промежуточного звена. Тогда вероятность занятия ПЛ будет равна

.

В соответствие с полученной выше формулой для графа Ли с параллельно-последовательной структурой можно записать:

.

Нужно сразу заметить, что эта вероятность не равна нулю даже при выполнении условия неблокируемости Клоса. Это говорит о погрешности формул, получаемых с помощью графов Ли.

Приведем таблицу для сравнения результатов расчета вероятности блокировки трехзвенной схемы методом графов Ли и метода Якобеуса.

n	k	PB по Ли	PB по Якобеусу
		0.002	0.002
		0.0002	0.00016
		1.5x10-5	6.2x10-6
		8x10-7	1.5x10-7
		10-7	3.5x10-8
		10-14	1.3x10-15

Из анализа полученных результатов видно, что метод Ли дает несколько завышенную оценку, особенно заметную для больших размеров коммутационной схемы.