Тема 3.2. Численное дифференцирование.

1.Численное дифференцирование.

2.Формулы приближенного дифференцирования, основанные на интерполяционных формулах Ньютона.

3.Погрешность в определении производной.

Дифференциал аргумента равен приращению аргумента Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru . Поэтому дифференциал функции равен произведению от производной на дифференциал аргумента Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru .

Рассмотрим функцию Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru . Предположим, что величина Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru получена непосредственным измерением или в результате приближенного вычисления. Тогда при нахождении величины Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru мы допускаем не зависящую от нас погрешность Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru . Пусть Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru – приближенное значение аргумента, Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru -абсолютная погрешность величины Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru , Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru - относительная погрешность

величины Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru , Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru -истинное значение измеряемой величины. Тогда Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru определяет приближенное значение Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru , а Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru -ее истинное значение Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru , откуда следует, что абсолютная погрешность функции Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru . При малых значениях Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru величину Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru можно приближенно заменить дифференциалом Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru : Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru .

Выгода замены приращения функции Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru ее дифференциалом Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru состоит в том, что Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru зависит от Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru линейно, а Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru представляет собой обычно более сложную зависимость от Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru .

Полагая Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru , получим выражение для относительной погрешности Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru величины Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru .

Пример: Найти абсолютную и относительную погрешность при замене приращения функции Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru ее дифференциалом в точке Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru при Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru .

Решение.

Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru

Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru ; Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru ;

Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru ; Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru

Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru

Вопросы для самопроверки:

1.В чем заключается смысл численного дифференцирования.

2.Что называется дифференциалом функции, чему он равен, как обозначается и каков его геометрический смысл?

3.Назовите формулу приближенного дифференцирования, основанные на интерполяционных формулах Ньютона.

4.Какая погрешность называется абсолютной?

5. Какая погрешность называется относительной?

Тема 3.3. Численное решение обыкновенных

Дифференциальных уравнений.

1.Метод Эйлера для решения задачи Коши.

Рассмотрим приближенное решение уравнения (1) Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru на отрезке Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru .удовлетворяющее начальному условию Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru при Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru . Разделим отрезок Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru точками Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru на Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru равных частей (здесь Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru ). Обозначим Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru , следовательно, Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru

Пусть Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru есть некоторое приближенное решение уравнения(1) и Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru

Обозначим Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru

В каждой из точек Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru в уравнении (1) производную заменим отношением конечных разностей: (2) Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru ; ( 2.1) Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru

При Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru будем иметь Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru , Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru или Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru

В этом равенстве Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru известны, следовательно находим Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru

При Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru уравнение (2.1) примет вид Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru или Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru ;

Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru где Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru -известны. Аналогично находим

Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru

Т.О. приближенные значения решения в точках Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru найдены. Соединяя на координатной плоскости точки Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru отрезками прямой, получим ломаную - приближенное изображение интегральной кривой. Эта ломаная называется ломаной Эйлера.

Пример: При Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru найти приближенное значение решения уравнения у Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru удовлетворяющего начальному условию Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru при Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru .

Решение

Разделим отрезок Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru на 10 равных частей точками Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru

Следовательно, Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru значения Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru будем искать по формуле (2.1) Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru

Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru или Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru

Таким образом, получаем Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru

В процессе решения составим таблицу

Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru
Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru =0 1,000 1,000 0,100
Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru =0,1 1,100 1,200 0,120
Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru =0,2 1.220 1,420 0.142
Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru =0,3 1,362 1,620 0,162
Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru =0,4 1,524 1,924 0,1924
Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru =0,5 1,7164 2,2164 0,2216
Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru =0,6 1.9380 2.5380 0.2538
Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru =0,7 2,1918 2.8918 0,2892
Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru =0.8 2.4810 3.2810 0.3281
Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru =0,9 2,8091 3,7091 0,3709
Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru =1,0 3,1800    

Мы нашли приближенное значение

Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru

Точное решение данного уравнения, удовлетворяющее укзанным начальным условиям, будет

Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru

Следовательно

Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru

Вопросы для самопроверки:

1. В чем заключается метод Эйлера для решения задачи Коши?

Тема занятия: Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений (метод Эйлера для решения задачи Коши)

Рассмотрим приближенное решение уравнения (1) Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru на отрезке Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru .удовлетворяющее начальному условию Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru при Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru . Разделим отрезок Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru точками Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru на Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru равных частей (здесь Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru ). Обозначим Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru , следовательно, Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru

Пусть Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru есть некоторое приближенное решение уравнения(1) и Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru

Обозначим Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru

В каждой из точек Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru в уравнении (1) производную заменим отношением конечных разностей: (2) Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru ; ( 2.1) Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru

При Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru будем иметь Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru , Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru или Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru

В этом равенстве Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru известны, следовательно находим Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru

При Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru уравнение (2.1) примет вид Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru или Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru ;

Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru где Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru -известны. Аналогично находим

Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru

Т.О. приближенные значения решения в точках Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru найдены. Соединяя на координатной плоскости точки Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru отрезками прямой, получим ломаную - приближенное изображение интегральной кривой. Эта ломаная называется ломаной Эйлера.

Пример: При Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru найти приближенное значение решения уравнения у Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru удовлетворяющего начальному условию Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru при Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru .

Решение

Разделим отрезок Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru на 10 равных частей точками Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru

Следовательно, Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru значения Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru будем искать по формуле (2.1) Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru

Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru или Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru

Таким образом, получаем Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru

В процессе решения составим таблицу

Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru
Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru =0 1,000 1,000 0,100
Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru =0,1 1,100 1,200 0,120
Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru =0,2 1.220 1,420 0.142
Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru =0,3 1,362 1,620 0,162
Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru =0,4 1,524 1,924 0,1924
Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru =0,5 1,7164 2,2164 0,2216
Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru =0,6 1.9380 2.5380 0.2538
Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru =0,7 2,1918 2.8918 0,2892
Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru =0.8 2.4810 3.2810 0.3281
Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru =0,9 2,8091 3,7091 0,3709
Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru =1,0 3,1800    

Мы нашли приближенное значение

Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru

Точное решение данного уравнения, удовлетворяющее укзанным начальным условиям, будет

Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru

Следовательно

Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru

Контрольная работа

1.Материальная точка массой m кг движется прямолинейно по закону S(t) .

Найти силу, действующую на нее в момент времени t.

Вариант 1 m= 2 кг Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru с;

Вариант 2 m= 3 кг Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru (м) Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru с;

Вариант 3 m= 4 кг Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru с.;

Вариант 4 m= 3 кг Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru (м) Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru с ;

Вариант 5 m= 2 кг Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru (м) Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru с;

Вариант 6 m= 4 кг Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru (м) Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru с;;

Вариант 7 m= 2 кг Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru с;

Вариант 8 m= 2 кг Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru с;

Вариант 9 m= 2 кг Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru с;

Вариант 10 m= 2 кг Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru с;

2. Вариант 1.Напишите уравнение касательной к графику функции Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru в точке Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru . Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru

Вариант 2. Напишите уравнение касательной к графику функции Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru в точке Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru . Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru ; Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru

Вариант 3. Напишите уравнение касательной к графику функции Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru в точке Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru . Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru ; Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru

Вариант 4. Напишите уравнение касательной к графику функции Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru в точке Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru . Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru ; Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru

Вариант 5. Напишите уравнение касательной к графику функции Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru в точке Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru . Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru ; Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru

Вариант 6. Напишите уравнение касательной к графику функции Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru в точке Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru . Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru ; Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru .

Вариант 7. Напишите уравнение касательной к графику функции Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru в точке Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru . Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru ; Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru

Вариант 8. Напишите уравнение касательной к графику функции Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru в точке Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru . Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru ; Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru

Вариант 9. Напишите уравнение касательной к графику функции Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru в точке Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru . Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru ; Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru

Вариант 10. Напишите уравнение касательной к графику функции Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru в точке Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru . Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru ; Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru

3.Исследуйте функцию и постройте ее график:

Вариант 1. Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru Вариант 2. Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru ;

Вариант 3. Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru ; Вариант 4. Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru ;

Вариант 5. Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru ; Вариант 6. Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru ;

Вариант 7. Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru ; Вариант 8. Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru ;

Вариант 9. Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru ; Вариант 10. Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru .

4. Решите задачу:

Вариант 1.

Два тела движутся по прямой из одной и той же точки. Первое тело движется со скоростью Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru м/с, второе – со скоростью Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru м/с. В какой момент и на каком расстоянии от начальной точки произойдет их встреча?

Вариант 2.

Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru м/с, второе – со скоростью Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru м/с. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 10 с?

Вариант 3.

Скорость движения точки Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru м/с. Найдите путь, пройденный за 5 с. от начала движения.

Вариант 4.

Скорость движения точки Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru м/с. Найдите ее путь за 2-ю секунду.

Вариант 5.

Скорость движения точки Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru м/с. Найдите путь, пройденный точкой от начала движения до ее остановки.

Вариант 6.

Скорость движения точки Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru м/с. Найдите: 1)Путь пройденный точкой за 3 с. от начала движения; 2)Путь пройденный точкой за 3-ю секунду.

Вариант 7.

Пружина растягивается на 0,02 м под действием силы 60 Н. Какую работу производит эта сила, растягивая пружину на 0,12?

Вариант 8 .

Под действием силы 80 Н пружина растягивается на 0,02 м. Первоначальная длина пружины равна 0,15 м. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть ее до 0,2 м.

Вариант 9 .

Пружина в спокойном состоянии имеет длину 0,1 м. сила в 20 Н растягивает ее на 0,01 м. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть ее от 0,12 до 0,14 м?

Вариант 10 .

При сжатии пружины на 0,05 м совершается работа 30 Дж. Какую работу необходимо совершить чтобы сжать пружину на 0.08 м?

5. Найдите общие решения уравнений:

Вариант 1. Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru ; Вариант 2. Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru ;

Вариант 3. Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru ; Вариант 4. Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru ;

Вариант 5. Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru ; Вариант 6. Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru ;

Вариант 7. Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru ; Вариант 8. Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru ;

Вариант 9. Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru ; Вариант 10. Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru

6. Используя признак Даламбера, исследуйте сходимость ряда:

Вариант 1. Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru ; Вариант 2. Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru ;

Вариант 3. Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru ; Вариант 4. Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru ;

Вариант 5. Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru ; Вариант 6. Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru ;

Вариант 7. Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru ; Вариант 8. Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru ;

Вариант 9. Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru ; Вариант10. Тема 3.2. Численное дифференцирование. - student2.ru .

7. Дискретная величина распределяется по закону.

1.Начертить график (т. е. построить многоугольник распределения):

2.Найти математическое ожидание:

3.Найти дисперсию и среднее квадратичное ожидание:

Вариант 1 Х 2 4 7 9 Вариант 2. Х 2 4 5 6

Р 0,1 0,6 0,2 0,1 Р 0,3 0,1 0,2 0,4

Вариант 3. Х 10 15 20 Вариант 4. Х 2 4 6

Р 0,1 0,7 0,2 Р 0,1 0,7 0,2

Вариант 5. Х 2 3 4 9 Вариант 6. Х 12 14 16

Р 0,3 0,1 0,2 0,4 Р 0,2 0,6 0,2

Вариант 7. Х 1 3 5 7 Вариант 8. Х 2 4 6 8

Р 0,3 0,1 0,2 0,4 Р 0,5 0,1 0,3 0,1

Вариант 9. Х 1 3 7 2 Вариант 10. Х 2 4 6

Р 0,3 0,1 0,2 0,4 Р 0,1 0,7 0,2

Методические указания

по изучению дисциплины Математика

для специальности 140414.51 Техническая эксплуатация

и обслуживание электрического

и электромеханического

оборудования (по отраслям)

Уровень подготовки базовый

Тольятти 2012

Наши рекомендации