Практическая работа 4. Двойственные задачи линейного программирования

Цель: Ознакомить студентов с методикой постановки задач на основе алгебры матриц.

В результате проработки темы студент должен освоить основы линейной алгебры, уметь выполнять действия над алгебраическими объектами, использовать их при решении задач.

Актуальность темы: Математическое моделирование начинается с перевода словесного описания модели на язык математических формул.

Теоретическая часть

Исходной информацией при построении математической модели объекта служат данные о его назначении и условиях работы. Эта информация определяет цель моделирования и позволяет сформулировать требования к математической модели.

На основе известных законов ( природы, физики, экономики и других) составляются уравнения, неравенства или их системы, описывающие либо равновесие спроса и предложения, либо баланс материальных и денежных ресурсов, а также физические законы сохранения материи, энергии, вещества, соотношения денежного обмена и т. п. Составление этих математических задач как раз и является сутью математического моделирования, а результаты их решения описывают различные аспекты моделируемого явления.

Постановка задачи при моделировании предполагает ответы на три вопроса:

1. Каковы переменные этой задачи, то есть что требуется в ней найти? Переменные мы вводим и обозначаем сами.

2. Какие ограничения должны быть наложены на переменные, согласно условиям задачи?

3. Какова цель задачи?

Пример простейшей модели планирования производства

Предприятие производит два вида продукции П₁ и П₂ (например, туфли и ботинки) и использует два вида сырья (кожу и резину) ежедневные запасы которых соответственно b₁ и b₂ условных единиц. Согласно технологии производства, а_ij количество i – го вида сырья идущего на изготовление единицы j – ой продукции (например, - количество кожи, идущей на один ботинок). Требуется спланировать работу так, чтобы ежедневно использовать полностью запасы сырья.

В нашей задаче нужно определить количество и - продукции видов П₁ и П₂ соответственно. Можно сказать, что нужно найти вектор-план с координатами , . Для постановки задач часто удобно использовать балансовую таблицу ( здесь - таблица 1), в которую можно вписать все данные и используемые переменные, причем информацию о технологии производства впишем в уголки ячеек.

Таблица 1 Балансовая таблица данных задачи

Продукт Сырье	П1	П2	Запасы сырья
А
Б

Из таблицы легко вытекают балансовые соотношения по расходу сырья (ограничения):

(1)

Получилась система двух уравнений с двумя неизвестными и . В данной задаче целью является полное использование сырья, поэтому строгие равенства в балансовых соотношениях служат как ограничениями, так и целевой характеристикой задачи.

Решая систему школьным методом алгебраического сложения, получим:

или ; аналогично (2)

Очевидно, что эти формулы легче запомнить если ввести в рассмотрение матрицу коэффициентов, т.е. таблицу чисел:

(3)

(в данной задаче она является технологической матрицей), где первый индекс показывает номер строки, второй – номер столбца, на которых находится элемент. В числителе и знаменателе формул (2) стоят числа, обозначим их буквами D₁, D₂, D, так что

; , (4)

где (5)

- число, которое находится как разность произведений чисел, лежащих на главной и побочной диагоналях определителя (5), полученного из матрицы (3). Аналогично вычисляются определители

; (6)

Заметим, что формулы (4) представляют собой правило Крамера для решения системы двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными.

Таким образом, при описании поставленной проблемы средствами математики мы использовали в этой задаче разные математические формы обработки одной и той же информации: систему уравнений, матрицу, определители, вектор. Это родственные математические понятия, но каждое имеет свои особенности и правила преобразований, используя которые, можно найти наиболее простой путь решения задачи.

Задание: Повторить из курса математики темы: определители, матрицы, системы линейных алгебраических уравнений.

Задание к практическому занятию:

Задания выполняются в соотвктсвии со своим вариантом.

Базовый уровень:

Вычислить определители:

1.1. . 1.4. . 1.7. .	1.2. . 1.5. . 1.8. .	1.3. . 1.6. . 1.9. .
1.10. .	1.11. .
1.12. .	1.13. .
1.14. .	1.15. .
1.16. .	1.17. .
1.18. .
1.19. .	1.20. .

Вычислить определители, предварительно упростив их:

1.21. .	1.22. .
1.23. .	1.24. .
1.25. .	1.26. .
1.27. .	1.28. .
1.29. .	1.30. .

Решить уравнения и выполнить проверку подстановкой корней в определитель:

1.31. =0 .	1.32. =0 .
1.33. =0 .	1.34. =0.
1.35. =0.	1.36. =0 .
1.37. =0 .	1.38. =0 .
1.39. =0.	1.40. =0 .

Выполнить действия над матрицами:

1.41. C = 2A + B, где A = , B = .

1.42. C = A · B, где A = , B = .

1.43. D = (2A + B) · C, где A = ( 4 0 –2 3 1 ) , B = ( 1 –1 6 8 0 ) ,

.

1.44. D = A · B · C, где

A = ; B = ; C = ;

1.45. D = A², где A = ;

1.46. D = A³, где A = ;

1.47. D = A⁴, где A = ;

Найти f(A):

1.48. f(x) = 3x² – 4, A = ;

1.49. f(x) = x² + x, A = ;

1.50. f(x) = 3x² – 2x + 1, A = ;

Найти транспонированные и обратные для следующих матриц:

1.51. ;	1.52. ;
1.53. ;	1.54. ;
1.55. ;	1.56. ;
1.57. ;	1.58. ;
1.59. ;	1.60. .

Решить матричные уравнения:

1.61. · X = . 1.62. X · = .

1.63. X · = .

1.64. X · = .

Доказать равенства:

1.65. a) (AT)T = A ;	b) (A + B)T = AT + BT ;
1.66. (A · B)T = BT · AT ;	1.67. (α · A)–1 = A–1 ;
1.68. (A–1)T = (AT)–1 ;	1.69. (A · B)–1 = B–1 · A–1 .

1.70. Вычислить: A · A^T и A^T · A для A = .

Ранг матрицы

Если выделить в матрице из m × n элементов k строк и k столбцов, где k – число меньшее или равное меньшему из чисел m и n, то определитель порядка k, составленный из элементов выделенных k строк и k олбцов, называется минором, порожденным матрицей A.

Базисным минором называется всякий отличный от нуля определитель, порядок которого равен рангу матрицы.

Методы нахождения ранга матрицы:

1. Метод единиц и нулей. Путем элементарных преобразований матрицу приводим к виду, когда каждый ее ряд содержит только нули и одну единицу. Число оставшихся единиц и определяет ранг исходной матрицы.

2. Метод окаймляющих миноров. Минор M_k+1 порядка k + 1, содержащий в себе минор M_k порядка k, называется окаймляющим минором M_k. Если матрица A имеет минор M_k ≠ 0, а все окаймляющие его миноры M_k+1 = 0, то ранг матрицы равен k. (rang A = k).

Пример

Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров.

A = M₂ = = –8 + 20 = 12 ≠ 0 .

Для M₂ окаймляющими будут:

= 0 , = 0 . М

Поэтому rang A = 2.

Задание к практическому занятию:

Задания выполняются в соответсвии со своим вариантом.

Базовый уровень:

Найти ранг матрицы:

1.71. .	1.72. .
1.73. .	1.74. .
1.75. .	1.76. .
1.77. .	1.78. .
1.79. .	1.80. .