И спектральные характеристики

Пусть функция времени х(τ) интегрируема в квадрате с ве­сом ρ(t, τ) на нестационарном отрезке [a(t), b(t)], т. е.

И спектральные характеристики - student2.ru

Будем аппроксимировать функцию x(τ) на нестационарном отрезке [a(t), b(t)] линейной комбинацией первых n+1 функций нестационарной ортонормированной вещественной системы {ψi(t, τ)}:

И спектральные характеристики - student2.ru

где коэффициенты Сi(t) подлежат выбору.

За меру точности приближения обобщенного полинома хn(t, τ) к функции x(τ) на нестационарном отрезке [a(t), b(t)] примем функцию

И спектральные характеристики - student2.ru

Нетрудно показать, что минимум функции Jn(t) в каждый момент t достигается, если коэффициенты Сi(t) являются коэф­фициентами Фурье, определяемыми формулами

И спектральные характеристики - student2.ru

Минимальное значение меры точности определяется выражением

И спектральные характеристики - student2.ru

Систему нестационарных ортогональных функций будем назы­вать замкнутой, если справедливо соотношение

И спектральные характеристики - student2.ru

Любая система нестационарных ортогональных многочленов, а также системы нестационарных тригонометрических функций, рассмотренных выше, на конечном отрезке являются замкнутыми, что следует из замкнутости соответствующих стационарных систем.

Ряд Фурье является нестационарным, поскольку на нестационарном отрезке меняются как базисные функции

ψi(t,τ), так и коэффициенты Фурье Сi(t). Последние есть функ­ции переменной t, от которой зависят концы отрезка.

Функция X(i, t), ординатами которой являются коэффици­енты Фурье функции х(τ), представляет собой одномерную спект­ральную характеристику функции х(τ) по нестационарному ортонормированному базису {ψi(t, τ)}, называемую в дальнейшем просто нестационарной спектральной характери­стикой. Нестационарная спектральная характеристика X(i, t), согласно выражению , определяется формулой

И спектральные характеристики - student2.ru (*)

где ψ(i, t, τ) = ψi(t, τ)} - общий член ортонормированной системы {ψi(t, τ)}.

Нестационарная спектральная характеристика является функ­цией двух аргументов: дискретного аргумента i и непрерыв­ного t. Она описывает свойства функции времени на переменном отрезке времени [a(t), b(t)], а при фиксированном аргументе t = ts - на стационарном отрезке времени [a(ts), b (ts)].

Нестационарная спектральная характеристика может быть пред­ставлена в виде матрицы — столбца с бесконечным числом эле­ментов, которыми являются ординаты спектральной характери­стики Сi(t):

И спектральные характеристики - student2.ru

Если требуется представить нестационарную спектральную характеристику матрицей-строкой, то будем последнюю опреде­лять как транспонированную матрицу XT(t) .

Обратный переход от спектральной характеристики к функ­ции времени осуществляется по формуле

И спектральные характеристики - student2.ru

и практически может быть произведен путем численного или графического суммирования конечного числа членов ряда . Поскольку нестационарный ряд Фурье является функцией боль­шего числа независимых переменных, чем аппроксимируемая функ­ция, то обратный переход можно выполнить двумя способами. Так, можно суммировать конечное число членов сечения ряда при фиксированном аргументе t = ts:

И спектральные характеристики - student2.ru

Очевидно, что в этом случае восстанавливаемая функция будет найдена как функция времени τ в пределах стационарного отрезка a(ts)≤τ≤b(ts). Кроме того, восстанавливаемая функция может быть найдена как функция времени t путем суммирования конечного числа членов сечения ряда при τ = t:

И спектральные характеристики - student2.ru

если ψ(i, t, t) определено и тождественно не равно нулю, как, например, функции системы И спектральные характеристики - student2.ru .

Указан­ная особенность обратного перехода к функции времени имеет место и для двумерных нестационарных разложений.

Нестационарные спектральные характеристики дельта - функ­ции и ее производных вычисляются по общей формуле (*).


Наши рекомендации