Понятие устойчивости автоматической системы

Выясним физическую трактовку понятия устойчивости. Рассмотрим шар, помещенный в верхнюю точку возвышенности (рис.5, а). Он находится в неустойчивом положении. Действительно, достаточно малейшего отклонения шара от начального положения, как он скатится по склону поверхности и не возвратится в исходное положение. Наоборот, шар, находящийся во впадине (рис. 5, б)_, занимает устойчивое положение, так как после отклонения он обязательно возвратится к своему первоначальному состоянию.

Рис.5. К определению устойчивости состояний системы шар-поверхность.

Таким образом, устойчивость — это свойство системы (шар — поверхность) возвращаться в исходное состояние после вывода ее из этого состояния и прекращения действия возмущения.

Как видно из определения, способность системы возвращаться в первоначальное состояние связывается с начальными отклонениями. В рассмотренных примерах устойчивость и неустойчивость не зависят от начальных отклонений шара. Однако можно представить себе такую систему, которая при малом отклонении возвращается, а при большом — не возвращается в исходное состояние. Например, на рис. 5, в изображен шар, находящийся во впадине, а сама впадина расположена на вершине выпуклого тела. Очевидно, что если при начальном отклонении шар не выйдет закрай впадины, то он возвратится в ис­ходное положение, а если выйдет, то не возвратится. Принято считать, что такая система устойчива в малом и неустойчива в большом, поскольку устойчивость связана с величиной начального отклонения. Система же, изображенная на рис. 5, б, является неограниченно устойчивой, так как шар будет возвраща­ться в исходное положение при любом начальном отклонении.

Всегда ли за исходное состояние системы, устойчивость которой оценивается, берут состояние покоя? Нет, не всегда. В общем случае можно говорить об устойчивости движения вообще, т. е. движения, связанного с любим перемещением массы или энергии. Например, можно оценивать устойчивость движе­ния спутника как его способность возвращаться на исходную орбиту после прекращения действия сил, отклонявших спутник от заданной орбиты. Точно так же можно оценивать устойчивость системы автоматического управления как ее способность возвращаться к первоначальному невозмущенному движению после прекращения действия возмущения.

Итак, ми рассмотрели качественную оценку понятия устойчивости. Однако существует и количественная оценка понятия устойчивости: устойчивость можно описать математическими формулами.

Впервые наиболее существенные математические результаты по устойчивос­ти механических систем были получены русским ученым А. М. Ляпуновим в 1880—1910 гг. Поскольку различные по своей природе материальные системы описываются одинаковыми дифференциальными уравнениями, то результаты по устойчивости механических систем, полученные А. М. Ляпуновим, можно применить и ко многим другим физическим системам, в том числе и к системам автоматического управления.

Устойчивость является очень важной характеристикой качества систем и устройств, применяемых в самых различных областях техники. Особенно остро проблема устойчивости стоит в автоматике. Это объясняется следующим. Автоматические системы являются замкнутыми системами, у которых выходная величина через основную обратную связь подается на вход системы, где сравнивается с задающим воздействием. Нормально функционирующая система стремится уменьшить разность между значениями задающего воздействия и управляемой величины. Однако в ряде случаев может получиться так, что эта раз­ность будет не уменьшаться, а возрастать с течением времени, т. е. система будет неустойчивой. Характерно, что неустойчивой может быть система, состоящая только из устойчивых элементов, как это чаще и бывает на практике.

Ввиду сложности автоматических систем для оценки их устойчивости только физических представлений недостаточно. Для этого необходимо применение математического аппарата. Поэтому рассмотрим, в чем состоит особенность математической трактовки устойчивости автоматических систем.

Возникает вопрос, как определить знаки вещественных частей кор­ней характеристического уравнения, а следовательно, и определить устойчивость системы, не решая характеристического уравнения.

Этим вопросом занимались многие ученые. В результате исследований были сформулированы условия устойчивости в виде так называемых критериев ус­тойчивости. Прежде всего было установлено, что необходимым условием устой­чивости системы является положительность всех коэффициентов ее характе­ристического уравнения. Положительность коэффициентов характеристиче­ского уравнения для систем третьего и более высоких порядков является лишь необходимым, но недостаточным условием устойчивости системы.

Какие же условия являются не только необходимыми, но и достаточными для устойчивости системы? Какие исходные данные необходимы для определения выполняемости этих условий?

Условия устойчивости формулируются в виде различных критериев устой­чивости, каждый из которых применяют в зависимости от того, какими исходными характеристиками и данными располагают. Если известны дифференциальные уравнения системы, то чаще применяют алгебраические критерии устой­чивости.