Точечное позиционирование. Коды псевдодальности

S₂ S₄

S₁

S₃

Z

M

приёмник

Z_M ZS₄

Y

X_M XS₄

Y_M YS₄

Рис.1.4

В данной задаче даны координаты спутников X_si, Y_si, Z_si. Одновременно от них определены псевдодальности R₁, R₂, R₃, R₄ до точки земного эллипсоида. Необходимо определить координаты точки М: X_M, Y_M, Z_M.

Суть задачи заключается в том, что каждая псевдодальность определяется выражением

R=c*Dt (1.25)

где:

с- скорость распространения света,

Dt- время распространения сигнала от спутника до приёмника в т. М.

Его можно записать так

Dt=t_M-t_S (1.26)

где:

(1.27)

(1.28)

d_М и d_S- временные задержки (задержка часов, со знаком «-»)

Псевдодальность от спутника до приёмника является истинной дальностью

R_ист=c(t_М - t_S) (1.29)

R_ист =c(t_М(GPS)-t_S(GPS)-d_М+d_S ) (1.30)

R_ист=R -cd_М+cd_S (1.31)

R =c(t_М(GPS)-t_S(GPS) (1.32)

R= R_ист – c(d_S - d_М) (1.33)

(1.34)

Из уравнения (1.34) и (1.32) следует, что псевдодальность это смещение из-за временных задержек истинной дальности.

R_ист = ρ - истинная дальность

Уравнение (1.32) является исходным для определения координат т. М.

Координаты спутника с i-м номером известны - X_i, Y_i, Z_i

Соответственно логично записать :

(1.35)

Согласно (1.35) в (1.32) будет 4 неизвестных х_м, у_м, z_м, d_м. Следовательно для решения необходимо иметь четыре уравнения (1.32).

(1.36)

Вид их будет следующим:

Поскольку система (1.38) нелинейна, то для её решения необходима линеаризация, т.е. разложение радикала в ряд Тейлора. Для этого необходимо иметь подходящее приближение координат точки М. Тогда полагая:

(1.38)

где: х_м°,у_м°,z_м°- приближенные координаты точки.

Система линейных уравнений примет вид:

(1.39)

где:

(1.40)

Из решения системы (1.40) находятся соответствующие неизвестные.

Фазы псевдодальностей

В этом случае реализован всем известный фазовый метод. В этом методе измеряется не разность времени (t₂ - t₁), а разность фаз.

(1.41)

(1.42)

Находится разность фаз:

(1.43)

(1.44)

(1.45)

Базовое уравнение для фазового метода:

(1.46)

Необходимо перейти к координатам точки. В действительности измеряют не истинную разность фаз, а разность фаз с временной задержкой

(1.47)

(1.48)

(1.49)

(1.50)

, где (1.51)

(1.52)

(1.53)

, отсюда (1.54)

(1.55)

(1.56)

(1.57)

(1.58)

(1.59)

Из курса высшей геодезии:

(1.60)

, где N – число волн целых периодов между и или число неоднозначности [1]

Для спутника с номером i уравнение фазовое: (1.61)

Если составить 4 уравнения, то неизвестны будут: _м, _м, _м, N₁, N₂, N₃, N₄, (где N – число неоднозначности ).

В этой системе из четырех уравнений – 8 неизвестных. Тогда задачу решают так:

Числа целых циклов N₁, N₂, N₃, N₄, являются постоянными, так как они даны для начальной эпохи t₀. В последующем измеряются приращения фаз по отношению к начальной эпохе. Тогда нетрудно заметить, что число неизвестных от эпохи к эпохе будет увеличиваться на единицу. А именно будет прибавляться одно неизвестное . Отсюда для двух эпох для четырех спутников число неизвестных будет девять, для трех – десять, для четырех – одиннадцать. Таким образом для работы с фазовым методом необходимо иметь как минимум три эпохи наблюдения по четыре спутника. Для одной эпохи система линейных уравнений примет вид:

(1.62)