Понятие о деформированном состоянии в точке. Компоненты деформаций

Изменение формы или размеров тела, есть его деформация. Любое тело можно мысленно расчленить на элементарные параллелепипеды. Какова бы ни была деформация тела в целом (растяжение, сжатии, сдвиг, кручение, изгиб), у параллелепипедов могут изменяться только линейные размеры (ребра) и углы наклона граней. Следовательно, в основе любых геометрических изменений тела лежат линейные и угловые деформации. Линейные размеры тела могут меняться в одном или одновременно в двух и трех взаимно перпендикулярных направлениях. В соответствии с этим деформации называют линейными, плоскими и объемными. Линейные деформации характеризуются абсолютными удлинениями (рис. 3.10)

,

(3.28)

и относительными удлинениями

,

(3.29)

где l_o и l₁ - линейные размеры до и после деформации.

Плоские деформации характеризуются абсолютным и относительным сужением площади:

,	(3.30)
,	(3.31)

где F_o и F₁ - размеры площади до и после деформации.

Объемные деформации характеризуются абсолютным и относительным изменением объема:

,	(3.32)
,	(3.33)

где V_o и V₁ - размеры объема до и после деформации.

Линейные деформации, как правило, сопровождаются изменением объема тела.

Угловые деформации характеризуются изменением углов наклона γ=α+β граней элементарного параллелепипеда (рис. 3.10). В результате угловой деформации происходит взаимное смещение параллельных граней, то есть сдвиг. Относительный сдвиг γ, может служить характеристикой угловой деформации. При угловых деформациях (сдвигах) изменяется только форма тела, а объем остается неизменным.

Линейная деформация связана, в основном, с действием нормальных напряжений, а деформация сдвига определяется, главным образом, касательными напряжениями. Так, при одноосном растяжении бруса изменяется угол между площадками, где действуют касательные напряжения. Углы между поперечными и продольными площадками, где действуют только нормальные напряжения, остаются прямыми.

Если по граням элемента действуют только касательные напряжения, то такой элемент будет испытывать только деформацию сдвига. Такая деформация называется чистым сдвигом (рис.3.11). Линейное смещение δ одной грани относительно противоположной называется абсолютным сдвигом, а отношение δ к расстоянию между этими гранями h - относительным сдвигом. Отношение δ/h равно тангенсу угла сдвига γ. Вследствие малости угла γ можно принять tgγ≈γ. Подобно тому, как при растяжении имеет линейная зависимость между σ и ε (1.4), при сдвиге наблюдается линейная зависимость между τ и γ, представляющая закон Гука при сдвиге

,

(3.34)

где G - модуль упругости при сдвиге или модуль упругости второго рода. Его размерность Н/м².

Всякая деформация связана со смещением точек тела, но не всякое смещение точек тела есть его деформация. Смещение точек тела без изменения их взаимного расположения есть перемещение тела. Смещение точек тела с изменением их взаимного расположения есть деформация тела.

Рис. 3.10. Угловые деформации

Рис.3.11. Деформация чистого сдвига

Вокруг каждой точки тела можно мысленно выделить бесчисленное множество различно ориентированных элементарных параллелепипедов; у каждого из них будут свои линейные и угловые деформации. Совокупность всех линейных и угловых деформаций в точке есть деформированное состояние в этой точке тела.

Относительные деформации в направлении координатных осей x, y, z (1,2,3) обозначаются ε_x, ε_y, ε_z (ε₁₁, ε₂₂, ε₃₃). Угловые деформации характеризуются углами сдвига, представляющими собой изменение первоначально прямого угла между парой ортогональных отрезков, исходящих из данной точки. Углы сдвига в координатных плоскостях обозначаются γ_xy, γ_yz, γ_xz (2ε₁₂, 2ε₂₃, 2ε₁₃). Линейные деформации в направлении координатных осей прямоугольной системы координат и углы сдвига в координатных плоскостях называются компонентами деформаций в данной точке тела. Как компоненты напряжений полностью определяют напряженное состояние в точке тела, так и компоненты деформаций полностью определяют деформированное состояние в точке тела.

Имеет место полная аналогия в математических зависимостях и свойствах теории напряженного и теории деформированного состояний. При этом матрица компонент деформированного состояния образуется из матрицы компонент напряженного состояния (3.7) заменой нормальных напряжений относительными линейными деформациями, а касательных напряжений – сдвигами, с той лишь поправкой, что касательные напряжения заменяются не на γ, а на γ/2:

(3.35)

Относительная деформация по любому направлению, величины и направления главных деформаций, определяются по аналогии с методами рассмотренными выше для напряженного состояния. В изотропном теле направления главных осей напряженного и деформированного состояний совпадают.