Продольная деформация прямолинейного стержня

Рассмотрим задачу о растяжении-сжатии прямого стержня, произвольного поперечного сечения (в общем случае переменного по длине). Совместим ось с осью симметрии стержня. Начало координат поместим в один из концов стержня, вся длина которого равна . Пусть – функция, показывающая изменение площади поперечного сечения стержня, – модуль упругости материала, который предполагается однородным и изотропным. Пусть на стержень по всей длине в направлении действует сплошная нагрузка, интенсивностью (одинаковая в каждой точке поперечного сечения).

Под действием этой нагрузки стержень растягивается или сжимается. Предположим, что все сечения, нормальные к оси стержня в его недеформированном состоянии, остаются плоскими (не искажаются) и сохраняют свою перпендикулярность к оси в процессе растяжения-сжатия (гипотеза плоских сечений).

В этом случае можно приближенно считать, что точки поперечного сечения, находящегося на расстоянии от начала координат, получат одинаковое перемещение . Сечение, находящееся на расстоянии , получит перемещение . Координата выбрана произвольно, так что имеем функцию продольных перемещений точек оси стержня. Тогда относительное удлинение элемента будет равно

– геометрическое уравнение.

Также из гипотезы плоских сечений следует, что в поперечных сечениях действуют только нормальные напряжения , одинаковые во всех точках сечения. Равнодействующая этих напряжений равна

,

где – площадь поперечного сечения с координатой .

Нормальные напряжения связаны с продольными деформациями физическим соотношением (закон Гука)

(или )

Уравнение равновесия можно составить, рассматривая элементарный отрезок стержня , находящийся под действием внешней нагрузки и внутренних усилий: – слева и – справа.

Проектируя эти силы на ось , получим

или .

Будем считать, что продольные деформации стержня стеснены упругим основанием с коэффициентом . (Это значит, что существует упругая среда, обладающая тем свойством, что возникающие с её стороны реакции пропорциональны перемещениям и равны ).

Тогда, уравнение равновесия будет иметь вид

(1)

– уравнение равновесия.

Для того чтобы задача была поставлена корректно, надо к данному уравнению добавить граничные условия.

В данной одномерной задаче область, занимаемая упругим телом – отрезок прямой , а граница области состоит из двух точек и . Направляющие косинусы внешней нормали в этих точках равны и .

Можно рассматривать граничные условия двух видов. Если на соответствующих концах стержня заданы сосредоточенные силовые воздействия и , то имеем статические краевые условия. Если в точках и заданы перемещения и , то имеем кинематические граничные условия.

Статические краевые условия	Кинематические краевые условия
	(2)

Параметры и задаются на каждом конце стержня и принимают значения 0 или 1, в зависимости от решаемой задачи, причем . Смысл этих параметров определяется индексом, так, например, , если на соответствующем конце задана внешняя сосредоточенная сила , тогда как, перемещение там не фиксируется.

Например, для стержня, у которого один конец закреплен, другой свободен, будем иметь

, .

Математическая модель (1), (2) называется краевой задачей для перемещений.

Существует и другая математическая модель описывающая ту же задачу.

Найдем полную потенциальную энергию данной механической системы

,

где – потенциальна энергия деформации при растяжении-сжатии, – работа внешних сил.

В данном случае

,

Работа сил упругого основания равна

.

Работа, которую производит заданная распределенная нагрузка и заданные сосредоточенные на концах силы равна

.

Таким образом, функционал полной потенциальной энергии (функционал Лагранжа) для данной задачи принимает вид

. (3)

Таким образом, математическая модель для решения той же задачи определения смещений в стержне, находящемся под действием продольно распределенных сил, может быть сведена к нахождению минимума функционала полной потенциальной энергии (3), с учетом краевых условий (2). Такая задача называется вариационной.

Найдем связь между вариационной и краевой задачами. Вычислим первую вариацию функционала, и приравняет её к нулю.

.

Применим к первому интегралу формулу интегрирования по частям:

.

Таким образом, получаем

.

Функционал Лагранжа определен на кинематически допустимых перемещениях, следовательно, допустимая к рассмотрению вариация отлична от нуля на конце стержня, если на этом конце и , тогда

.

Используя основную лемму вариационного исчисления, из условия получаем уравнение Эйлера для этого функционала

(уравнение равновесия)

и естественные краевые условия:

, т.к. .

(статические краевые условия).

Рассмотрим частный случай внешней нагрузки и однородных граничных условий. Пусть – вес тела, а коэффициент упругого основания не зависит от x, т.е. ( – удельный вес материала – ускорение свободного падения), .

Пример 1.

Бетонный стержень конической формы заделан нижним концом и испытывает воздействие собственного веса. Высота стержня равна 3 м, радиус нижнего основания 0,5 м, верхнего основания 0,25 м.

.

Данные: , , ,

(плотный грунт), , , .

Определить перемещения и внутренние усилия. Рассмотреть два метода: 1) метод Ритца; 2) метод конечных элементов.

Математическая модель задачи имеет вид

,

, .

1) Метод Ритца

Перейдем в функционале полной потенциальной энергии и граничных условиях к безразмерным величинам по формулам

.

Тогда,

,

, , , .

Здесь , – площадь поперечного сечения при .

Таким образом, получаем задачу о минимуме функционала

,

с граничными условиями

, .

Решение ищем в виде,

где в качестве базисных функций выбираем систему функций

.

Решение задачи (без учета упругого основания)

2) Метод конечных элементов.

Математическая модель задачи:

,

.

Система метода конечных элементов будет иметь вид:

,

где

,

,

,

,

,

,

, .

Пример 2.

Рассчитать ступенчатый брус с исходными данными, приведенными на рисунке.

Математическая модель задачи:

,

Система метода конечных элементов для пяти элементов будет иметь вид:

где

,

,

,

,