Краткий анализ основ геометрий 6 страница
Любое «безразмерностное» число или символ, рассматриваемое само по себе и для себя, то есть вне уравнения, ряда или матрицы, имеет единственное значение, которое мы себе представляем. Но за ним всегда скрываются некоторые математические структуры, о которых мы подчастую не имеем ни малейшего представления, но которые обеспечивают каждому числу внутреннюю сакральность. Сакральность числа – «свернутая» (по выражению Н. Кузанского [7]) количественная величина числа, знака или индекса, скрывающая те составляющие его отдельности, которые «всплывают» в зависимости от операций, производимых с числом. Число, являясь определенным качеством и количеством, содержит в себе в свернутом виде, множество других чисел.
Сакральность каждого числа – это также его память, его способность скрытого участия во многих математических операциях, способность «чувствовать» свое место в них. Свойства память числа и формы – определяются гармоничными связями внутри уравнений.Подчастую неизвестно, какая «количественная сущность» и какое качество представлено числом (символом) в любом уравнении, поскольку символические математические отдельности, в зависимости от граничных условий, могут отображать разные природные качества. Число как отдельность, всегда сложное не только количественное, но и качественное образование и может оказаться носителем двух, трех, четырех и более свойств:
Отдельность, – качество (например, ноль).
Отдельность, качество и количество (число целое, дробное, иррациональное и т.д.)
Отдельность, качество, количество и другое свойство (комплексные числа).
Отдельность, качество, количество, третье и т.д. свойства (например, кватернионы).
Математические операции с многокачественными числами должны проводиться таким образом, чтобы за числами сохранялись все обретаемые ими качества. Причем качества эти не всегда подлежат сокращению, поскольку сокращение качества подчастую меняет физический и математический смысл уравнения. Например, вряд ли подлежат сокращению члены уравнения, содержащие качество – отдельность, выраженную безразмерностным числом p, поскольку сокращение на него превращает уравнение окружности в уравнение некоей другой геометрической фигуры, т.е. меняет качество уравнения, а вместе с ним и смысл обретаемого решения. Похоже на то, что трансцендентные числа, как и числа иррациональные, являются своеобразными комплексными составляющими геометрических величин.
В структуре каждой математической операции основой являются качественные свойства тех числовых отдельностей, которые в ней используются. Качественные свойства математических отдельностей, хотя и имеют во многих случаях формальный характер, тем не менее являются некоторыми аналогами физических размерностей. Только их размерностью становится не символика свойств, как в физике, (например, см, сек, гр., и т.д.), а те признаки свойства, которые принадлежат элементам индексов, фигур, символов. Математические операции могут производиться только между подобными элементами. Включение в них неподобных, так называемых безразмерностных элементов изменяет структуру операции, переводя весь процесс из одного раздела математики в другой. (Например, сокращение размерности в см как качества отрезков, превращает геометрическую операцию в алгебраическую). Поэтому в геометрии невозможно сокращение размерностных индексов. Геометрия – качественная наука.
Математика – наука о качественных, количественных и пространственных формах действительного мира. Она оперирует с символами, числами и их индексами, и потому число как отдельность является базовым элементом математики. Отсутствие в современной философии всеобщих понятий «Целое» и «отдельное» привело к выводу об оторванности математических символов от материальных тел. К выводу об особенности восприятия понятия числа только как количественной величины, постижение которого, как полагают, связывалось, например, у первобытных людей с количеством пальцев. Кажущееся отсутствие явного прообраза понятия «числа» вне математики обусловило появление односторонних внутри математических определений данного понятия, как бы не связанного с реальным миром. Имеется несколько определений понятия «число», порожденных математическими образами, т.е. исходящими из потребностей математических операций. Ориентируясь на [8], кратко опишем некоторые определения числа, исходящие из математики. Одно из первых определений изложено в «Началах» Евклида:
Пусть
S = {1,1,1,…}
представляет собой бесконечное множество геометрических отрезков, называемых единицами. Тогда натуральное число N определяется следующим образом:
N = 1 + 1 + 1 + … + 1 (N раз).
Это определение является основой математических понятий простого и составного числа, делимости и сравнения, операций умножения и деления и т.д.
Известен подход к определению числа, названный «конструктивным». Согласно ему «конструктивное» действительное число А, являясь математическим объектом, задается следующей формулой:
A = åai2i , (а)
ai Î {0,1} и i = 0, ±1, ±2, ±3, … .
Число определяется следующей интерпретацией. Пусть
В = {2n}, (в)
множество геометрических отрезков длины 2n (n = 0, ±1, ±2, ±3, … .). И «конструктивными» действительными числами становятся все математические объекты, представленные в виде конечной суммы геометрических отрезков из (в) в виде (а).
Можно привести определение действительного числа, данное И. Ньютоном:
«Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлеченное отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой нами за единицу».
И здесь мы имеем дело с определением действительного числа средствами математики. Из вышеперечисленных определений ни одно не обосновывает правомерность соответствия чисел тем предметам реальности, которые скрываются за ними. Такое соответствие может содержаться только с опорой на эти предметы.
Встречаются и «внешние» относительно математики определения. Пифагорейская математика, например, так определяла понятие «число»: «Число есть отражение количественных отношений между вещами». Напомним, что у пифагорейцев числа – самостоятельные идеальные сущности, от которых зависят предметы реального мира. Но это понятие можно высказать иначе: «Число – это выражение определенного количества» [9]. Или, «Число – отражение количественных отношений между вещами». Последнее ближе к истине, но неточно, скорее число – отражение количественных отношений между отдельностями. Или иначе – число – цифровой символ отдельного в математике. Это определение устанавливает взаимно однозначное соответствие между всеми вещественными и искусственными отдельностями, превращая их в равнозначные отдельности. Именно равнозначность отдельностей и обусловливает возможность проведения математических операций с самыми различными формами отдельностей.
Здесь надо отметить одну существенную особенность физических свойств, которые в принципе не могут быть отделены от тел, и, следовательно, формально не могут становиться отдельностями. Физические свойства не существуют самостоятельно. Как природные характеристики тела они не являются отдельностями, не являются выделенными, отграниченными от тел или от фона. Более того, свойства тел есть «ничто», но тела, ими образуемые, есть все. И это «ничто» одного тела взаимодействует с подобным «ничем» другого тела и изменения, обусловленные этими взаимодействиями, могут фиксироваться как визуально, так и приборно. Именно количественная характеристика качественных «составляющих» тел, имеющая внешнее отображение в образе размерности, становится признаком отдельности для физических свойств. Размерность обусловливает однозначное соответствие между различными свойствами тел как отдельностей и равнозначность всем другим отдельностям, в том числе и искусственным. Но, как было показано ранее, свойства имеют кроме размерности и еще одну количественную характеристику своей значимости у тел.
Счет, как и все математические операции, основан на установлении взаимно однозначного соответствия между различными отдельностями, между равнозначными отдельностями. Свойство отдельность придает искусственным образованиям (числам, индексам, символам, значкам) равнозначность, лишая их качественного различия и отрывая тем самым от реальности, превращая в «заместителей» реальных предметов, их процессов и свойств. При этом операции с индексами (сложение, вычитание, умножение и т.д.) становится математическим отображением «движения» отдельностей, моментом движения их в статической форме.
В природе не существует ни точек, ни прямых, ни плоскостей, ни других геометрических форм, изучаемых математикой, ни даже свойств, изучаемых физикой, химией и другими науками. В материальной природе существуют тела и телесные образования в виде отграниченных отдельностей, обладающих свойствами, и именно эти отдельности изучаются на своем языке различными науками. Наличие единого объекта изучения и обусловливает математике универсальность применения в различных науках, но формализованный абстрактный аппарат обусловливает ей наличие формализованной качественной структуры логического согласования количественных факторов. В этом случае абстрактные символы приобретают безразмерностные свойства, тем не менее, подобные природным размерностям. Они-то и обусловливают соблюдение законов природы в формальных количественных взаимосвязях, заменяя движение динамическое природное на движение статическое вневременное. Статическое «движение» – мгновенное движение. Мгновенье – это покой, а не движение. Система последовательных мгновений в математике – движение. Это и позволяет описывать эмпирическое движение абстрактными формами – математическими структурами.
Движение в статической математике скрыто за процессами суммирования, вычитания, дифференцирования, интегрирования и т.д. Всякое сложение двух или более чисел есть не просто получение их суммы и не всегда именно сумма определяет необходимый результат, хотя она и образуется, а объединение чисел в одном количестве (как бы объеме) слагаемых. Причем сами слагаемые остаются в неявной форме (скрытой за числами) в этом объеме отдельностями. Они не теряют своей численной индивидуальности, не «сливаются» с другими количествами (хотя и отображенные в одном числе, результате, кажутся слитыми, лишенными отдельности). Т.е. остаются самостями в новом количестве и качестве, и только по этой причине всегда могут быть «извлечены» из результирующего количества. Сами количества (числа) как отдельности, в свою очередь, представляют собой некое неявное объединение более «мелких» отдельностей (отдельностей либо другого ранга, либо другого качества), допуская по этой причине «свое» дробление на любое количество отдельностей по новым качественным признакам. Переход от ранга к рангу есть и количественное и качественное изменение. Например, дробление некоего количества по качеству целого отдельного, т.е. кратно единице, создает определенное число целых отдельностей. Но дробление того же количества по качеству дробного отдельного создает отдельные меньше единицы, но в большем количестве. И в случае разделения чисел по качеству дробного целые числа в ряду дробных не могут находиться. Даже будучи целыми, они должны иметь формы, отображающие их дробность, например 8/2; 33/11; 93/31 и т.д. Это создает и определяет единую систему отдельностей.
Процесс движения в статической математике происходит мгновенно, т.е. вне времени и без связи со временем. Но именно мгновенный процесс обусловливает получение результата. (Вне зависимости от естественного времени осуществления, например, складывать 2 + 2 – можно миллион лет, но результат сложения - 4 не зависит от этих лет. Он мгновенен.) Он есть следствие логического переформирования отдельностей, и это переформирование реализуется мгновенно. Понятие «мгновенно» не включает в себя никакого времени, но оно-то и обусловливает изменение форм отношения между любыми искусственными отдельностями. В сущности это отражение реального процесса «ныряния» в небытие, описанного в разделе 1.1. на примере пульсации Земли. Здесь 2 и 2 это прошлое; + − фиксация момента нырка; = момент выныривания, а 4 – это новое.
Математические операции не включают времени и не зависят от него. Они хотя и производятся в рамках времени и требуют для своего осуществления немалого его количества, сами по себе времени не знают (не «ощущают») и существуют виртуально еще до процесса своего проведения. Результаты всех математических операций существуют задолго до того, как будет поставлена задача об их нахождении. Они ровесники Вселенной и будут существовать, пока она существует.
В геометрии операция сложения в принципе невозможна, поскольку фигуры не могут складываться друг с другом, (отдельности не складываются), а только прикладываются друг к другу. Сложение в геометрии означает, что некоторые протяженные фигуры одной качественности прикладываются друг к другу и мысленно происходит как бы замена образовавшейся фигуры другой, целой фигурой, конгруэнтной образовавшейся. При этом допускается предположение о том, что произведенная замена не влияет на состояние фигур и их свойства.
Даже одно, не отмеченное формально качество, например, половинка отрезка (отрезок, пополам – половина отрезка) уже не может применяться в операции с целым отрезком, поскольку у отрезка другое формальное качество, а только с равным себе качеством (качествами). Например, отрезок с отрезком или пол отрезка с частью отрезка. Причем эти операции, будучи логически и математически правильными, тем не менее, не являются корректными физически. Две сложенные половинки от сложения не становятся целым. Они остаются половинками, но мы мысленно представляем их целыми и переносим это представление на образовавшуюся фигуру в дальнейшем оперируя ими как единым целым. Однако не исключено, что на какой-то операции такой «целый» отрезок покажет, что он не целый.
Все геометрические фигуры имеют как минимум два качества: отдельность и протяженность, которая может иметь или не иметь размерность. И степенные отношения при протяженности всегда изменение качества. В геометрии все операции проводятся по правилам физики только с размерностями природными или формальными.Природные размерностные свойства обладают вместе с количественными характеристиками свойств определенными качественными значениями в форме КФР на базе золотых чисел (об этом в пятой главе). Сокращение на иррациональное или трансцендентное число в каждом случае требует обоснования, поскольку оно меняет физическое качество исследуемого уравнения.
В алгебре индексы не имеют качества протяженности, а только качество отдельности и признак индекса. В алгебре имеется отдельное качественное отличие одного индекса от другого и знаки операций, обусловливающих «движение». Они-то и отображают диалектику движения.
Раз можно получить из одного уравнения алгебраическую и геометрическую формализацию, то перед нами явление «памяти форм и чисел», способное вмещать виртуальные члены, как бы не отображаемые членами, входящими в исходное уравнение или фигуру. Для уравнения деленияотрезка в крайнем и среднем отношении, например, проверка заключается в построении по алгебраическому решению уравнения геометрического, а результат должен «подчиняться» золотым критериям Фибоначчи.
Кроме статических геометрий существует геометрия физическая (динамическая), можно сказать внутри физическая геометрия. Физика, как и математика, изучает объекты – отдельности, но каждая из них различные аспекты этих объектов. Физика, как и другие науки, свойства и связи тел, математика – количественные отношения и связи отдельностей. Физическая (динамическая) геометрия строится не на аксиомах и теоремах, а на физических свойствах и инвариантах. Все фигуры этой геометрии подвижны и их движения происходят в пространстве и времени. Динамическая геометрия не является математической дисциплиной, поскольку имеет дело не с абстракциями, а с количественными и качественными величинами конкретных свойств. Она исходит не из аксиом и постулатов, а из взаимосвязей свойств. Развивается не доказательством теорем и непротиворечивых, независимых аксиом (которые в ней отсутствуют), а посредством решения инвариантных уравнений относительно бесконечной гомотетии движения физических тел. Ее динамичность включает не только само движение, но и напряженность, и деформации, и время в рассматриваемых системах. Динамическая геометрия есть математический аппарат физики и всего естествознания. Динамические фигуры могут «накладываться» своими элементами на конгруэнтные фигуры статических геометрий. Конгруэнтность в данном случае – следствие возможности «замораживания» элементов движения и приведение всей динамической фигуры или ее части в статическое состояние. Наложение конгруэнтно, когда основные динамические элементы частично совпадают со статическими элементами.
Отметим также, что движение есть всегда изменение качества, даже в том случае, когда оно отображает арифметические или алгебраические статические процессы. И это изменение качества может прослеживаться даже на простейших операциях математического сложения. Особенно наглядно и быстро изменения качества наблюдается в последовательном сложении пар чисел обнаруженных Фибоначчи еще 800 лет тому назад и названных рядами его имени. Этот вопрос будет рассмотрен в третьей главе, а сейчас вернемся к свойствам фигур классической геометрии.
1.8. Свойства фигур евклидовой геометрии
Основу статической метричности в геометрии составляют жесткие измерительные инструменты конечного размера, сохраняющие его в любой области пространства. Неизменность мерного инструмента, незримо наличествует, при определении основных свойств евклидова пространства, к которым в настоящее время относят:
- однородность и изотропность. Любые точки и области этого пространства эквивалентны, а потому и неразличимы;
- вневременность. Свойство времени не отражается на изображениях геометрических фигур (элементов) и не учитывается при перемещениях и вращении (статичность). Время как качественный фактор в статических геометриях отсутствует;
- равновеликость геометрически переносимых, вращаемых или преобразуемых фигур. Процесс преобразования, перемещения, движения - только мысленный. В геометрии всякое механическое движение отсутствует;
- координатность в ортогональных направлениях. Бесконечность во вне. Глобальность координатных систем;
- отсутствие качественных взаимосвязей между различными свойствами и метричностью;
- независимость и отграниченность от физических тел. Геометрия имеет дело только с неподвижными фигурными отображениями тел, с их «тенями».
Таким образом, статическая геометрия Евклида автономна и от окружающего пространства, и от физических тел, изучением которых она занимается, и определяется только логической взаимосвязью заложенных в ее основу аксиом. Что касается пространства, на котором базируется геометрия, то оно не определено, и, как видно из приведенного набора, определяется постулативно в виде отдельных взаимно не связанных формальных свойств.
Особо подчеркнем отсутствие механического движения в пространстве геометрии и вневременность всех ее фигур. Свойство времени не имеет никакой связи с метричностью. И если вводится, как например, в геометрии Минковского, то формально-постулативно, не отображающим физического времени и не обладающим качеством, равнозначным остальным геометрическим свойствам без всякой связи с пространством, и главное - не вносит в статическую геометрию нового качества. Статичность и вневременность структурных преобразований предполагают в качестве первого условия корректного формулирования основных аксиом геометрии определение их в терминах, исключающих всякое упоминание о движении и пространстве.
Сами геометрические построения являются, по определению, схематическим, а потому идеализированным отображением предметов и тел реального мира. Отображаемые фигуры не имеют ни свойств, ни размерности и представляют собой условные абстракции, призванные человеческим сознанием в качестве метода описания отношений между телами внешнего мира. Описание производится путем перенесения качественного отображения тел на абстрактные понятия «точки», «прямой», «плоскости», «угла» и т.д. Данные понятия, заменяя естественные тела, с ними никоим образом не связаны и являются внешним признаком их существования. Особо отметим, что понятия эти не возникают при абстрагировании от реальных объектов, а определяются аксиомами вне прямой связи с реальным пространством или телами. Это самая важная особенность геометрии, как, по-видимому, и всей математики. Абстрагирование производится не от реальных физических предметов, а от некоторого отображения их в головах исследователей. Образовавшиеся аксиомы, так же как и фигуры и теоремы, следующие из аксиом, не имеют отношения к тем законам природы, для математического описания которых они создавались.
Основное отличие статических построений евклидовой геометрии от отображаемых ими физических тел-систем заключается в том, что любая общность геометрических фигур в своей совокупности и количественном выражении остается схемой внешних объектов и не обладает качествами системы. Отдельные элементы общности (линии, точки, углы и т.д.) вместе или порознь ничем, кроме аксиоматической зависимости, между собой не связаны, друг другом не обусловлены и своим сосуществованием как вместе, так и порознь не изменяют своих качеств. Исчезновение геометрических элементов некоторой общности фигур ничего не изменяет в их отношениях. Меняется форма геометрических фигур, возможна потеря этими фигурами своей конфигурации и образование новой, или изменение их подобия другим фигурам, распадение фигуры на отдельные элементы и даже их самостоятельное, независимое друг от друга существование.
А потому в основу статической геометрии закладываются отвлеченные представления о некоем однородном бесконечном пространстве, некоторых первичных понятиях, отображающих предметы и тела реального мира, и ряд аксиом, обеспечивающих возможность совместного функционирования их в рамках формальной логики. Однако, как отмечал еще Риман[4], до сих пор остаются невыясненными взаимоотношения между этими понятиями, закономерности связей между ними, и существует ли принципиальная возможность отыскания этой связи.
Именно отсутствие представления о взаимосвязи свойств тел и возможности отображения этих связей в геометрическом описании и придает геометрии статический характер, одновременно порождая иллюзию независимости геометрических построений от свойств реального мира, и о возможности свободного выбора геометрии для описания физического пространства.
Отсутствие связей между геометрией и физикой достаточно наглядно демонстрирует А. Пуанкаре [10] следующим примером:
«… если бы все тела Вселенной начали одновременно и в одинаковой пропорции расширяться, то у нас не было бы никаких средств заметить это, потому, что все наши измерительные инструменты увеличивались бы вместе с самими предметами, для измерения которых они служат. После этого расширения мир продолжал бы свой ход, и ничего не говорило бы нам, что произошло столь важное событие»
Данный пример приводится не Пуанкаре физиком, а Пуанкаре - чистым математиком, который, мысля математическими категориями, помнит, что между геометрическими фигурами нет никакой связи, а потому автоматически приписывает отсутствие связей между свойствами тел и телами, ими обладающими так же, как, например и у тел с метрическими инструментами. Что с изменением размеров базисной системы тел линейно изменяются и численные величины всех их свойств, которые, поэтому, не могут быть зафиксированы наукой. Что тела и свойства взаимно не связаны, а сами свойства независимы от тел и от пространства, в котором они образованы. Что геометрия не фиксирует никаких закономерностей между параметрами тел и взаимосвязями их свойств.
В этом утверждении (к нему мы еще вернемся), хотя оно как бы не имеет отношения к математике, явно выражен характер статической геометрии, отображающий только однозначные, формальные, обособленные свойства образуемой ее элементами (фигурами). А в реальном мире, в мире диалектики, обособленные а, следовательно, взаимно не связанные свойства отсутствуют.
Рассмотрим, так ли однозначны и обособлены эти элементы и их взаимосвязи в геометрии. И как проявляет себя в геометрии диалектика. Иными словами, рассмотрим диалектику элементов статической геометрии.
1.9. Диалектика элементов геометрии
Формулирование первичных понятий и аксиом в различных граничных условиях привели к образованию наряду с геометрией Евклида целого ряда статических неевклидовых метрических и неметрических геометрий. И что самое неожиданное: опорными элементами становления этих, подчастую, взаимно противоречивых, но логически корректных, не сводимых друг к другу геометрий, послужили самые простые, лишенные реального содержания, абстрактные понятия «точка», «прямая», «плоскость» и в некоторой степени «объем» (пространство). И эти понятия - элементы евклидовой геометрии - не изменяются при переходе от одной геометрии к другой. Учитывая основательность и первичность этих элементарных понятий, проанализируем диалектику их образования, взаимосвязи и структуру вытекающих из них аксиом.
Этот анализ важен потому, что аксиоматическое абстрагирование геометрических элементов до первичных взаимно независимых фигур и последующее «воссоздание» из этих же элементов, как бы отображающих реальные явления, «абсолютно верных» геометрий, создают иллюзию того, что …«положения математики покоятся не на реальных объектах, а исключительно на объектах нашего воображения».Иначе говоря: «Математическая геометрия является теорией логической структуры. Она совершенно независима от естественно научных исследований и имеет дело только с логическими следствиями из данной системы аксиом» [11]. И возникает вопросы: «Почему возможно такое превосходное соответствие математики с реальными предметами и явлениями, если сама она является только произведением человеческой мысли, не связанной ни с каким опытом? Может ли человеческий разум без всякого опыта, путем одного размышления понять свойства реальных вещей?» [11].
Эти вопросы Эйнштейна с классической прямотой демонстрируют значимость понятий, которые кажутся сами по себе априорно очевидными без всякой связи с природными объектами и структурами. Проследуем по цепочке этих очевидностей. Начнем с «точки».
Существует множество геометрических определений понятия «точка». Вот некоторые из них: точка - геометрический объект (?) лишенный протяженности. След линии, входящей в плоскость. Геометрически не пересекающаяся сингулярность линий. Вырожденное состояние кривой. Плоскость, площадь которой устремлена к нулю и т.д. Таким образом, точка - это геометрическая фигура, не имеющая измерений и, следовательно, не имеющая ни геометрических, ни физических качеств и являющая собой неопределенное и неподвижное место на какой-то геометрической фигуре, а подчастую и сама являясь фигурой. Абстракция, призванная заменить физическое представление об очень малых или несопоставимых с параметрами объектах, своеобразным математическим аналогом тел.
Но вот что существенно. Определение понятия абстракции «точка», как понятия статического, оказывается невозможным без привлечения, в явном или скрытом виде, некоторой операции движения. Отметим эту особенность и как проявление дуализма в определении понятия «точка», и как отображение характера совершаемого действия над определенным и явно не геометрическим предметом.
Линия - множество точек на плоскости, слившееся в длину и не имеющее ширины. След траектории движущейся точки. Объект, характеризуемый длиной, но лишенный ширины. Геометрическая фигура, обладающая только одним качеством - протяженностью. След пересечения двух плоскостей и т.д.
И в этих определениях неявно нарушается статичность геометрии, поскольку присутствует двойственность покоя и движения. Линия неподвижна, а для ее распознавания приходится предполагать некоторое движение, либо приводить в движение точку, которая в свою очередь может быть выражена через линию. Да и сама прямая есть кривая, радиус кривизны которой устремляется (опять же движется) в бесконечность.
Понятие «плоскость», если не считать определением такую тавтологию, как «плоскость - след линии, движущейся на плоскости», определяется, чуть ли не единственным образом: Плоскость есть след линии, движущейся параллельно самой себе. Тут уже для явного движения привлекается понятие, которое само по себе определяется через движение. То есть наличествует двойная двойственность.
Таким образом, основные как бы априорные статические понятия геометрии включают в себя противоречивые противоположные качества: с одной стороны, покоя, а с другой - движения.
Противоречивая двойственность в определении первичных элементарных понятий постоянно вызывала головную боль лучших математических умов, вынуждая их бороться с этой двойственностью различными способами: от снятия противоречий соглашениями по Пуанкаре [10]до отбрасывания их по Гильберту. Приведем четкую, абсолютно абстрактную, логически однозначную формулировку первичных понятий, данную Гильбертом: «Мы мыслим три различные системы вещей: вещи первой системы называем точками и обозначаем А, В, С; вещи второй системы мы называем прямыми и обозначаем a, b, c: вещи третьей системы мы называем плоскостями и обозначаем a, b, g…».
Эта формализация качественных понятий геометрии как вещей (т.е. как тел) - классическое творение свободного ума, отвергающего всякую связь первичных понятий с внешней реальностью. В ней присутствует логическая четкость и однозначная априорность математической абстракции, превращающая всякую форму геометрического движения в неподвижность, покой, статичность. Движение и самодвижение реальных тел как атрибут, присущий всей материи, отвергается, и постулируется возможность существования отдельного самостоятельного покоя тел, который и призвана описывать геометрия. Постулируемая статичность первичных понятий и вызывает появление статических геометрий, обусловливая возможность механического (внесистемного) взаимно независимого соединения элементов геометрии в различные статические фигуры.